第19讲 整除（教师版）

第19讲整除（教师版）一、第19讲整除1.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?【答案】解：由于2与3互质，3与5互质，5与2互质(这种特性我们也称为2、3、5两两互质)，根据性质5，同时被2、3、5整除的整数必然被2×3×5=30整除；

另一方面，由性质1，被30整除的整数必然可同时被2、3、5整除；

因此，在100以内同时被2、3、5整除的正整数就是在100以内被30整除的正整数，显然只有30、60、90三个.

【解析】【分析】两两互质，则同时被整除的正整数就是被整除的正整数，这也是一个非常有用的结论.

一般地，在以，不一定两两互质时，有下面的结论：

同时被整除的正整数就是被的最小公倍数整除的整数.

另外，在求100以内被30整除的正整数的个数时，并不一定要把30、60、90全部列出，只要用100除以30，则商3便是所求的个数.2.求1000以内同时被3、4、5、6整除的正整数的个数.【答案】解：∵3、4、5、6的最小公倍数为60，

∴1000以内同时被3、4、5、6整除的正整数就是被60整除的正整数；

∵1000÷60=16……40，

∴这样的正整数共有16个.【解析】【分析】一般地，在a1，a2，...，am，不一定两两互质时，有下面的结论：

同时被a1，a2，...，am整除的正整数就是被a1，a2，...，am的最小公倍数整除的整数.用1000除以60，商就要求得正整数的个数.3.证明：形如的六位数一定被7、11、13整除.

【答案】证明:=×1001=×7×11×13.由此可见，被7、11、13整除.【解析】【分析】a1，a2，..，am两两互质，则同时被a1，a2，...，am整除的正整数就是被a1⋅a2⋅...⋅am整除的正整数；根据题意可知这个六位数中有因数1001=7×11×13，从而得证.4.设五位数被72整除，求数字x与y.【答案】解：∵72=8×9，

∴被8与9整除.

、一个数被8整除时，它最后三位组成的数一定被8整除；所以能被8整除；通过除法运算，不难得到y=2.一个数被9整除时，它的数字和被9整除，所以x+6+7+9+2=x+24被9整除；注意到0<x≤9，因此，x只能为3，

∴x=3，y=2.【解析】【分析】本题利用被8与9整除的整数的一些特征，顺利地解决了问题。下面我们给出一些常用的数字特征：(1)被2整除的数：个位数字是偶数；(2)被5整除的数：个位数字是0或5；(3)被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被25整除的数：末两位组成的数被25整除；(4)被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数：末三位组成的数被125整除；(5)被3整除的数：数字和被3整除；(6)被9整除的数：数字和被9整除；(7)被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除.

更一般地，我们有，

一个数被2或5除，与这个数的个位数字被2或5除，所得余数相同.

一个数被4或25除，与这个数末两位组成的数被4或25除，所得余数相同.

一个数被8或125除，与这个数末三位组成的数被8或125除，所得余数相同.

一个数被3或9除，与这个数的数字和被3或9除，所得余数相同.

一个数被11除，与它的奇数位(从右数起)数字和减去偶数位数字和所得的差被11除，所得的余数相同.5.N=

.求N被11除所得的余数。【答案】解:显然，N的奇数位数字和与偶数位数字和的差为1999×（9+9-9-1）=1999×8.1999×8除以11的余数与8×8除以11的余数相同，即余数为9，从而N除以11，所得的余数为9.【解析】【分析】一个数被11除，与它的奇数位(从右数起)数字和减去偶数位数字和所得的差被11除，所得的余数相同，由此计算即可得出答案.6.将2002个同学排成一行，并从左向右编为1至2002号.再从左向右从1到11地报数，报到11的同学原地不动，其余同学出列.留下的同学再次从左向右从1到11地报数，报到11的同学留下，其余同学出列.留下的同学第三次从左向右1到11报数，报到11的同学留下，其余同学出列.问最后留下的同学有多少人?他们的编号是几号?【答案】解：由题意，第一次报数后留下的同学，他们的编号必为11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们的编号必为112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们的编号必为113=1331的倍数；因此，最后留下的同学编号为1331的倍数，我们知道从1～2002中，1331的倍数只有一个，即1331号；

所以，最后留下一位同学，编号为1331.【解析】【分析】根据题意分析可知最后留下的同学编号必定是113=1331的倍数；而在1—2002里面是1331的倍数只有编号为1331.7.写出13个都是合数的连续自然数.【答案】解：若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数；若a是3的倍数，则a+3也是3的倍数……若a是14的倍数，则a+14也是14的倍数.

所以只要取a为2，3，…，14的倍数，则a+2，a+3，…a+14分别为2，3，…，14的倍数。

所以，取a=2×3×4×...×14

则13个连续的自然数a+2，a+3，…，a+14都是合数.

【解析】【分析】若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数；若a是3的倍数，则a+3也是3的倍数……若a是14的倍数，则a+14也是14的倍数；从而取a=2×3×4×...×14，由此可得出答案.8.任给一个自然数N，把N的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数N'，试证明：|N-N'|被9整除.

【答案】证明：N除以9，与N的数字和除以9，所得余数相同，

N'除以9，与N'的数字和除