2025年沪科版高三数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高三数学下册阶段测试试卷970考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知a，b，c是三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β；α∩β=c，给出下列命题：

①若a与b是异面直线，则c至少与a、b中一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b；则必有a∥c；

④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β；其中正确的命题的个数是（）A.0B.1C.2D.32、设a，b，c均为正数，且2a=log0.5a，，（）c=log2c，则（）A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜a＜c3、若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A.B.a2＞b2C.a+c＞b+cD.ac2＞bc24、已知等比数列{an}，其中a2=4，a5=32，则公比q为（）A.2B.-2C.4D.-45、设函数，则=（）A.B.C.D.6、函数的最小值等于（）A.3B.2C.4D.7、设α；β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是（）

A.4

B.3

C.2

D.1

8、已知集合M={x||x|≤1}，N={y|y=2x；x≤0}，则集合M与集合N的关系是（）

A.M⊆N

B.M=N

C.N⊆M

D.不确定。

9、若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2的最小值为()A.1B.6C.11D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、甲船在岛B的正南A处，AB=10nmile，甲船自A处以4nmile/h的速度向正北航行，同时乙船以6nmile/h的速度自岛B出发，向北偏东60°方向驶去，则两船相距最近时经过了____min．11、（2015•北京）高三年级267位学生参加期末考试；某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲；乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看；

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是____．12、已知函数f（x）是偶函数，当x≤0时，f（x）=x（x+1），则当x＞0时f（x）=____．13、若直线mx-ny+1=0（m＞0，n＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则的最小值为____．14、已知点A（-1，5）和向量=（2，3），若=3则点B的坐标为______．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．20、空集没有子集．____．21、任一集合必有两个或两个以上子集．____．22、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、计算题(共4题，共20分)23、已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期T；

（Ⅱ）求使f（x）≥0时；x的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后成为偶函数？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．24、0到9共可以组成小于5000的四位数偶数____个．25、已知等差数列{an}各项都不相同，前3项和为18，且a1、a3、a7成等比数列。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn+1-bn=an（n∈N*），且b1=2，求数列的前n项和Tn．26、已知向量=（-cosx，sinx），，函数f（x）=．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的最小正周期；单调增区间；

（3）求函数f（x）在x∈[0，π]时的最大值及相应的x的值．评卷人得分五、作图题(共4题，共20分)27、用“五点法”作函数y=4sin（x-）的简图．28、用平面区域表示下列不等式组．

（1）

（2）．29、作出函数y=cos（x-）的大致图象．30、已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且AB＞CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由____、____、____的几何体构成的组合体．评卷人得分六、证明题(共4题，共28分)31、用反证法证明：若三个互不相等的正数，a，b，c成等差数列，求证：a，b，c不可能成等比数列．32、已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，且∠DAB=．

（Ⅰ）求证：PB⊥AD；

（Ⅱ）若AB=2，求四棱锥P-ABCD的体积．33、如图；在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．

（Ⅰ）求证：平面A′DE⊥平面A′EF；

（Ⅱ）求三棱锥A′-DEF的体积．34、已知：∠A+∠B+∠C=180°，证明：．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【分析】①可运用反证法，若c与a，b都不相交；即平行，由平行公理即可判断；

②若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则a⊥b；即可判断；

③运用线面平行的判定定理和性质定理；即可判断；

④若a⊥b，a⊥c，若b∥c，推不出a⊥β，也即推不出α⊥β，即可判断．【解析】【解答】解：对于①，由于a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β=c，若c与a，b都不相交；即平行；

则c∥a，c∥b，即有a∥b，与a，b异面矛盾；则①正确；

对于②，若a不垂直于c，假设a∥c，b⊥c，则a⊥b；则②错误；

对于③，若a∥b；a⊄β，即有a∥β，α∩β=c，a⊂α，则必有a∥c，则③正确；

对于④，若a⊥b，a⊥c，若b∥c；推不出a⊥β，也即推不出α⊥β，则④错误．

综上可得；①③正确．

故选C．2、A【分析】【分析】将原来的三个方程根看成是函数图象的交点的横坐标，分别画出四个函数：y=2x，y=（）x，y=log2x，y=x的图象．利用图象能求出结果．【解析】【解答】解：a，b，c均为正数，且2a=log0.5a，（）c=log2c，

将原来的三个方程根看成是函数图象的交点的横坐标；

分别画出四个函数：y=2x，y=（）x，y=log2x，y=x的图象．

如图：

由图可知：a＜b＜c．

故选：A．3、C【分析】【分析】利用不等式的性质，和通过取特殊值即可得出．【解析】【解答】解：A．∵1＞-2，但是不成立；故A不正确；

B．∵-1＞-2，但是（-1）2＞（-2）2不成立；

C．∵a＞b，∴a+c＞b+c；正确；

D．c=0时，0=ac2＞bc2=0；不成立．

故选C．4、A【分析】【分析】由题意可得==8=q3，由此求得q的值．【解析】【解答】解：∵等比数列{an}，其中a2=4，a5=32，公比q，则有==8=q3；∴q=2；

故选A．5、A【分析】【分析】先求f（3）的值，然后求出的值．【解析】【解答】解：f（3）=32+3×3-2=16；

所以==1-2×=．

故选A．6、C【分析】【分析】函数式的几何意义是：动点P（，x）到两定点F（1，0）和A（3，1）的距离之和，利用动点P在抛物线上的特殊性结合抛物线的定义求解即可．【解析】【解答】解：函数式的几何意义是：

动点P（；x）到两定点F（1，0）和A（3，1）的距离之和；

动点P在抛物线y2=4x上．点F是此抛物线的焦点；

设点A在准线上的射影为D；则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|

∴要求|PA|+|PF|取得最小值；即求|PA|+|PD|取得最小

当D；P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+1=4．

故选C．7、C【分析】

由题设知：②③④⇒①正确；因为垂直于两个互相垂直的平面的两条直线垂直，命题正确。

①③④⇒②正确；因为在①③条件下可证得m∥β或m⊂β，再由④可证得②成立，命题正确；

①②④⇒③不正确；在此条件下n与平面α的关系不确定，则n与β的关系不确定，故不正确；

①②③⇒④不正确；此条件可推出m与α内一条直线n垂直，无法判断出m⊥α故不正确。

故选C．

【解析】【答案】从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件；余下一个作为结论组成命题，共有四种选法，依次对每一种作出判断即可．

8、C【分析】

∵|x|≤1；∴-1≤x≤1；

∴M={x|-1≤x≤1}；

∵y=2x；x≤0，∴0＜y≤1；

即N={y|0＜y≤1}；

∴N⊆M

故选C．

【解析】【答案】根据绝对值不等式的解法求出集合M；利用指数函数的值域求得集合N，即可得到集合M与集合N的关系．

9、D【分析】【解答】∵

∴当且仅当时等号成立.

∴的最小值为

【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】【分析】两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以A岛为顶点，角度是120度的三角形，设距离最近时航行时间为t（h），此时距离s（km），此时s（nmile），此时甲船到B岛距离为（10-4t）nmile，乙船距离B岛6t（nmile）．由余弦定理可得cos120°==-0.5，化简得：s2=28t2-20t+100，由此能求出甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间．【解析】【解答】解：两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以A岛为顶点；角度是120度的三角形；

设距离最近时航行时间为t（h）；此时距离s（nmile），此时甲船到B岛距离为（10-4t）nmile，乙船距离B岛6t（nmile）．

由余弦定理可得cos120°==-0.5，化简得：s2=28t2-20t+100．

此函数的图象是抛物线，开口朝上，故在对称轴处s2有最小值；

故s2取最小值时，t=-=h=min．

故答案为：．11、略

【分析】【分析】（1）根据散点图1分析甲乙两人所在的位置的纵坐标确定总成绩名次；

（2）根据散点图2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于．【解析】【解答】解：由高三年级267位学生参加期末考试；某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知。

①在甲；乙两人中；其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；

②观察散点图；作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；

故答案为：乙；数学．12、略

【分析】【分析】设x＞0，则-x＜0，代入可得f（-x）的解析式，进而利用偶函数的性质f（x）=f（-x）即可得出答案．【解析】【解答】解：设x＞0；则-x＜0；

∵当x≤0时；f（x）=x（x+1）；

∴f（-x）=-x（-x+1）x=x2-x；

又函数y=f（x）是偶函数（x∈R）；

∴f（x）=f（-x）=x2-x．

故答案为：x2-x13、略

【分析】【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出．【解析】【解答】解：f（x）=ax+1+1过定点（-1；2），又点在直线上；

∴m+2n=1；

∴（当且仅当时取等号）．

故答案为8．14、略

【分析】解：设B（x，y），点A（-1，5）和向量=（2，3），若=3

可得：（x+1；y-5）=（6，9），解得x=5，y=14．

故答案为：（5；14）；

设出B的坐标；利用已知条件求解即可．

本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．【解析】（5，14）三、判断题(共8题，共16分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．22、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、计算题(共4题，共20分)23、略

【分析】【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-）-1；由sinx≠0，可求f（x）的定义域，利用三角函数周期公式可求f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）由f（x）≥0知，，得；即可解得x的取值范围．

（Ⅲ）f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为，该函数为偶函数，则需满足，从而解得m的值，即可得解．【解析】【解答】解：（Ⅰ）∵

=；

∴由sinx≠0知；x≠kπ（k∈Z）；

∴f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠kπ（k∈Z）}；

f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）由f（x）≥0知，即；

∴，即；

∴f（x）≥0时，x的取值范围为：．

（Ⅲ）函数f（x）的图象向左平移m个单位后得到的函数为；

即；

若要使该函数为偶函数，则需满足；

∴；

∴存在最小正实数，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后为偶函数．24、略

【分析】【分析】首位是1、2、3、4，末尾是0，2，4，6，8，故可得四位偶数的个数．【解析】【解答】解：首位是1、2、3、4，末尾是0，2，4，6，8，故四位偶数有5×=2500个；

故答案为：2500．25、略

【分析】【分析】（1）根据题意，得a1+a2+a3=3a2=18，解得a2=6，再由a1、a3、a7成等比数列，建立关于公差d的方程并解之得d=2，由等差数列通项公式即可算出数列{an}的通项公式；

（2）利用逐项作差、累加求和的方法，结合等差数列的前n项和公式算出bn=n（n+1），得到关于n的表达式并化简得，利用裂项相消法求和可得数列的前n项和Tn的表达式．【解析】【解答】解：（1）依题意；得。

a1+a2+a3=18，即3a2=18，解得a2=6

设数列{an}的公差为d；可知d≠0

可得，即（6+d）2=（6-d）（6+5d）

解之得d=2

∴an=a2+（n-2）d=2（n+1），即数列{an}的通项公式为an=2（n+1）；

（2）由已知bn+1-bn=an

∴当n≥2时，bn-bn-1=an-1=2n；所以可知。

以上各式进行累加，可得bn=2（1+2+3++n）=n（n+1）

又∵b1=2=1×（1+1），也满足bn=n（n+1）

∴可知当n∈N*时，bn=n（n+1）

因此；

可得．26、略

【分析】【分析】（1）利用向量的坐标运算；结合三角函数中的辅助角公式可以求得f（x）的解析式；

（2）由（1）得到f（x）=；利用正弦函数的周期公式，可求得其最小正周期，利用正弦函数的单调性可求其单调增区间；

（3）当x∈[0，π]，易求2x，从而可求得f（x）的最大值及相应的x的值．【解析】【解答】解：（1）

==；

（2）由（1）；

所以最小正周期；

，解；

所以函数的单调递增区间．

（3）当x∈[0，π]时，所；

当，即时f（x）取最大值，．五、作图题(共4题，共20分)27、略

【分析】【分析】令x-=0，，π，，2π，得到相应的x的值及y的值，再描点即可．【解析】【解答】解：（1）列表如下：

。x-0π2πx4sin（x-）040-40函数y=4sin（x-）的简图如下：

28、略

【分析】【分析】由题意，分别画出不等式表示的平面区域，公共部分即为不等式组表示的平面区域．【解析】【解答】解：（1）如图

（2）不等式组表示的平面区域如图：．29、略

【分析】【分析】利用五点作图法作出f（x）的简图．【解析】【解答】解：用五点作图法作出f（x）的简图．

列表：

。x-0π2πx-y=cos（x-）01210函数的在区间[-，]上的图象如下图所示：

30、圆锥圆台圆锥【分析】【分析】根据题意对等腰梯形ABCD进行分割，再由圆锥和圆柱的结构特征进行判断可得答案．【解析】【解答】解：根据题意画出等腰梯形ABCD；并作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E和F：

有图得；直角三角形△ADE旋转后得到一个圆锥，矩形DEFC得到一个圆柱；

直角三角形△BCF旋转后得到一个圆锥；

故答案为：圆锥、圆柱、圆锥．六、证明题(共4题，共28分)31、略

【分析】【分析】假设a，b，c成等比数列，则b2=ac，由等差数列的性质可得b=，能推出a=c与三个互不相等的正数矛盾，即可得出结论．【解析】【解答】证明：假设a，b，c成等比数列，则b2=ac；

∵a，b；c成等差数列；

∴b=；

∴（）2=ac；

∴（a-c）2=0；

∴a=c