2024届高考数学必练题及答案解析

2024年高考数学考前必练题

1.如图，在直三楂柱A4C-A1B1。中，AC=13C=\,48=44=或，。是棱C。的中点.

（1）求证：平面平面A41O；

（2）求平面ABD与平面AB\D所成锐二面角的余弦埴.

【分析】（I）证明：推出Ad_L平而/WiD,然后证明平面

_L平面AB\D.

（2）以C为坐标原点，CA,CB,C。所在直线分别为-），，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系C-Q2,求出平面A81O的法向量，平面A3。的法向量，利用空间向量的数

量积求解平面ABD与平面AB\D所成锐二面角的余弦值即可.

【解答】（1）证明：在直三楂柱A4C-A/Ci中，。是棱CCi的中点，由OCi=DC,

NOCi4=NQC8=90°,C\A\=CB=\,

知RlAOCiAigRlZXOCB,得。4i=OB,△408为等腰三角形.（2分）

因为48=力4=遮，则四边形AAIBIB为正方形，

设两对角线A18与ABi相交于点E,所以4B_LA&,（4分）

又因为E是Ai8的中点，所以。E_LA18,且A8mOE=E,

所以43J_平而AB\D,

又4/u平面480,平面4/。0平面A加。=。£,

故平面人1B/3_L平面AB1O.（6分）

(2)解：由4C=8C=1,AB=V2,知

由勾股定理的逆定理，得NACB=90°,

因为在直三棱柱八AC-A旧1C1中，有CC1_L平面A8C.

故以C为坐标原点，CA,CB,CG所在直线分别为工，y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系C-孙z,(7分；

易得71(1,0,0),8(0,L0),4(1,0,遮)，/(0,1,VI),0(0,0,孝)，

则分i=(L-1,&),AB=(-1,1,0),AD=(-1,0,庠)，(8分)

设平面ABD与平面ABiD所成的锐二面角为6,

由(1)知，84」平面A8i。，

则平面A4i。的法向量为8%=(1,-1,V2),

设平面ABD的法向量为九=(%,y,z),

则二0,

1n•4D=0

(-x+y=0

即工&n，

(—%+-^z=0

令x=l,则y=1,z=V2,得n=(L1,V2),(10分)

T-»

则cos。=\cos{BA1,n)\="]?==I,

l^ilklZXZ

故平面48。与平面AB}D所成锐二面角的余弦值为，(12分)

【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

2.如图所示，已知四棱锥”・A8CO中，四边形A8C。为正方形，二角形出4为正二角形,

侧面以B_L底面4BCDM是棱4D的中点.

(1)求证：PCIBM；

(2)求二面角8・PM-C的正弦值.

【分析】(I)方法一：取4B的中点。，连接OP,0C,证明尸0_L8M,BM10C,推出

8M_L平面POC,即可证明BMLPC.

方法二：取48的中点O,连接0P,并过。点作8c的平行线OE,交CD于E,以0

为坐标原点，晶的方向为工轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系,通过而•。力=0,

证明PCIBM.

(2)求出平面PMB的一个法向量，平面PMC的一个法向量，录音空间向量的数量积求

解二面角B-PM-C的正弦值即可.

【解答】(1)证明：方法一：

取A8的中点O,连接OP,OC,

•・•三角形PAB为正三角形且侧面以BJ_底面ABCD,

・・・PO_L底面ABCD,

•・・8Mu底面A8C。，

・・・PO_L8M,

•・•RtAABM^RtABC6,

NAMB=NBOC,

：,NABM+NAMB=NA8M+/BOC=90°,

ABM1OC,

,：POQOC=O,

・・・8M_L平面POC,

・"Cu平面POC,

：.BMLPC.

方法二：

取A8的中点。，连接。尸，并过。点作8c的平行线。E,交CD于E,则。E_LA8,

;三角形以3为正三角形，

：.PO.LAB,

•・•平面见B_L底面/WC7）且平面以8A底面

以0为坐标原点，。'的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，令PB=AB

=2,

则8(1,0,0),P(0,0,百)，M(-I,I,0),C(1,2,0)PC=(1,2,-V3),

BM=(-2,1,0),PC-OM=lx(-2)+2x1+(-V3)x0=0,

：.PC±BM.

(2)解：PM=(-1,1,-V3),CM=(-2,-1,0),

设平面PMB的一个法向最为蔡=(%,y,z),

则(py.益=o,即尸+y-岳=°,

-m=0(-2x+y=°

令x=l,zn=(1/2,苧)，

设平面PMC的一个法向量为£=。，y,z),

KJpM-n=0t^(-x+y-V3z=0^

lcMn=0t-2x-y=0

令人=1,n=(1,-2,V3),

TT,—

「t、mn、/6

cos{m,/=--=N，

|m”n|'

sin说I)=Jl一哈2=手,

VTo

・，・二面角B-PM-C的正弦值为---.

4

【点评】本题直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想

象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

3.如图I,在△ABC中，D,E分别为八4,AC的中点，。为。E的中点，AB=AC=2\/5,

BC=4.将△4OE沿。E折起到aAiQE的位置，使得平面4QE_L平面3CEQ,如图2.

(I)求证：A\OLBD.

(II)求直线4C和平面48。所成角的正弦值.

(III)线段AC上是否存在点F,使得直线。尸和8C所成角的余弦值为厚？若存在,

求出箸的值；若不存在，说明理由.

ArC

【分析】(I)证明AiOlDE.结合平面人|。七_1_平面BCED,推出AiO_L平面BCED,

即可证明

(H)取BC的中点G,连接OG,推出OEJ_OG.AOJ_OE,A\O1OG.建立空间直角

坐标系。-xyz.求出平面A18。的法向量，然后利)IJ空间向量的数量积求解直线4c和

平面48。所成的角的正弦值.

(III)设4；F=/L4；C,其中入曰0,1J.求出后=(232A+1,2-2A),结合北=

(0,4,0),然后利用空间向量的数量积求解异面直线所成角，推出结果即可.

【解答】(I)证明：因为在△ABC中，。，石分别为48,AC的中点，

所以DE〃BC,AD=AE.

所以人1。=4£又。为。石的中点，所以

因为平面平面BCED,

平面平面以且AiOu平面

所以4O_L平面BCED,

所以

(II)解：取BC的中点G,连接OG,所以OE工OG.

由(I)得4iO_LOE,AiOrOG.

如图建立空间直角坐标系O-町工

由题意得，4(0,0,2),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,-1,0).

所以4；8=(2,-2,-2),4)=(0,—1,-2),4；C=(2,2,-2).

设平面AiBD的法向量为％=（x,y,z）.

贝也可=0，

71•4】。=0,

即（2x-2y-2z=0，

\—y-2z=0.

令x=l,则y=2,z=-I,所以％=（1,2,-1）.

设直线4c和平面48。所成的角为e,

则sin。=|cos&,41Gl=4”承=42.

|n|HiC|

故所求角的正弦值为言.

（III）解:线段4