江苏省扬州市邗江区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024—2025学年度第一学期期末考试九年级数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（▲）A． B． C． D．2．扬州某日天气预报显示最高气温为5℃，最低气温为﹣4℃，则该日的气温极差为（▲）A．1℃ B．6℃ C．9℃ D．10℃3．已知圆O的半径为4，同一平面内有一点P，且OP＝5，则点P与圆O的位置关系是（▲）A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定4．某校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女同学组成表演方阵，在这个问题中，最值得关注的是该校所有女生身高的（▲）A．方差 B．众数 C．平均数 D．中位数5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图像和性质的说法，正确的是（▲）A．图像的开口向上 B．图像的顶点坐标是（1，3） C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图像与x轴有唯一交点6．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（▲）A．3 B．12 C．4π D．12π（第6题图）（第7题图）7．如图，⊙O中，半径OA⊥OE，弦AB交OE于D，过B作⊙O的切线，交OE的延长线于C，OA＝3，BC＝4，则AD的长为（▲）A．3.5 B． C． D．8．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程﹣是“贺岁”方程，则﹣的值为（▲）A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则x1•x2的值为▲．10．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为▲．（第10题图）（第16题图）（第17题图）11．小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是▲分．12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是▲．13．将函数y＝﹣x2的图像先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图像对应的函数表达式是▲．14．用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为▲．15．为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为▲．16．如图，CD是⊙O的直径，BE是弦，延长BE交CD的延长线于点A，连接CE，若∠A＝22°，＝32°，则∠BCE的度数是▲．17.如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为边AD上的动点，连接CE，以CE为边作正方形ECGF，连接DG，EG，则△DEG面积的最大值为▲．18.已知二次函数，的解集为，且当﹣1≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2，则的值为▲．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．20．（本题满分8分）某中学举行“迎新年•校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如图所示．（1）根据图示填写下表；平均数（分）中位数（分）众数（分）七年级▲85▲八年级85▲100（2）哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明）21．（本题满分8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．22．（本题满分8分）在一个不透明的箱子里装有3个红球和若干个白球，每个小球除颜色外完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，重复多次试验后，经统计发现摸到红球的频率大约稳定在0.75．（1）用频率估计概率，估计箱子里白球的个数为▲个．（2）现从该箱子里随机摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里摇匀，再随机摸出1个小球，用画树状图或列表的方法记录颜色，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．23．（本题满分10分）足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为2米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式；（2）已知球门高OB为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．24．（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠CDF＝22.5°，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分10分）2024年扬州鉴真半程马拉松3月31日活力开跑，某经销商购进了一批以“扬州是个好地方”为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件．（1）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为1050元；（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？26．（本题满分10分）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）.【问题再现】如图1，过点P作⊙O的一条切线；【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线PQ被⊙O截得的弦被点P平分；【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被⊙O截得的弦其长度等于弦AB的长.图1图2图3【问题再现】主要作图步骤:；【问题联想】主要作图步骤:；【问题再解】主要作图步骤:.27．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于E、F两点,长方形ABCD的顶点C、D在轴上，B（-1，-2），D(2,0).(1)如图1，若抛物线过点A，求抛物线的函数表达式和点F的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接AF,作直线AC，平移线段AF，使点A的对应点P落在直线AC上，点F的对应点Q落在抛物线上，求Q点的横坐标；(3)若抛物线与图2中△ABC恰有两个交点，则的取值范围是▲．28．（本题满分12分）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”.某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，尝试解决下面问题（1），请你协助完成.（1）如图①，在△ABC中，∠C＝30°，其外接圆半径等于3，求AB的长以及△ABC面积的最大值.图1数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.恰逢校园改造，兴趣小组通过实地观察和测量，提出了下面问题（2）和（3）.经过讨论，他们认为可以运用解决问题（1）时所积累的经验和方法来解决当前问题，请你协助完成.（2）如图②，一块△DEF施工地，经测量∠D＝45°，∠E＝75°，DF＝米.现要在墙DE上选择一点G，搭支架GH与墙EF垂直，支架GI与墙DF垂直，H，I之间拉围栏保证施工安全，则围栏HI长度的最小值为▲米.图2图3（3）如图③，学校决定在校园内建造一个△ABC花坛，为了确保观赏性，在A点和BC边的中点D之间铺设一条笔直的小径AD，长是20米.根据设计要求，从A点看去，视角为45°角，即∠BAC＝45°.现希望△ABC花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变.在这些条件下，△ABC花坛面积的最大值为▲平方米.2024—2025学年度第一学期期末考试九年级数学答案试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）题号12345678答案BCABCBDC二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9；10；1178；12；13；142；15；1636°；17；18.三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题满分8分）计算或化简（1）解：…………2分…4分（2）x（x﹣3）＝3﹣x解：………2分…………4分（根据学生选择的方法酌情给分）20．（本题满分8分）解：(1)平均数为85，…………1分中位数为80，…………2分众数为85…………3分(2)七年级方差70…………5分八年级方差160…………7分七年级稳定…………8分21．（本题满分8分）解：（1）设方程的另一个根为x，将x＝1代入原式得：a＝，…2分将a代入原式解得另一根x＝﹣，即a＝，方程的另一个根为﹣；……………4分（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．…8分 22．（本题满分8分）解：（1）∵通过重复多次试验后，经统计发现摸到红球的频率大约稳定在0.75，∴估计摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，根据题意，得：＝0.75，解得x＝1，经检验x＝1是分式方程的解，∴估计箱子里白球的个数为1．故答案为：1；……………2分（2）画树状图为：……………6分共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为＝．………………8分23．（本题满分10分）解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（2，3），经过A（8，0），∴可设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，……………2分把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得，…4分∴抛物线的函数表达式为；…6分（2）由题意得当x＝0时，＝，…………8分∴球不能射进球门．…………………10分24．（本题满分10分）解：（1）连接OD，如图：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，…3分∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴直线DF是⊙O的切线；…5分（2）连接AD，OE，如图：∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，∴∠C＝∠B＝67.5°，∴∠BAC＝45°，∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°，…8分∵⊙O的半径为2，∴S扇形AOE＝π，S△AOE＝2，∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝π﹣2．…10分25．（本题满分10分）解：（1）设：销售单价为x元由题意可得：（x﹣30）[20+2（70﹣x）]＝1050，…3分解得x1＝65，x2＝45答：当销售单价为65元或45元时，销售这款文化衫每天所获得的利润为1050元；……………5分（2）设销售这款文化衫每天所获得的利润为w，由题意可得：w＝（x﹣30）[20+2（