第25章 图形的相似 单元检测试卷学生用

冀教版九年级数学上册第25章图形的相似单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△A`B`C`，则相似比k等于（

）A.

A′B′:AB

B.

∠A:∠A′

C.

S△ABC：S△A′B′C′

D.

△ABC周长：△A′B′C′周长2.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA与sinA′的关系为

(

)A.

sinA=2sinA′

B.

sinA=sinA′

C.

2sinA=sinA′

D.

不确定3.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m．同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（）A.

1.25m

B.

10m

C.

20m

D.

8m4.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（

）A.

2∶3

B.

4∶9

C.

2∶3

D.

3∶25.如图，已知∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15，BC=10，AF与ED交于点G．则EG的长为

(

)

A.

25​

B.

2310​

C.

1136.在比例尺为1：100000的地图上，测得A，B两地之间的距离为2cm，则A，B两地之间的实际距离为（）A.

200000cm

B.

400000cm

C.

200000000000cm

D.

400000000000cm7.如图，将平行四边形AEFG变换到平行四边形ABCD，其中E，G分别是AB，AD的中点，下列叙述不正确的是（

）

A.

这种变换是相似变换

B.

对应边扩大到原来的2倍

C.

各对应角度数不变

D.

面积扩大到原来的2倍8.下列说法正确的是（）A.

相似两个五边形一定是位似图形

B.

两个大小不同的正三角形一定是位似图形

C.

两个位似图形一定是相似图形

D.

所有的正方形都是位似图形9.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边上，DE∥BC，若AD:AB=3:4，AE=6，则AC等于

A.

3

B.

4

C.

6

D.

810.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG．则下列结论正确的有（

）A.

①②④

B.

①③④

C.

②③④

D.

①②③二、填空题（共10题；共30分）11.已知2x=3y

(y≠0)，那么x+yy12.已知ΔABC∼ΔA'B'C'且S13.如图，在△ABC中，DE是中位线，若四边形EDCB的面积是30cm2，则△AED的面积是________．

14.如图是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子．现测得OA=20cm，OA'=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长之比是15.两个相似三角形的对应高的比是1：3，其中一个三角形的面积是9cm2，则另一个三角形的面积为________cm2。16.如图所示，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为________．17.如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．

18.如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为________．19.如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为________．

20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论：

①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，

其中正确的序号是________．

三、解答题（共10题；共60分）21.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，求证：△ADE∽△DCF．

22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．求证：△ACD∽△BFD．

23.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.证明：△ADE∽△EFC．

24.如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．

（1）求证：△ABD∽△DCE；

（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

25.如图，△ABC与△ADE中，∠C=∠E，∠1=∠2；

（1）证明：△ABC∽△ADE．

（2）请你再添加一个条件，使△ABC≌△ADE．你补充的条件．

26.在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm×2.5cm，放映的银幕规格是2m×2m，光源P与胶片的距离是20cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图象正好布满整个银幕？

27.如图，已知△ABC∽△ADE，AE=5cm，EC=3cm，BC=7cm，∠BAC=45°，∠C=40°．

（1）求∠AED和∠ADE的大小；

（2）求DE的长．

28.如图，公园内有一棵景观树，AB的影子请好落在地图BC和地图CD上，经测量CD=4m，BC=10m，已知该坡面CD与地面成30°角，且此时测得2m的竹竿的影子是1m，求这棵景观树的高度．29.如图，已知点F在AB上，且AF:BF=1:2，点D是BC延长线上一点，BC:CD=2:1，联结FD与AC交于点N，求FN:ND的值

.30.李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．

答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解．∵△ABC∽△A′B′C′，∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′周长，k2=S故答案为：D．

【分析】由题意根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解。2.【答案】B【考点】相似三角形的性质，锐角三角函数的定义【解析】【分析】由于Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则∠A=∠A′．根据三角函数值只与角的大小有关即可求解．【解答】由于Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则∠A=∠A′，

∴sinA=sinA′．

故选B．【点评】三角函数值只与角的大小有关．3.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】设该旗杆的高度为xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．【解答】设该旗杆的高度为xm，根据题意得，1.6：0.4=x：5，

解得x=20（m)．

即该旗杆的高度是20m．

故选C．【点评】本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等4.【答案】B【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】因为△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，所以根据相似三角形的性质可得：S△ABC︰S△DEF=4∶9，故答案为：B．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。5.【答案】D【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】由四边形CDEF是正方形，易证得△BEF∽△BAC，△EFG∽△DAG，EF=FC=CD=DE，然后设EF=x，则BF=BC-CF=10-x，利用相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得正方形CDEF的边长，继而求得AD的长，继而求得答案．【解答】∵四边形CDEF是正方形，

∴EF=FC=CD=DE，EF∥CD，

设EF=x，则BF=BC-CF=10-x，

∴△BEF∽△BAC，

∴EFAC=BFBC，

∵AC=15，BC=10，

∴x15=10-x10，

解得：x=6，

∴EF=ED=CD=FC=6，

∴AD=AC-CD=15-6=9，

∵△EFG∽△DAG，

∴EFAD=EG6.【答案】A【考点】比例线段【解析】【解答】解：根据题意，2÷110000=200000厘米．

即实际距离是200000厘米．

故选A

7.【答案】D【考点】位似变换【解析】【解答】如图，

如图将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E、G分别是AB、AD的中点，下列叙述不正确是面积扩大到原来的2倍．

故选：D．【分析】如图，图将四边形AEFG变换到四边形ABCD，其中E、G分别是AB、AD的中点，这种变换只改变图形的大小，不改形状，即各对应角的大小不变，属于相似变换，也可以说是把原图把2：1放大，即对应边扩大到原来的2倍．一个图形扩大到原来的n倍，其面积将扩大到原来的n2倍．据此判断前三项答案都正确，最后选项不正确．本题是考查图形的放大与缩小，图形放大或缩小后不改形状，即各对应角的大小不变，属于相似变换．注意，一个图形扩大或缩小n倍，其面积将扩大或缩小n2倍．8.【答案】C【考点】位似变换【解析】【解答】解：根据位似图形的定义，如果两个图形位似，

那么它们不仅相似，而且对应点的连线相较于一点；

∴相似的两个图形，不一定位似，

而位似的两个图形一定相似，

∴选项A、B、D均错误，

故选C．

【分析】根据位似图形与相似图形之间的联系与区别，逐一判断解析，即可解决问题．9.【答案】D【考点】平行线分线段成比例【解析】【分析】因为DE//BC，根据平行线分线段成比例定理可知：ADAB=AEAC，所以3410.【答案】B【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，

在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，

∴AF=102-62=8，

∴DF=AD﹣AF=10﹣8=2，

设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，

在Rt△DEF中，∵DE2+DF2=EF2，

∴（6﹣x）2+22=x2，解得x=103，

∴ED=83，

∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，

∴∠2+∠3=12∠ABC=45°，所以①正确；

HF=BF﹣BH=10﹣6=4，

设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，

在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，

∴y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，

∴AG=GH=3，GF=5，

∵∠A=∠D，ABDE=683=94，AGDF=32，

∴ABDE≠AGDF，

∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；

∵S△ABG=12•6•3=9，S△FGH=12•GH•HF=12×3×4=6，

∴S△ABG=32S△FGH，所以③正确；

∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，

∴AG+DF=GF，所以④正确．

∴①③④正确．

故选B．

【分析】由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD﹣AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD﹣CE=6﹣x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6﹣x）2+22=x2，解得x=103，即ED=83；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8﹣y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y2+42=（8﹣y）2，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和AB二、填空题11.【答案】52【考点】比例线段【解析】【解答】∵2x=3y，

∴xy=32，

∴x+yy=3+22=5212.【答案】1:2【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴S△ABC：S△A′B′C′=AB2：A′B′2=1：2，

∴AB：A′B′=1：2．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出答案。13.【答案】10cm2【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：由中位线可知：S△AEDS△ABC=14，

∴S△AEDS四边形EDCB=13，

∴S△AED=13×30=10cm2，

14.【答案】2：5【考点】位似变换，作图﹣位似变换【解析】【解答】解：试题分析：由图知，△OAB∽△OA'B'，且△ABC∽△A'B'C'，

故OAOA'=15.【答案】1或81【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】∵两个相似三角形的对应高的比是1：3，

∴它们的相似比是1：3，

设另一个三角形的面积是x，

则或

解得x=1或x=81．

【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方分情况讨论求解即可．16.【答案】9：16【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，

∴△DFE∽△BFA，

∵DE：EC=3：1，

∴DE：DC=3：4，

∴DE：AB=3：4，

∴S△DFE：S△BFA=9：16．

故答案为：9：16．

【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．17.【答案】127【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，

∵△ABC的面积是6，

∴12BC•AH=6，

∴AH=2×64=3，

设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，

∵GF∥BC，

∴△AGF∽△ABC，

∴GFBC=AMAH，即x4=3-x3，解得x=127，

即正方形DEFG的边长为127，

故答案为：127．

【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，根据三角形的面积建立方程求出AH的长，设正方形18.【答案】1：16【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：16．

故答案为1：16．

【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．19.【答案】1：9【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9，

故答案为：1：9．

【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．20.【答案】①②③④【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：

⑴结论①正确．理由如下：

∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，

∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，

∴∠5=∠6，

∴AM=AE=BF．

易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．

在△ACM与△ABF中，

{AC=AB∠CAM=∠B=45°AM=BF，

∴△ACM≌△ABF（SAS），

∴CM=AF；

⑵结论②正确．理由如下：

∵△ACM≌△ABF，

∴∠2=∠4，

∵∠2+∠6=90°，

∴∠4+∠6=90°，

∴CE⊥AF；

⑶结论③正确．理由如下：

证法一：∵CE⊥AF，

∴∠ADC+∠AGC=180°，

∴A、D、C、G四点共圆，

∴∠7=∠2，

∵∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，

∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．

在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，

∴NG=AG，

∴∠MNG=∠3，

∴∠DAG=∠CNG．

在△ADG与△NCG中，

{AD=CN∠DAG=∠CNGAG=NG，

∴△ADG≌△NCG（SAS），

∴∠7=∠1，

又∵∠1=∠2=∠4，

∴∠7=∠4，

又∵∠DAH=∠B=45°，

∴△ABF∽△DAH；

⑷结论④正确．理由如下：

证法一：∵A、D、C、G四点共圆，

∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，

∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．

证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，

∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2

则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．

∵△ADG≌△NCG，

∴∠DGA=∠CGN=45°=12∠AGC，

∴GD平分∠AGC．

综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．

故答案为：①②③④

【分析】结论①正确，证明△ACM≌△ABF即可；结论②三、解答题21.【答案】解：∵ED∥BC,DF∥AB，

∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，

∴∠AED=∠B，

∴∠AED=∠DFC

∴△ADE∽△DCF【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】由题意根据有两个角相等的两个三角形相似即可得证。22.【答案】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】由直角都相等可得∠BDF=∠ADC=∠BEC，由同角的余角相等可得∠DBF=∠DAC，根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ACD∽△BFD。23.【答案】解;∵DE∥BC，EF∥AB，

∴∠AED=∠ECF，∠CEF=∠EAD．

∴△ADE∽△EFC．【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可．

24.【答案】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C=45°．

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．

又∵∠ADE=45°，

∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．

∴∠EDC=∠BAD．

∴△ABD∽△DCE．

（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．

②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，

于是AB=AC=2，BC=22，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（22﹣2）=4﹣22

③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，

如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=12AC=1．

【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；

（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．25.【答案】（1）证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

∴∠BAC=∠DAE．

∵∠C=∠E，

∴△ABC∽△ADE．

（2）补充的条件为：AB=AD（答案不唯一）；理由如下：

由（1）得：∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠C=∠EAB=AD，【考点】相似三角形的判定【解析】【分析】（1）由∠1=∠2，证出∠BAC=∠DAE．再由∠C=∠E，即可得出结论；

（2）由AAS证明△ABC≌△ADE即可．26.【答案】解：图中△A′B′C′是△ABC的位似图形，

设银幕距离光源P为xm时，放映的图象正好布满整个银幕，

则位似比=x0.2=22.5×10-2​，

解得x=16．

【考点】位似变换【解析】【分析】由题中条件可知△A′B′C′是△ABC的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解．27.【答案】解：（1）∵∠BAC=45°，∠C=40°，

∴∠B=180°﹣45°﹣40°=95°，

∵△ABC∽△ADE，

∴∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠