2024-2025学年上海南洋模范中学高三上学期数学月考试卷及答案（2024.11）（含答案）

参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.已知，且是复数，当的最大值为3，则________．【答案】【解析】设是实数,则，,综上,勺最大值为,即有.故答案为:.12．已知平面向量，，满足与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的取值范围是________．【答案】【解析】设与的夹角为,则，

当,上式有最小值为,的最小值为的最小值为3,,解得.

又,此时，，与的夹角为,且不妨设,向量的取值范围是故答案为:二、选择题13.C；14.D；15.A；16.A15．如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A． B． C． D．【答案】【解析】正三棱柱中,正三棱柱的所有棱长相等,设棱长为1,如图，过作,垂足点为,连接,则,与所成的角为,且,又,与平面所成的角为,且①再过点作,垂足点为,连接,又易知底面底面,,又平面二面角的平面角为,且,②,又,③

由①②③得,又在单调递增,故选:.16.已知数列满足（为正整数），，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中（）．A．①正确，②正确 B．①正确，②错误C．①错误，②正确 D．①错误，②错误【答案】【解析】不妨设出数列中的一项,

①若被3除余1，则由已知可得，,

若被3除余2,则由已知可得,,若被3除余0,则由已知可得,,

所以对对任意的,则,

所以对数列中的任一项,若,则,因为，所以，所以数列中必存在某一项(否则与上述结论矛盾),若,结论得证,若,则,,结论得证,若,则,得证,

所以，不论取何值，总有；故①正确;

②若是3的倍数,则,

若被3除余1,则由已知可得,，

若被3除余2，则由已知可得，,

所以连续的7项构成等比数列的公比为,因为，所以这7项中前6项一定都量3的倍数，而第七项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连接项数会多于7项)，设第7项为,则是被3除余1或余2的正整数，则可推得,因为,所以,或,由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于等于2022的项只有;,或，或，

所以首项的有可能取值的集合为,,故的可能取值有6个.故②正确.故选:.三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）；3.1秒（2）20米/秒；72千米/小时20．如图所示，由椭圆和椭圆组合而成的曲线，由图形特点，这里称曲线为“猫眼曲线”，特别地，若两个椭圆的离心率相等，则称其为“优美猫眼曲线”．（1）已知猫眼曲线满足，，成等比数列，试判断该曲线是否为“优美猫眼曲线”；（2）在曲线中，若，，，斜率为的直线不经过坐标原点，且与椭圆相交所得弦的中点为，与椭圆相交所得弦的中点为，证明：直线，的斜率之比为定值；（3）在（2）的条件下，若直线的斜率，且与椭圆相切，与椭圆相交于，两点，为椭圆上异于，的任意一点，求面积的最大值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）因为成等比数列,所以,此时椭圆的离心率,所以椭圆的离心率,因为,所以,

则该曲线是"优美猫眼曲线";

(2)证明：设直线的方程为，联立，消去并整理得此时,

所以,则,

所以,同理得,所以为定值;

(3)设直线的方程为,联立,消去并整理得因为直线与椭圆相切,所以,解得,不妨取,此时直线的方程,联立,消去并整理得

设,由韦达定理得,

所以，设,

设点到直线的距离为,则当,即时，取得最大值，最大值为.

则面积最大值21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，称是“青峰”函数，并称是的“青峰值”．（1）试分别判断函数，和，是不是“青峰”函数？并说明理由；（2）若是“青峰”函数，且“青峰值”为2，求实数的取值范围；（3）证明：是“青峰”函数，并求出该函数“青峰值”的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】（1）函数是"卓然"函数,因为,

当时,则有,,满足;

因为,,当时,,而,

所以不可能成立,即不存在实数和，使得成立，

所以不是"卓然"函数；

(2)由题意可得,所以有解，

即有解，对于函数，

因为

所以,)

令,则,解得,,单调递减区间:,故值域为：。

所以实数的取值范围是.

(3)证明:因为,

设,,,

当时，恒成立，此时不存在使得成立，不合题意;

当时,因为与在上均单调递减,

所以在上单调递减，所以在上单调递增，

因为，,

所以存在使,,当时,单调递减,当时,单调递增,所以由,所以,所以

此时不存在使得成立，不合题意；

当时,若,则,从而，所以在上单调递增,

当时,设,则，

设,当时，在上单调递增，且,所以,从而,所以,从而,所以在上单调递增,所以，

从而,所以在上单调递增,又,

由零点存在性定理可知，存在使得,

即成立，符合题意；当时,,显然存在零点符合题意;

当时，在上单调递减，

且,所以,