第20讲 奇数和偶数 （教师版）

第20讲奇数和偶数（教师版）一、第20讲奇数和偶数1.一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间.问：（1）如果最初小船在左岸，过河若干次后，又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数?如果最后到了右岸，情况又是怎样呢?（2）如果小船最初在左岸，过河99次后，停在左岸还是右岸?【答案】（1）解：小船最初在左岸，过1次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸；即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了二次河.

因此，若小船由左岸开始，过河多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，即偶数.

同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数.

（2）解：在(1)中，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸.

∵现在小船过河99次，是奇数次.

∴最后小船应该停在右岸.

【解析】【分析】（1）根据题意可知：若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸.

（2）由（1）中规律可知小船停在右岸.2.9999和99！(注：99！=1×2×3×4×...×99，读作99的阶乘)能否表示成为99个连续的奇数的和?

【答案】解：(1)9999能表示成99个连续奇数的和.∵9999=(9998-98)+(9998-96)+…+(9998-2)+9998+(9998+2)+…+(9998+96)+(9998+98).∴9999能表示为99个连续奇数的和.(2)99！不能表示成99个连续奇数的和.∵99！=1×2×3×…×99是偶数，而99个奇数的和是奇数，

∴99！不能表示为99个奇数的和.【解析】【分析】9999=99×9998.先写下9998，然后写出9998后面的49个连续的奇数，又写出9998前面的49个连续的奇数，这99个连续的奇数和正好是99×9998=9999；另一方面，99！是偶数，而99个奇数的和是奇数.如果答案是肯定的，我们常常将满足题意的例子举出来或造出来，这称为构造法.如果答案是否定的，常常采用反证法，找出其中的矛盾.3.图是一所房子的示意图，每一个房间与相邻的房间都有门相通.小明在某一房间中，他想从这个房间开始不重复地走遍每一个房间.能做到吗?若能，他开始时应在哪一个房间?又应该怎样走?若不能.请说明理由。

【答案】解：不能做到.将题图的房间黑白相间地涂，如下图，

这样，不论小明从哪一间房间出发，他总是从白房间走进黑房间，或者从黑房间走进白房间.

因此，走法必为：白黑白黑……或者为：黑白黑白……不管哪一种走法，黑房间的数目与白房间的数目相等或者相差一.

而图中白房间5间，黑房间3间，相差2间.

因此不能走遍每一个房间而不重复.【解析】【分析】说明与整数可以分为奇数与偶数两类一样，我们把房间涂上黑白两色，分成两类.几个连续的整数，必然是奇偶相间，而且奇数个数与偶数个数相差至多为一个.类似地，房间的走法也是黑白相间。因此，黑、白房间的数目至多相差一.这一点正是我们解决本例的关键.因此，从本质上说，我们还是利用奇偶性来解决问题的。事实上，如果我们不用黑白两色来涂房间，而是将房间相间地贴上奇偶两字，问题一样得到解决.4.把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有没有可能”使得在同一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由.【答案】解：如果每条线上红圈都是奇数个，那么5条线上的红圈数相加仍是奇数；但另一方面，5条线上的红圈数相加时，由于每个圈都在两条直线上，因而都被计算了两次，从而相加的总和应该是偶数.两方面的结果是矛盾的.

因此，不可能使同一条线上的红圈数都是奇数.【解析】【分析】根据奇偶的性质：奇数×奇数=奇数，假设每条线上红圈都是奇数个，由此计算可得奇数；但是线线交汇处的点被计算了两次，可得相加为偶数；故矛盾，假设不成立.5.围棋盘上有19×19个交叉点，在交叉点上已经放满了黑子与白子，并且黑子与白子相间地放，即黑子(或自子)的上、下、左、右都放着白子(或黑子).问能否把这些黑子全部移到原来白子的位置上，而白子也全移到原来的黑子的位置上?.【答案】解：不能.∵19×19=361，是奇数，

∴必有奇数个白子，偶数个黑子；或者奇数个黑子，偶数个白子；

即黑、白子数必然一奇一偶.

∴奇数不可能等于偶数，

∴无法使黑子与白子的位置对调.【解析】【分析】根据题意可得奇数个白子，偶数个黑子；或者奇数个黑子，偶数个白子；即黑、白子数必然一奇一偶；故无法使黑子与白子的位置对调.6.参加会议的人，有不少互相握过手.握手的次数是奇数的那部分人，人数是奇数还是偶数?为什么?【答案】解：由于每握一次手，握手的两个人，每一个都握了一次手.

因此每握一次手，两个人握手次数的和就是2次.

所以，全部与会的人握手的总次数必定是偶数.我们把参加会议的人分成两类，甲类握手次数是偶数，乙类握手次数是奇数，甲类人握手的总次数显然是偶数；注意甲类人握手的总次数加上乙类人握手的总次数等于全部与会的人握手的总次数，所以乙类人握手的总次数也应当是偶数.由于乙类人每人握手的次数都是奇数，而偶数个奇数相加，和才能为偶数，因此，乙类人必为偶数个，即握手次数是奇数的那部分人，人数是偶数.【解析】【分析】根据题意可得全部与会的人握手的总次数必定是偶数；把参加会议的人分成两类，甲类握手次数是偶数，乙类握手次数是奇数，根据奇偶性质：

偶数+偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，由此即可得出答案.7.设标有A、B、C、D、E、F、G记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在A、C、E、G四盏灯开着，其余三盏灯是关的.小刚从灯A开始，顺次拉动开关..即从A到G，再从A到G……这样拉动1999次开关后，哪几盏灯是开的?【答案】解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变状态，即开的变成关的，关的变成开的.一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变状态，即开的仍为开的，关的仍为关的.因此本题的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性.∵1999=7×285+4，∴A、B、C、D四盏灯的开关各被拉动了286次，而E、F、G三盏灯的开关各被拉动了285次；

∴A、B、C、D四盏灯不改变状态，E、F、G三盏灯改变状态；

∵开始时A、C、E、G四盏灯是开着的，B、D、F三盏灯是关着的，

∴最后A、C、F灯是开着的.【解析】【分析】一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变状态，即开的变成关的，关的变成开的.一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变状态，即开的仍为开的，关的仍为关的.因此本题的关键是计算各盏灯被拉次数的奇偶性.8.桌上放着七只杯子，杯口全朝上，每次翻转四个杯子.问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?【答案】解：不可能.我们将口向上的杯子记为0，口向下的杯子记为1.

开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数.一个杯子每翻动一次，所记的数由0变为1或由1变为0，改变了奇偶性；每一次翻转四个杯子，因此这七个数的和的奇偶性改变了四次，从而和的奇偶性仍与原来相同.

所以，不论翻动多少次，这七个数的和与原来一样，仍为偶数.当杯子全部朝下时，这七个数的和为7，是奇数.

因此，不论经过多少次翻转，都不可能使所有的杯子口都朝下.【解析】【分析】将口向上的杯子记为0，口向下的杯子记为1；根据题意一个杯子每翻动一次，所记的数由0变为1或由1变为0，改变了奇偶性；每一次翻转四个杯子，因此这七个数的和的奇偶性改变了四次，从而和的奇偶性仍与原来相同；起初七个杯子全朝上，和为0，是个偶数；当杯子全部朝下时，和为7，是奇数；故不可能.9.设，，…是1，2，…，2005的任意一个排列.试证明：(-1)(-2)…(-2005)必为偶数.【答案】证明：∵1，2，