第4章《三角形》（解析）

2022-2023学年北师大版数学七年级下册易错题真题汇编（提高版）第4章《三角形》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•东坡区期末）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA的延长线于点N．若∠B＝30°，∠CAN＝96°，则∠N的度数为（）A．22° B．27° C．30° D．37°解：如图所示，∠NAC是三角形ABC的一个外角，∴∠NAC＝∠B+∠ACB，即∠ACB＝∠NAC﹣∠B；∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB，∵∠B＝30°，∠CAN＝96°，∴∠ACD＝∠ACB＝（96°﹣30°）＝33°，∵MN⊥CD，∴在直角三角形OMC中，∠COM＝90°﹣33°＝57°，∵∠NOA与∠COM互为对顶角，∴∠NOA＝∠COM＝57°，∴∠N＝180°﹣57°﹣96°＝27°．故选：B．2．（2分）（2022春•通州区期末）如图的网格线是由边长为1的小正方形格子组成的，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，小明研究发现，内部含有3个格点的四边形的面积与该四边形边上的格点数有某种关系，请你观察图中的4个格点四边形．设内部含有3个格点的四边形的面积为S，其各边上格点的个数之和为n，则S与n的关系为（）A．S＝n B．S＝n﹣ C．S＝n+2 D．S＝n+1解：如图：由题意得：第一个图形：n＝5，S1＝3×3﹣×3×2﹣×3×1＝＝×5+2＝n+2，第二个图形：n＝4，S2＝×4×2＝4＝×4+2＝n+2，第三个图形：n＝5，S3＝×3×1+×3×2＝＝×5+2＝n+2，第四个图形：n＝8，S4＝×3×1+×3×3＝6＝×8+2＝n+2，∴S与n的关系为S＝n+2，故选：C．3．（2分）（2021春•城阳区校级期中）下列结论正确的有（）①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①根据对顶角和邻补角的性质，可得相交的四个角都为90°，所以两直线垂直，正确；②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心，三角形中线的交点为重心，错误；③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB，正确；④根据垂线段最短的性质可以判定，正确；所以，上列结论正确的有3个，故选：C．4．（2分）（2021春•丹东期中）如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ACB＝90°，∵∠EBC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠ACB，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD，∴∠FCD＝∠DFC＝45°，故①正确；∵BE⊥AC，∴AE≠EC，故②不正确；∵＝＝，∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD，故③正确；∵△BDF≌△ADC，∴BF＝AC∵BF＝2EC，∴AC＝2EC，∴E为AC的中点，∵BE⊥AC，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴BA＝BC，故④正确，所以，正确结论的序号是：①③④，故选：A．5．（2分）（2022春•工业园区校级期中）如图，△ABC的两条中线AD、BE交于点F，若四边形CDFE的面积为17，则△ABC的面积是（）A．54 B．51 C．42 D．41解：如图所示，连接CF，∵△ABC的两条中线AD、BE交于点F，∴S△BCE＝S△ABD，∴S四边形CDFE＝S△ABF＝17，∵BE是△ABC的中线，FE是△ACF的中线，∴S△BCE＝S△ABE，S△FCE＝S△FAE，∴S△BCF＝S△BAF＝17，同理可得，S△ACF＝S△BAF＝17，∴S△BCF＝S△BAF＝S△ACF＝17，∴S△ABC＝3S△BAF＝3×17＝51，故选：B．6．（2分）（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（）A．87° B．84° C．75° D．72°解：如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故选：A．7．（2分）（2021春•海淀区校级期末）如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC+102°，∠D＝∠E+27°，则∠ACB的度数为（）A．39° B．40° C．41° D．42°解：设∠ABC＝x，∠E＝y，则∠BAC＝x+102°，∠D＝y+27°．∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝78°﹣2x°．∵AE平分∠CAG，∴∠GAE＝＝＝39°﹣．同理可得：∠DBF＝90°﹣．∵∠GAE＝∠ABC+∠E，∴39°﹣＝x+y．∵∠DBF＝∠D+∠ACB，∴90°﹣＝y+27°+78°﹣2x．∴x＝18°．∴∠ACB＝78°﹣2x＝78°﹣2×18°＝42°．故选：D．8．（2分）（2022春•历城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，综上所述：其中正确的有①③④．故选：D．9．（2分）（2022秋•广州期中）如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，即BC的长可能值有4个，故选：A．10．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•西乡塘区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，若按此变化规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，则＝2n+1．解：由题意得：△OAB的面积＝OB•2＝×2×2＝2，△OA1B1的面积＝OB1•2＝×4×2＝4＝22，△OA2B2的面积＝OB2•2＝×8×2＝8＝23，…∴△OAnBn的面积＝2n+1，故答案为：2n+1．12．（2分）（2022春•新都区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝45°，点E在BC上，点D在AC上，AE⊥BD，若AE＝BD，CE：BE＝4：5，S△AEB＝65，则S△DCE＝20．解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：则∠BMD＝∠CMD＝∠ANE＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CDM、△CAN是等腰直角三角形，∴CM＝DM，CN＝AN，∵AE⊥BD，∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DBM＝90°，∴∠EAN＝∠DBM，∴△AEN≌△BDM（AAS），∴AN＝BM，EN＝DM，∴CN＝BM，∴CM＝BN，∴CM＝DM＝BN＝EN，设BE＝5a，则CE＝4a，BC＝BE+CE＝9a，CM＝DM＝BN＝EN＝BE＝a，AN＝BM＝BC﹣CM＝a，∴S△AEB＝BE×AN＝•5a•a＝65，∴a2＝4，∴S△DCE＝CE×DM＝•4a•a＝5a2＝20；故答案为：20．13．（2分）（2022春•锦江区校级期中）如图，AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，且AE与CE相交于点E．若∠D＝40°，∠B＝30°，则∠E的度数为35°．解：∵AE是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，∴∠DAE＝∠DAB，∠DAE＝∠DAB，∵∠D+∠DCB＝∠B+∠BAD①，∠D＝40°，∠B＝30°，∴∠BAD﹣∠DCB＝10°，∴∠DAE﹣∠DCE＝5°，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE②，①+②，得80°+3∠DCE＝30°+∠E+3∠DAE，∴50°﹣3（∠DAE﹣∠DCE）＝∠E，∴∠E＝35°，故答案为：35°．14．（2分）（2022秋•张店区校级期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案为1．15．（2分）（2021春•海州区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝52°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝16°．解：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A＝52°，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣52°）＝64°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣64°＝296°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠5+∠6＝∠MBC，∠1＝∠NCB，∴∠5+∠6+∠1＝（∠NCB+∠NCB）＝148°，∴∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝180°﹣148°＝32°，∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，∵∠3+∠4＝∠5+∠F，∠2+∠3+∠4＝∠5+∠6+∠E，即∠2＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，∴2∠F＝∠E，∴∠F＝∠E＝×32°＝16°．故答案为：16°．16．（2分）（2021春•沭阳县期中）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△BEF（阴影部分）的面积等于4cm2．解：如图所示：∵点D是BC的中心，∴BD＝CD，∴，又∵S△ABC＝16，∴，同理可得：SBDE＝4，S△CDE＝4，又∵S△BCE＝S△BDE+SCDE，∴S△BCE＝4+4＝8，又∵F是EC的中点，∵＝，故答案为4．17．（2分）（2022春•工业园区校级期中）如图点B在线段AC上（BC＞AB），在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1；当AB＝2时，△AME的面积记为S2；当AB＝3时，△AME的面积记为S3……S101﹣S100＝．解：连接BE，∵在正方形ABMN正方形BCEF中，∠NAB＝∠CBF＝90°，AM平分∠NAB，BE平分∠FBC，∴∠EBC＝∠MAB＝45°，∴AM∥BE，∴△ABM与△AME同底等高，∴△ABM与△AME面积相等，∴AB＝101时，S△AME＝×1012，AB＝100时，S△AME＝，∴S101﹣S100＝＝；故答案为：．18．（2分）（2021春•青羊区校级期中）△ABC中，∠A＝90°．现进行第一次操作：如图1作射线BA1，使得∠ABA1＝∠ABC，作射线CA1，使得∠ACA1＝∠ACD．再进行第二次操作：如图2作射线BA2，使得∠A1BA2＝∠A1BC，作射线CA2，使得∠A1CA2＝∠A1CD．再进行第三次操作：如图3作射线BA3使得∠A2BA3＝∠A2BC，作射线CA3，使得∠A2CA3＝∠A2CD．则∠A3＝20°．解：第一次操作：∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵∠ABA1＝∠ABC，∠ACA1＝∠ACD，∴∠DCA1＝（90°+∠ABC）＝45°+，∠CBA1＝∠ABC，第二次操作：∵∠A1BA2＝∠A1BC，∠A1CA2＝∠A1CD，∴A2BC＝∠A1BC＝∠ACB，∠A2CD＝∠A1CD＝（90°﹣∠ABC）＝60°﹣∠ABC，第三次操作：∵∠A2BA3＝∠A2BC，∠A2CA3＝∠A2CD，∴∠A3BC＝∠ACB，∠A3CD＝40°﹣∠ABC，∴∠A3＝∠A3CD﹣∠A3BC＝40°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；故答案为：20°．19．（2分）（2022•盘龙区二模）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为或3或或cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．解：设点P在线段BC上运动的时间为ts，①点P由B向C运动时，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3（cm/s）；②点P由B向C运动时，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP，∴3t＝8﹣3t，t＝，此时，点Q的运动速度为：5÷＝（cm/s）；③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝3t﹣8，解得t＝，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷＝（cm/s）；④点P由C向B运动时，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝4，3t﹣8＝4，t＝4，∵BE＝CQ＝5，此时，点Q的运动速度为5÷4＝（cm/s）；综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；故答案为：或3或或．20．（2分）（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，且AE：EB＝2：3，点D是BC边上的点，且BD：DC＝1：2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是16，则△ABC的面积为60．解：连接FB，如图所示：设S△BDF＝a，S△BEF＝b，∵，∴S△AEF＝b，∵BD：DC＝1：2，∴S△CDF＝2a，∴S△ABD＝S△ACD＝（16+b），S△ACE＝（16+2a），∵S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF，∴32+b﹣2a＝（16+2a）﹣b，∴10a﹣6b＝64，∵a+b＝16，，解得，∴S△ABC＝S△ACD+S△AEF+S四边形BDFE＝（32+b）+b+16＝40+20＝60．故答案为：60．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022春•鄄城县期末）已知如图，AD是△ABC的角平分线，点D、E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG与∠G相等吗？为什么？解：∠AFG＝∠G，证明如下：∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知），∠BEF+∠GED＝180°（平角的定义），∴∠GED＝∠ADC（同角的补角相等）．∴AD∥GE（同位角相等，两直线平行），∴∠AFG＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），∵AD是∠BAC的平分线（已知），∴∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义），∴∠AFG＝∠G（等量代换）．22．（8分）（2022春•侯马市期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．（1）①若∠BAO＝60°，则∠D＝45°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度数．解：（1）①∵∠ABN是△AOB的一个外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一个外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，故答案为：45°；②∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化，理由：∵∠ABN是△AOB的一个外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一个外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，∴∠D的度数不会随A，B的运动而发生变化；（2）∵∠ABN是△AOB的一个外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵∠ABC是△ABD的一个外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD，∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝30°，∴∠D的度数为30°．23．（8分）（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝25°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．解：【探究】①∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠BAO＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝50°，∵BI平分∠ABO，∴∠ABI＝∠ABO＝25°；故答案为：25；②不变，∠AIB＝135°．∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴，，∴＝＝，∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，∴∠AOB＝90°，∴．【拓展】不变，∠ADB＝45°，理由如下：∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA，∠BAI＝∠BAO，∵∠CBA＝∠ADB+∠BAD，∠AOB＝90°，∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．24．（8分）（2022春•钦北区期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）问题思考：按小明的思路，请你求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，请你判断∠APC与α，β之间有何数量关系，并说明你的理由；（3）问题解决：我们发现借助构造平行线的方法可以解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．请你试试构造平行线解决以下问题．已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°．解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°；（2）∠APC＝α+β，理由如下：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．25．（8分）（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝146°；（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．解：（1）如图，作CP∥a，∵a∥b，CP∥a，∴CP∥a∥b，∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝146°．故答案为：146°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：如图，作CP∥a，则CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∵∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝135°，∴∠GOP＝135°﹣∠POQ，∴∠OPQ＝