福建省南平市仙阳中学2021年高三数学文期末试题含解析

福建省南平市仙阳中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】点在线上，点的坐标适合方程，求出φ，然后确定函数取得最大值的x值就是对称轴方程，找出选项即可．【解答】解：把（0，1）代入函数表达式，知sinφ=因为|φ|＜

所以φ=当2x+=+2kπ（k∈Z）时函数取得最大值，解得对称轴方程x=+kπ（k∈Z）令k=0得故选C【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题．取得最值的x值都是正弦函数的对称轴．2.设函数f(x)=（a>0且a≠1），f(2)=4，则

（

）A.f(-2)>f(-1)

B.f(-1)>f(-2)

C.f(1)>f(2)

D.f(-2)>f(2)参考答案：A略3.设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A．[1,2)

B．[1,2]

C．(2,3]

D．[2,3]参考答案：A4.若直角坐标平面内不同的两点p、Q满足条件：①p、Q都在函数y=f（x）的图像上；②p、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（注：点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（

）对．

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C略5.若函数在是增函数，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线AD与BC所成的角为（

）A．30°

B．60°

C．75°

D．90°参考答案：B8.已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）（A）（0，]

（B）[，]

（C）[，]{}（D）[，）{}参考答案：C

9.已知是定义在上的偶函数，且时，均有，，则满足条件的可以是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C10.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象

(

)A．关于直线对称

B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于点对称参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于_______________.参考答案：12.不等式的解集是．参考答案：（﹣1，2）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围．【解答】解：∵，∴，∵y=2x是一个递增函数，∴x2﹣x＜2，?﹣1＜x＜2．故答案为：（﹣1，2）13.如果直线y＝kx＋1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，若为平面区域内任意一点，则的取值范围是

.参考答案：答案：14.函数的最小值为___________．参考答案：?4，因为，知当时取最小值，则的最小值为?4．

15.已知区域满足

,则区域内离原点最远点的坐标为

.参考答案：(2,3)略16.已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.参考答案：略17.已知函数(,为自然对数的底数)，若函数在点处的切线平行于轴，则 ．参考答案：.试题分析：直线平行于轴时斜率为，由得，得出.考点：导数的几何意义.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列满足：.（Ⅰ）求证：使；（Ⅱ）求的末位数字.参考答案：解：⑴当假设当则当时，…其中….所以所以；（2），故的末位数字是7.19.设函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x﹣lnx﹣，?x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成立，求m的范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）f′（x）=1+=，转化为x2﹣mx+1＞0，在x＞0时恒成立，根据对钩函数求解即可．（2）根据导数判断单调性得出f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1﹣，把问题转化为f（x）的最大值≥h（x）的最小值，求解即可．【解答】解：函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）定义域上为（0，+∞），f′（x）=1+=，∵函数f（x）在定义域上为增函数，∴f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h（x）单调递增，即x＞m在x＞0时恒成立，根据对钩函数得出m＜2，故m的范围为：m＜2．（2）函数h（x）=x﹣lnx﹣，?x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成，即f（x）的最大值≥h（x）的最小值，∵f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h′（x）=1＞0，x∈[1，e]，∴h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1﹣，∴可以转化为e﹣﹣m≥1，即m≤e﹣1，m的范围为：m≤e﹣1．【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是求解导数，判断单调性，属于难题．20.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（，1），=（cosA+1，sinA），且?的值为2+．（1）求∠A的大小；（2）若a=，cosB=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及平面向量数量积的运算可求sin（A+）=1，结合A的范围即可得解A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而利用正弦定理可求b的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵=2+．∴．（2）∵，∴，∴由，得，∴．21.（12分）已知数列是正项等比数列，满足

（1）求数列的通项公式；

（2）记恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由。参考答案：解析：（1）数列{an}的前n项和，

…………2分又，

…………3分是正项等比数列，，

…………4分公比，

…………5分数列

…………6分

（2）解法一：，由

…………8分，当，

…………10分又故存在正整数M，使得对一切M的最小值为2…………12分

（2）解法二：，令，

…………8分由，函数…………10分对于故存在正整数M，使得对一切恒成立，M的最小值为2…………1222.（本题满分12分）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；

轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；

（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．参考答案：