2025年湘教新版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、函数的周期；振幅，初相分别是（）

A.

B.

C.

D.

2、在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.D.3、【题文】从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为A.B.C.D.4、若函数则（）A.B.1C.D.35、已知,则为（）A.B.C.D.6、下列函数为奇函数，且在上单调递减的函数是（）A.B.C.D.7、已知向量=（3，-2）则||=（）A.B.2C.D.5评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)8、已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么|-3|等于____．9、如图是从甲、乙两个班级各随机选出9名同学进行测验成绩的茎叶图，从图中看，平均成绩较高的是▲班．10、集合A={2，0，1，6}，B={x|x+a＞0，x∈R}，A⊆B，则实数a的取值范围是______．11、若方程x2+y2+2x+a=0表示的曲线是圆，则实数a的取值范围是______．12、在数列{an}

中，a1=6an+1an=n+3n

那么{an}

的通项公式是______．评卷人得分三、解答题(共8题，共16分)13、函数（x∈R）．

（1）求函数f（x）的值域；

（2）判断并证明函数f（x）的单调性；

（3）证明f（-x）=-f（x）；

（4）对f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0求m值的集合M．

14、【题文】已知集合

（Ⅰ）求

（Ⅱ）若求实数的取值范围.15、【题文】已知四边形满足∥是的中点，将沿着翻折成使面面为的中点.

（Ⅰ）求四棱的体积；（Ⅱ）证明：∥面

（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值.16、【题文】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝

D是A1B1中点．

（1）求证C1D⊥平面A1B；

（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．17、已知（x，y）在映射f的作用下的像是（x+y，xy），求（-2，3）在f作用下的像和（2，1）在f作用下的原像．18、已知函数f（x）是二次函数，且f（0）=2，f（x-1）-f（x）=2x+4，求函数f（x）的解析式，并写出其单调区间（不证明）．19、已知函数f（x）=sin2x+cosx+a-在闭区间[0，]上的最小值是2，求对应的a值．20、函数y=Asin(娄脴x+?)(A>0,娄脴>0,|?|<娄脨2)

在同一个周期内，当x=娄脨4

时y

取最大值2

当x=7娄脨12

时；y

取最小值鈭�2

．

(1)

求函数的解析式y=f(x)

．

(2)

若x隆脢[0,2娄脨]

且f(x)=3

时；求x

的值；

(3)

若函数f(x)

满足方程f(x)=a(1<a<2)

求在[0,2娄脨]

内的所有实数根之和．评卷人得分四、证明题(共3题，共9分)21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分五、计算题(共2题，共18分)24、（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移____单位时，⊙P与直线AC相切．25、计算：

①﹣（）﹣（π+e）0+（）

②2lg5+lg4+ln．评卷人得分六、综合题(共1题，共5分)26、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

∵函数

∴振幅是2，初相是

又x的系数是故函数的周期是T==4π

对照四个选项知应选C

故选C

【解析】【答案】本题的函数解析式已知；由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项。

2、D【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,内角和为180度，可知A,B,C分别是可知为直角三角形，利用特殊角的三角函数值可知，a∶b∶c=sinA:sinB:sinC=.故选D.考点：解三角形【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】直线和圆相离，则过圆心做直线的垂线，过垂足作圆的切线，切线长最短。【解析】【答案】B4、A【分析】【解答】选A.5、A【分析】【分析】

选A.

【点评】将所求角用已知角表示出来6、A【分析】【解答】∵根据指数函数和幂函数的单调性可知，选项B和D中的函数及在单调递增，对于选项C：函数为偶函数；不合题意，故选A

【分析】掌握常见函数的图象和性质是解决此类问题的关键，属基础题7、C【分析】解：．

故选：C．

根据向量的坐标即可得出向量的长度．

考查向量坐标的定义，根据向量坐标求向量长度的计算公式．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)8、略

【分析】

由题意可得=||•||cos120°=16×（-）=-8．

∴|-3|====

故答案为：．

【解析】【答案】由两个向量的数量积的定义，求出=-8，再由|-3|==运算求得结果．

9、略

【分析】【解析】【答案】乙10、略

【分析】解：B={x|x+a＞0；x∈R}=（-a，+∞）；

又A⊆B；∴-a＜0，∴a＞0．

故答案为：（0；+∞）．

B={x|x+a＞0；x∈R}=（-a，+∞），又A⊆B，可得-a＜0，解出即可得出．

本题考查了集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】（0，+∞）11、略

【分析】解：方程x2+y2+2x+a=0表示圆，所以D2+E2-4F＞0

即22-4a＞0；∴a＜1，解得a的取值范围是（-∞，1）．

故答案为：（-∞；1）．

利用圆的一般式方程，D2+E2-4F＞0即可求出a的范围．

本题考查圆的一般式方程的应用，不等式的解法，考查计算能力．【解析】（-∞，1）12、略

【分析】解：隆脽

在数列{an}

中，a1=6an+1an=n+3n

隆脿

当n鈮�4

时，an=anan鈭�1鈰�an鈭�1an鈭�2鈰�an鈭�2an鈭�3?鈰�a4a3鈰�a3a2鈰�a2a1鈰�a1

=n+2n鈭�1鈰�n+1n鈭�2鈰�nn鈭�3鈰�n鈭�1n鈭�4??3+33鈰�2+32鈰�1+31隆脕6

=n(n+1)(n+2)

经验证当n=123

时也成立；

因此：an=n(n+1)(n+2)

．

故答案为：an=n(n+1)(n+2)

．

利用“累乘求积法”即可得出．

本题考查了“累乘求积法”，属于基础题．【解析】an=n(n+1)(n+2)

三、解答题(共8题，共16分)13、略

【分析】

（1）f（x）=1-

因为2x＞0，所以0＜＜2，-2＜-＜0；

所以-1＜1-＜1；即-1＜f（x）＜1；

所以函数f（x）的值域为（-1；1）．

（2）f（x）为增函数；下面证明：

设x1＜x2；

则f（x1）-f（x2）=（）-（1-）=

因为x1＜x2，所以

所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

所以函数f（x）为增函数；

证明：（3）f（-x）====-f（x）；

所以原式成立；

（4）f（1-m）+f（1-m2）＜0⇒f（1-m）＜-f（1-m2）；

由（3）知-f（1-m2）=f（m2-1）；

所以f（1-m）＜f（m2-1）；

又由（2）知f（x）单调递增；

所以有解得1＜m．

所以实数m的集合M={m|1＜m}．

【解析】【答案】（1）f（x）=1-利用指数函数的值域及不等式的性质即可求得函数值域；

（2）根据函数单调性的定义即可判断证明；

（3）利用分式性质对f（-x）进行变形即可得到与f（x）的关系；

（4）利用函数的单调性及（3）的结论；可把该抽象不等式转化为具体二次不等式，注意考虑定义域，解不等式组即可；

14、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）知道利用并集定义得出再求出最后求出主要是交、并、补集的运算；（Ⅱ）由（Ⅰ）知又C为的子集，可求得实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）(2分)

因为(4分)

所以(6分)

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又恒成立,故

即(12分)

考点：集合的运算,及子集的特征.【解析】【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）15、略

【分析】【解析】本题考查三棱锥的体积；考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，利用空间向量解决面面角问题．

（Ⅰ）取AE的中点M，连接B1M，证明B1M⊥面AECD，从而可求四棱B1-AECD的体积；

（Ⅱ）证明B1E∥面ACF，利用线面平行的判定定理，证明FO∥B1E即可；

（Ⅲ）连接MD，分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面ECB1与面ADB1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角的余弦值【解析】【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）连接交于连接因为为菱形，又为的中点，所以∥所以∥面

（Ⅲ）二面角的余弦值为16、略

【分析】【解析】（1）如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱；

∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．

又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．

∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1；

∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．

（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．

事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1平面AA1B1B；

∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DFC1D＝D；

∴AB1⊥平面C1DF．

【解析】【答案】(1)同解析，（2）作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求17、略

【分析】

根据映射的概念；已知原像（x，y），求像（x+y，xy）即可，若已知象求原像，可构造方程组，解方程组得到答案．

本题考查的知识点是映射，其中根据已知中的映射的对应法则及原象的坐标，求出象的坐标，属于基础题．【解析】解：由映射的定义知；x=-2，y=3；

∴x+y=1；xy=-6；

∴（-2；3）在f作用下的像是（1，-6）；

令（2；3）在f作用下的原像为（x，y）；

则x+y=2；xy=1；

解得：x=y=1；

故（2，1）在f作用下的原像为（1，1），18、略

【分析】

求出函数的解析式；然后求出对称轴，即可得到函数的单调区间．

本题主要考查二次函数的图象和性质，比较基础．【解析】解：f（0）=2，设二次函数f（x）=ax2+bx+2；∵f（x-1）-f（x）=2x+4；

∴a（x-1）2+b（x-1）+2-（ax2+bx+2）=2x+4，即-2ax-b+a=2x+4，解得a=-1，b=-5；

∴f（x）=-x2-5x+2；

∵二次函数的对称轴为x=-开口向下；

∴函数的单调增区间为（-∞，-]；

单调递减区间为[-+∞）．19、略

【分析】

利用同角三角函数的基本关系式化正弦为余弦，配方后求出函数在区间[0，]上的最小值；结合已知求得a值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，是基础题．【解析】解：f（x）=sin2x+cosx+a-==

∵00≤cosx≤1；

∴当cosx=0或cosx=1时，解得a=4．20、略

【分析】

(1)

由函数的最值可得A

再根据周期求得娄脴

再由五点法作图求得娄脮

可得函数的解析式．

(2)

根据正弦函数的性质可得3x鈭�娄脨4=2k娄脨+娄脨3

或3x鈭�娄脨4=2k娄脨+2娄脨3

问题得以解决；

(3)

若函数f(x)

满足方程f(x)=a(1<a<2)

则在[0,2娄脨]

内方程f(x)=a

有6

个根，即可求出答案。

本题主要考查由函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的部分图象求解析式，正弦函数的图象和性质，属于中档题【解析】解：(1)

由函数的最值可得A=2

再根据12T=12?2娄脨蠅=7娄脨12鈭�娄脨4

求得娄脴=3

．

再由五点法作图可得3隆脕娄脨4+娄脮=娄脨2隆脿娄脮=鈭�娄脨4

故函数的解析式y=f(x)=2sin(3x鈭�娄脨4).

(2)隆脽x隆脢[0,2娄脨]

且f(x)=3

时；

隆脿2sin(3x鈭�娄脨4)=3

隆脿3x鈭�娄脨4=2k娄脨+娄脨3

或3x鈭�娄脨4=2k娄脨+2娄脨3

隆脿x=23k娄脨+7娄脨36

或x=23k娄脨+11娄脨36

当k=0

时，x=7娄脨36

或11娄脨36

当k=1

时，x=31娄脨36

或35娄脨36

当k=2

时，x=55娄脨36

或59娄脨36

(3)

若函数f(x)

满足方程f(x)=a(1<a<2)

则在[0,2娄脨]

内方程f(x)=a

有6

个根；

隆脿x1+x2=娄脨2x3+x4=娄脨2+43娄脨x5+x6=娄脨2+83娄脨

隆脿

和为3娄脨2+4娄脨=112娄脨.

四、证明题(共3题，共9分)21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．五、计算题(共2题，共18分)24、略

【分析】【分析】平移后利用切线的性质作PD⊥A′C′于点D求得PD，再求得PA′的长，进而得出PA-PA′和AA″的长，即可求得平移的距离．【解析】【解答】解：∵A′C′与⊙P相切；

作PD⊥A′C′于点D；

∵半