湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖北省武汉市武昌区2025届高三上学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={x|0<x≤4}A.(0,2) B.(−2,2) C.(0,4] D.(−2,4]2.若复数z满足i·(1+z)=1，则z+zA.2 B.−2 C.2i D.−2i3.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x，则C的离心率为A.52 B.5 C.524.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且A.8 B.10 C.13 D.155.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为1600π cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭(浇铸过程体积无变化)，该铁锭的上、下底面的边长分别为20πcmA.30 cm B.807cm C.36 cm 6.已知函数f(x)=cos2x−3sin2x在−π2,a与A.−π6,π3 B.−π7.已知平面向量a，b，c，满足a⋅c=|b−6cA.0 B.3 C.2 D.8.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递减，∀x∈(0,+∞)，均有f(x)⋅ff(x)+2x=1，则函数y=f(A.8 B.6 C.4 D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某射击运动员在一次训练中一共进行了10次射击，成绩依次为6，5，7，8，6，7，9，7，9，5(单位：环)，则下列说法中正确的是A.这组数的众数为7B.这组数的第80百分位数为8

C.若每个数都减去2，则这组数的均值也会减去2D.若每个数都乘以2，则这组数的方差也会乘以210.已知函数f(x)=x3−aA.f(1)≥0B.若函数f(x)单调递增，则a2≥3

C.当a=3时，函数f(x)的图象关于点(1,6)中心对称D.若存在m>0，使得f(m)≤0，则a11.已知非常数数列{an}，其前n项和为Sn，若∀k∈N ​∗，∃i∈N ​∗，i≤k，使得A.数列0，0，1，1，−1，−1是包容数列

B.任何包容数列的前三项中一定存在两项互为相反数

C.若一个包容数列从第k项开始连续三项可以构成一个各项均为正数的等差数列，则k的最小值为5

D.由−1，0，1三个数生成的包容数列中，如果去掉一项后依然是包容数列，这项一定是0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x+y)n展开式中只有第7项的系数最大，则n=13.已知随机变量X，Y均服从0−1分布，若P(X=1)=P(Y=1)=13，且P(XY=0)=1，则P(X=Y)=

．14.设圆O:x2+y2=5与抛物线C:y2=2px(p>0)交于点A(x0,2)，AB为圆O的直径，过点B的直线与抛物线C交于不同于点A的两个点四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足(sin(1)求B；(2)若△ABC的面积为3，b=13，求中线16.(本小题12分)如图，四棱锥F−ABCD中，FA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD//BC，AD=2BC=2．(1)已知G为AF的中点，求证：BG//平面DCF；(2)若直线BF与平面ABCD所成的角为π4，二面角A−DC−F的余弦值为23，求点B到平面DCF17.(本小题12分)已知函数f(x)=e(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x<1时，f(x)<1，求实数a的取值范围．18.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距为23，点A，B分别为C的左、右顶点，点P，Q为C上的两个动点，且分别位于x(1)求椭圆C的方程；(2)若λ=7−43，求证直线(3)若λ>1，设直线AP和直线BQ的斜率分别为k1，k2，求k19.(本小题12分)有五张背面完全相同的数字卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，将它们背面朝上随机放在桌子上(不叠放)，翻开这些卡片时，要求按照从小到大的数字顺序依次翻开，如果翻开了一张卡片其顺序不符合要求，应该立刻将它翻回至背面朝上(翻回不计入次数)并记住此卡片出现的数字，以保证翻卡片的次数尽可能少，直到所有卡片正面朝上为止．(1)求第三次恰好翻开数字为2的卡片且不再翻回的概率；(2)记X为需要翻开的次数，求X的分布列及数学期望；(3)将卡片数量改为n张(n∈N ∗)，并依次写上数字1，2，3，…，n，记E(附：数学期望具有线性可加性，即E(X+Y)=E(X)+E(Y)．

参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.D

7.D

8.A

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.12

13.1314.2

15.解：(1)因为A+B+C=π，所以，sin2A−2sinAsinC+sin2C=sin2(π−B)−sinAsinC.

又因为asinA=bsinB=csinC．

所以，a2−2ac+c2=b2−ac，得b2=a2+c2−ac，

所以，由余弦定理得cosB=a2+16.【解答】

(1)证明：

取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以KG//AD，KG=12AD，

因为BC//AD，BC=12AD，所以KG//BC，KG=BC，所以四边形KGBC为平行四边形，

所以KC//BG，因为BG⊄平面DCF，KC⊂平面DCF，故BG/​/平面DCF；

(2)解：因为FA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD/​/BC，所以FA，AD，AB两两垂直，

以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

直线BF与平面ABCD所成的角为∠ABF=π4，有AB=AF，设AB=AF=a(a>0)，，

则B(0,a,0)，F(0,0,a)，C(1,a,0)，D(2,0,0)，所以DC=(−1,a,0)，DF=(−2,0,a)，AF=(0,0,a)，

设平面DCF的法向量为n=(x,y,z)，所以n⋅DC=0n⋅DF=0，即ay−x=0az−2x=0,

令x=1，则y=1a，z=2a，所以17.解：(1)当a=1时，f(x)=ex(2x−1)x−1(x≠1)，

则f′(x)=ex(2x2−3x)(x−1)2，

令f′(x)=0，解得x=0或32，

当x<0或x>32时，f′(x)>0;

当0<x<1或1<x<32时，f′(x)<0．

所以f(x)在(−∞,0)，(32,+∞)单调递增，f(x)在(0,1)，(1,32)单调递减．

(2)因为x<1时，f(x)<1，

所以f(x)=ex(2x−a)x−1<1(x<1)，得a<2x−x−1ex(x<1)，

即a<(2x−x−1ex)min，

令ℎ(x)=2x−x−1ex(x<1)，18.解：(1)由题意知，2a=2⋅2b，2c=23，又a2−b2=c2，∴a=2，b=1，

所以椭圆C的方程为：x24+y2=1．

(2)证明：由(1)知A(−2,0)，B(2,0)，由图形对称性可知，定点M在x轴上，

设直线PQ方程为：x=my+x0，M(x0,0)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

S1S2=12|AM|⋅|y1−y2|119.解：(1)前两次一定会翻到1，否则第三次翻到2也会被翻回，

故分两种情况：如果第一张翻出了1，那么第二次一定不能翻2，

因此p1=15×34×13=120;

如果第二张翻出了1，那么有两种情况，第一种情况第一张翻出了2并翻回，

为了保证最优解，在第三次翻卡片时必须把2翻开;

另一种情况是第一张没有翻出2，第三张恰好翻到2，

因此p2=15×14+35×14×13=110．

所以p=p1+p2=320．

(2)根据题意可以推断出下面两点：

首先，错误翻开的卡片即使被翻回至背面朝上，也会知道这张卡片的点数，

因此第二次翻开它时并非随机事件;

其次，如果在翻一张卡片时，点数比它小的所有卡片没有被翻开，那么这张卡片就需要被翻两次．

可以看作是考虑随机对翻开五张卡片的进行排列，

从左往右依次翻开卡片，遇到不符合顺序的进行调整，

因此需要翻开的次数X可取5，6，7，8，9，

 ①当X=5时，恰好按照从小到大的顺序翻开了所有卡片，

因此，P(X=5)=15X56789P11751因此