2025年北师大新版高三数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、某公司从代理的A，B，C，D四种产品中，按分层抽样的方法抽取容量为110的样本，已知A，B，C，D四种产品的数量比是2：3：2，：4，则该样本中D类产品的数量为（）A.22B.33C.44D.552、如图所示的韦恩图中，A，B中两非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合，若x，y∈R，A={x|y=ln（2x-x2）}，B={y|y=ex，x＞0}，则A⊗B为（）A.{x|0＜x＜2}B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|0≤x≤1或x≥2}D.{x|0＜x≤1或x≥2}3、如图给出了函数：y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a-1）x2的图象，则与函数依次对应的图象是（）A.①②③④B.①③②④C.②③①④D.①④③②4、若命题P：a2+b2＞2ab，命题Q：|a+b|＜|a|+|b|；则P是Q的（）

A.充分非必要条件。

B.必要非充分条件。

C.充要条件。

D.既不充分也不必要条件。

5、【题文】若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝()A.0B.2C.D.5评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、一条光线从A（-2，3）射出，经过x轴反射后与圆C：（x-3）2+（y-2）2=1相切，则反射后光线所在直线方程的斜率为____．7、若函数y=2x3-mx+1在区间[1，2]上单调，则实数m的取值范围为____．8、不等式（lg20）2cosx＞1，（x∈（0，π））的解集为____．9、【题文】平方得25的数是_____，10、（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=则的取值范围是____．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)11、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）12、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）15、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．16、空集没有子集．____．17、任一集合必有两个或两个以上子集．____．18、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、计算题(共3题，共21分)19、已知P：关于x的方程x2+（m-1）x+1=0在区间（0，2）上有两个相异的零点；Q：函数g（x）=x3+mx+m在（-∞，+∞）上有极值．若P和Q有且只有一个正确，求m的范围．20、化简=____．21、已知扇形OAB的半径为3；圆心角∠AOB=60°，过弧AB上的动点P作平行于BO的直线交AO于点Q，设∠AOP=θ．

（1）求△POQ的面积S关于θ的函数解析式S=f（θ）；

（2）θ为何值时，S=f（θ）有最大值？并求出该最大值．评卷人得分五、证明题(共2题，共8分)22、如果用反证法证明“数列{an}的各项均小于2”；有下列四种不同的假设：

①数列{an}的各项均大于2；②数列{an}的各项均大于或等于2；

③数列{an}中存在一项ak，ak≥2；④数列{an}中存在一项ak，ak＞2．

其中正确的序号为____．（填写出所有假设正确的序号）23、（理）如图；PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E；F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．

（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；

（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在；求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．

（文）已知坐标平面内的一组基向量为，，其中，且向量．

（1）当和都为单位向量时，求；

（2）若向量和向量共线，求向量和的夹角．评卷人得分六、其他(共1题，共5分)24、规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=（a，b为正实数），若1⊙k＜3，则k的取值范围为____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【分析】根据总体中产品数量比与样本中抽取的产品数量比相等，计算样本中D型号的产品的数量．【解析】【解答】解：根据总体中产品数量比与样本中抽取的产品数量比相等；

∴样本中B型号的产品的数量为110×=44．

故选：C．2、D【分析】【分析】根据Venn图可知阴影部分的集合为{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，根据集合的基本运算进行求解即可．【解析】【解答】解：A={x|y=ln（2x-x2）}=A={x|2x-x2＞0}={x|0＜x＜2}；

B={y|y=ex；x＞0}={y|y＞1}；

则A∪B={x|x＞0}；A∩B={x|1＜x＜2}；

则A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}={x|0＜x≤1或x≥2}；

故选：D3、B【分析】【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．【解析】【解答】解：由图象可知y=（a-1）x2为二次函数；且图中的抛物线开口向下；

∴a-1＜0；即a＜1．

又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；

∴y=ax为减函数，图象为①；y=logax为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数；图象为②．

∴与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a-1）x2依次对应的图象是①③②④．

故选B．4、B【分析】

∵命题P：a2+b2＞2ab的成立条件为a≠b，命题Q：|a+b|＜|a|+|b|的成立条件为ab＜0

∴命题P：a2+b2＞2ab是命题Q：|a+b|＜|a|+|b|的必要非充分条件。

故选B

【解析】【答案】本题考查的判断充要条件的方法；我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式及基本不等式的应用．

5、D【分析】【解析】

试题分析：∵2＋ai＝b－i，∴b＝2，a＝－1，∴a2＋b2＝5.故选D.

考点：本题考查了复数的运算。

点评：熟练掌握复数的运算法则是解决此类问题的关键，属基础题【解析】【答案】D二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】【分析】由题意可得，A（-2，3）关于x轴的对称点A′（-2，-3）在反射后光线所在直线上，设反射后光线所在直线的斜率为k，用点斜式求得反射后光线所在直线方程．再根据圆心（3，2）到反射光线所在直线的距离等于半径求得k的值，可得结论．【解析】【解答】解：由题意可得；A（-2，3）关于x轴的对称点A′（-2，-3）在反射后光线所在直线上；

设反射后光线所在直线的斜率为k；则反射后光线所在直线方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0．

再根据圆心（3，2）到反射光线所在直线的距离等于半径1，即=1，求得k=，或k=；

故答案为：或．7、略

【分析】【分析】由题意可得y′=6x2-m≥0在区间[1，2]上恒成立，即m≤6x2在区间[1，2]上恒成立，由此求得m的范围；或者y′=6x2-m≤0在区间[1，2]上恒成立，即m≥6x2在区间[1，2]上恒成立，由此求得m的范围，再把这2个m的范围取并集，即得所求．【解析】【解答】解：由函数y=2x3-mx+1在区间[1，2]上单调递增，可得y′=6x2-m≥0在区间[1；2]上恒成立；

故有m≤6x2在区间[1；2]上恒成立，∴m≤6．

由函数y=2x3-mx+1在区间[1，2]上单调递减，可得y′=6x2-m≤0在区间[1；2]上恒成立；

故有m≥6x2在区间[1；2]上恒成立，∴m≥24；

故答案为：（-∞，6]∪[24，+∞）．8、略

【分析】【分析】由于lg20＞1，（lg20）2cosx＞1，利用指数函数的单调性可得：2cosx＞0，即cosx＞0，再利用余弦函数的单调性即可得出．【解析】【解答】解：∵lg20＞1，（lg20）2cosx＞1；

∴2cosx＞0；即cosx＞0；

∵x∈（0，π），∴．

∴不等式（lg20）2cosx＞1，（x∈（0，π））的解集为．

故答案为：．9、略

【分析】【解析】由于±5的平方都是25；由此即可确定平方得25的数．

解：∵（±5）2=25；

∴平方得25的数是±5．

故答案为±5．【解析】【答案】10、[2，5]【分析】【解答】解：建立如图所示的直角坐标系；则B（2，0），A（0，0）；

D（），设==λ；λ∈[0，1]；

M（2+），N（）；

所以=（2+）•（）

=﹣λ2﹣2λ+5；因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1；

所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2；5]．

故答案为：[2；5]．

【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．三、判断题(共8题，共16分)11、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√12、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√15、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×16、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．17、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．18、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、计算题(共3题，共21分)19、略

【分析】【分析】若P正确，由二次方程的根的位置可得，从而求解；若Q正确，则g′（x）=x2+m有正有负，从而可得m＜0；从而由命题求m的范围．【解析】【解答】解：若P正确；

设f（x）=x2+（m-1）x+1；

则；

解得：-＜m＜-1；

若Q正确；

则g′（x）=x2+m

（1）若m≥0；则g′（x）≥0恒成立，即g（x）在（-∞，+∞）为增函数，无极值；

（2）若m＜0，则令g′（x）=x2+m≥0得x≤-或x≥；

令g′（x）=x2-m≤0，得-≤x≤；

即函数g（x）在（-∞，-]及[，+∞）上为增函数，在[-，]上为减函数．

故x=-及x=是g（x）的极值点．

综上所述；当m＜0时，函数g（x）有极值点．

∵P和Q有且只有一个正确；

则m的范围是（-∞，-]∪[-1，0）．20、略

【分析】【分析】比较ln2与1的大小后得答案．【解析】【解答】解：∵ln2＜lne=1；

∴=|ln2-1|=1-ln2．

故答案为：1-ln2．21、略

【分析】【分析】（1）在三角形POQ中；利用正弦定理列出关系式，表示出OQ，利用三角形面积公式列出函数解析式即可；

（2）将函数解析式积化为差，整理后根据余弦函数的图象与性质即可求出最大值，以及此时θ的度数即可．【解析】【解答】解：（1）在△POQ中，由正弦定理得：=，即=；

∴OQ=2sin（60°-θ）；

则S=OP•OQ•sin∠POQ=3sinθsin（60°-θ）；θ∈（0，60°）；

（2）S=3sinθsin（60°-θ）=[cos（2θ-60°）-cos60°]=[cos（2θ-60°）-]；

则当cos（2θ-60°）=1，即θ=30°时，Smax=．五、证明题(共2题，共8分)22、略

【分析】【分析】由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“数列{an}的各项均小于2”的否定为：“数列{an}中存在一项ak，ak≥2”，由此得出选项．【解析】【解答】解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，“数列{an}的各项均小于2”的否定为：“数列{an}中存在一项ak，ak≥2”；

故答案为：③．23、略

【分析】【分析】（理科）（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量，的坐标；利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；

（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为，再点A到平面EFQ的距离，求出x0；若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

（文科）（1）由题意，得出，都为单位向