2025年北师大新版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、函数y=cosx()的值域是()A.B.C.D.[-1,1]2、【题文】下列命题中的假命题是（）A.B.“”是“”的充分不必要条件C.D.若为假命题，则均为假命题3、【题文】设则（）A.B.C.D.4、【题文】如图表示一位骑自行车者与一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图像(均从甲地出发到乙地)；由图中信息，判断以下说法正确的序号为（）

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3小时；晚到1小时；

②骑自行车者是先变速运动再匀速运动；骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者出发后1.5小时后追上了骑自行车者.A.①③B.①②③C.②③D.①②5、【题文】已知命题则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、【题文】若则（）．A.B.0C.1D.27、设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A.

B.

C.

D.

8、下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）A.y=x2B.y=2xC.y=log2xD.y=sin2x9、已知mn

表示两条不同直线，娄脕

表示平面，下列说法正确的是(

)

A.若m//娄脕n//娄脕

则m//n

B.若m隆脥娄脕n?娄脕

则m隆脥n

C.若m隆脥娄脕m隆脥n

则n//娄脕

D.若m//娄脕m隆脥n

则n隆脥娄脕

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)10、大于20小于40的正整数中，共有____个数能被6整除，这些数的和是____．11、函数部分图象如图所示,为图象的最高点,为图象与轴的交点,且为正三角形.则=____.12、【题文】圆关于原点对称的圆的方程是____．13、经过点P（0）且与双曲线4x2﹣y2=1只有一个交点的直线有____条．14、已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x，则=____．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．21、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、计算题(共1题，共5分)22、（2005•深圳校级自主招生）如图所示；MN表示深圳地铁二期的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区．取MN上的另一点B，测得BA的方向为南偏东75度．已知MB=400m．通过计算判断，如果不改变方向，地铁路线是否会穿过居民区，并说明理由．

（1.732）

解：地铁路线____（填“会”或“不会”）穿过居民区．评卷人得分五、作图题(共2题，共8分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、作出下列函数图象：y=评卷人得分六、解答题(共1题，共4分)25、【题文】（满分14分）

已知是自然对数的底数。

（1）试猜想的大小关系；

（2）证明你的结论。参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【解析】试题分析：因为，所以，结合余弦函数的图象得函数y=cosx的值域是故选C。考点：余弦函数的图象和性质【解析】【答案】C2、D【分析】【解析】

试题分析：命题A为真命题，当时，命题B为真命题；根据指数函数的值域可得C为真命题，排除法D为假命题.故选D

考点：特称命题全称命题逻辑连接词命题真假【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】因为所以则而所以则即则所以综上可得故选B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】根据图象对各信息进行分析；从而得出正确答案．

解：信息1：由图象可知骑自行车者在骑摩托车者出发三个小时后才出发的；并比骑摩托车者提早到达一小时。

信息2：根据物理知识可以知道图象表示的是速度曲线；骑自行车者的图象是曲线故表示的是变速运动，再匀速运动，骑摩托车者的图象是直线故表示的是匀速运动．

信息3：两图象的交点在4.5h；并且在大于4.5h之后骑摩托车者的图象在上方即表示追上了骑自行车者，故骑摩托车者在出发了1.5h后追上了骑自行车者．

所以信息①；②、③都是正确的；

故选B．

结合必要的物理知识，学会将各科所学的知识联系起来解题．【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】

试题分析：令即所以

考点：复合函数求值.【解析】【答案】A7、B【分析】【解答】∵y=（a﹣x）（x﹣b）2的∴当x≥a时；y≤0；

故可排除A；D；

又当x≤a时；y≥0；

故可排除C；

故选B．

【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．8、B【分析】【解答】解：①y=x2在[﹣1；0]单调递减，故A不正确；

②y=2x在闭区间[﹣1；1]上单调递增，故B正确；

③y=log2x在[﹣1；0]无意义，故C不正确；

④y=sin2x在[1]单调递减，故D不正确；

故选；B

【分析】根据y=x2，y=2x，y=log2x，y=sin2x性质判断即可．9、B【分析】解：A.

若m//娄脕n//娄脕

则mn

相交或平行或异面，故A错；

B.若m隆脥娄脕n?娄脕

则m隆脥n

故B正确；

C.若m隆脥娄脕m隆脥n

则n//娄脕

或n?娄脕

故C错；

D.若m//娄脕m隆脥n

则n//娄脕

或n?娄脕

或n隆脥娄脕

故D错．

故选：B

．

A.运用线面平行的性质；结合线线的位置关系，即可判断；

B.运用线面垂直的性质；即可判断；

C.运用线面垂直的性质；结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；

D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定；即可判断．

本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)10、略

【分析】

大于20小于40的正整数中能被6整除的所有数分别是24；30，36；

这样所有的数字组成一个首项是24；公差是6的等差数列，共有3项；

∴所有数字的和是90．

故答案为：3；90．

【解析】【答案】大于20小于40的正整数中能被6整除的所有数分别是24；30，36，这样所有的数字组成一个首项是24，公差是6的等差数列，共有3项，根据等差数列的前n项和得到结果．

11、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于为正三角形，则可知四分之一个周期的长度为4，即可知三角形边长为4，可知故答案为考点：三角函数图像与解析式【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：圆心关于原点对称的点半径不变，所以对称的圆的方程为

考点：圆的对称【解析】【答案】13、3【分析】【解答】解：双曲线的标准方程为﹣y2=1；

若过P的直线斜率k不存在，此时直线方程为x=与双曲线有一个交点；满足条件．

若斜率k存在，则直线方程为y=k（x﹣）；

代入4x2﹣y2=1得4x2﹣k2（x﹣）2=1；

整理得（4﹣k2）x2+k2x﹣﹣1=0；

若4﹣k2=0，得k=2或k=﹣2，此时方程等价为4x﹣2=0，x=满足直线和双曲线只有一个交点；

若4﹣k2≠0，即k≠±2，若方程只有一个解，则判别式△=k4+4（4﹣k2）（1+）=0；

即k4+（4﹣k2）（4+k2）=0；

即k4+16﹣k4=0；即16=0，此时方程不成立；

综上满足条件的直线有3条；

故答案为：3．

【分析】分别讨论过P的直线的斜率是否存在，利用代入法转化为一元二次方程进行判断即可．14、【分析】【解答】解：∵函数y=f（x）是偶函数；

∴f（﹣x）=f（x）；

∵x＞0时，f（x）=0.001x；

∴=f（）=．

故答案为：．

【分析】先由函数是偶函数得f（﹣x）=f（x），再利用x＞0时，f（x）=0.001x，即可求出．三、证明题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、计算题(共1题，共5分)22、略

【分析】【分析】问地铁路线是否会穿过居民区，其实就是求A到MN的距离是否大于圆形居民区的半径．如果大于则不会穿过，反正则会．如果过A作AC⊥MN于