2025年北师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册月考试卷388考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、若a＜b＜0；则（）

A.a2＜b2

B.a2＜ab

C.

D.b2＞ab

2、设和为双曲线()的两个焦点,若点和点是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()。A.B.C.D.33、【题文】在同一坐标系中，D是由曲线y=cosx，x∈[﹣]与x轴所围成的封闭区域，E是由曲线y=cosx，直线x=﹣x=与x轴所围成的封闭区域，若向D内随机投一点，则该点落入E中的概率为（）A.B.C.D.4、【题文】若对任意实数有成立；

则（）A.1B.8C.27D.215、【题文】设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝则＝A.B.C.D.6、在△ABC中，a=5，c=7，C=120°，则三角形的面积为（）A.B.C.D.7、“n>m>0

”是“方程x2m+y2n=1

表示的曲线为椭圆”的(

)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、a鈫�,b鈫�,c鈫�

为三个非零向量，则垄脵

对空间任一向量p鈫�

存在唯一实数组(x,y,z)

使p鈫�=xa鈫�+yb鈫�+zc鈫�垄脷

若a鈫�//b鈫�,b鈫�//c鈫�

则a鈫�//c鈫�垄脹

若a鈫�鈰�b鈫�=b鈫�鈰�c鈫�

则a鈫�=c鈫�垄脺(a鈫�鈰�b鈫�)鈰�c鈫�=a鈫�鈰�(b鈫�鈰�c鈫�)

以上说法一定成立的个数(

)

A.0

B.1

C.2

D.3

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、已知a、b是不同的直线，是不同的平面，给出下列命题：①若∥a则a∥②若a、b与所成角相等，则a∥b；③若⊥⊥则∥④若a⊥a⊥则∥其中正确的命题的序号是.10、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为____．11、圆拱桥的水面跨度为24米，拱高为8米，现有一船，船宽为10米，载货后货物宽度与船的宽度相同，如果这条船想从桥下通过，则该船水面以上最高不能超过____米．12、海面有A，B，C三个灯塔，AB=10km，从A望C和B成60°的视角，从B望C和A成75°的视角，则BC=____km．13、【题文】已知变量则的最小值为____.14、若=则x的值为____．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共18分)22、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数；试问：

（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？

（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？

（3）在（1）中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？

23、【题文】（本小题满分12分）已知两个向量

f(x)=(1)求f(x)的值域；(2)若求的值24、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】

∵a＜b＜0，可知b＜0，∴即．

故选C．

【解析】【答案】利用不等式的基本性质将a＜b两边同除以负数b即可判断出答案．

2、C【分析】【解析】试题分析：因为点和点是正三角形的三个顶点,所以考点：本小题主要考查双曲线的离心率.【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】

试题分析：D的面积

E的面积

若向D内随机投一点，则该点落入E中的概率为故选B.

考点：几何概型．【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】令x=3,则再令x=0,则所以27.【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】设公差为则

故选A【解析】【答案】A6、C【分析】解：由余弦定理；c2=a2+b2-2abcosC=25+b2-2×5×b×（-）=49

∴b2+5b-24=0，解得；b=3，b=-8（舍去）

∴三角形的面积S=×a×b×sinC=×5×3×=

故选C

先由余弦定理列方程求得边长b，再利用三角形面积公式s=absinC计算三角形面积即可。

本题考查了解斜三角形的知识，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，有目的利用定理计算b值是解决本题的关键【解析】【答案】C7、A【分析】解：若方程x2m+y2n=1

表示的曲线为椭圆，则m>0n>0

且m鈮�n

则“n>m>0

”是“方程x2m+y2n=1

表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件；

故选：A

根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出mn

的关系是解决本题的关键．【解析】A

8、B【分析】解：因为a鈫�,b鈫�,c鈫�

为三个非零向量；所以；

对于垄脵

当a鈫�,b鈫�,c鈫�

为三个非零共面向量时，对空间任一向量p鈫�

不存在唯一实数组(x,y,z)

使p鈫�=xa鈫�+yb鈫�+zc鈫�

故垄脵

错误；

对于垄脷隆脽a鈫�,b鈫�,c鈫�

为三个非零向量，a鈫�//b鈫�,b鈫�//c鈫�隆脿a鈫�//c鈫�

故垄脷

正确；

对于垄脹

若a鈫�鈰�b鈫�=b鈫�鈰�c鈫�

则b鈫�鈰�(a鈫�鈭�c鈫�)=0

即b鈫�隆脥(a鈫�鈭�c鈫�)

而不是a鈫�=c鈫�

故垄脹

错误；

对于垄脺(a鈫�鈰�b鈫�)鈰�c鈫�=a鈫�鈰�(b鈫�鈰�c鈫�)

不一定成立，等号左端为(a鈫�鈰�b鈫�)

倍的c鈫�

等号右端为(b鈫�鈰�c鈫�)

倍的a鈫�

而a鈫�

与c鈫�

不一定共线；故垄脺

错误．

综上所述；以上说法一定成立的个数为1

个；

故选：B

．

垄脵

利用空间向量基本定理可判断垄脵

对空间任一向量p鈫�

存在唯一实数组(x,y,z)

使p鈫�=xa鈫�+yb鈫�+zc鈫�

错误；

垄脷

利用非零向量共线的性质可判断垄脷

若a鈫�//b鈫�,b鈫�//c鈫�

则a鈫�//c鈫�

正确；

垄脹

利用向量的数量积的运算性质可判断垄脹

若a鈫�鈰�b鈫�=b鈫�鈰�c鈫�

则a鈫�=c鈫�

错误；

垄脺(a鈫�鈰�b鈫�)鈰�c鈫�=a鈫�鈰�(b鈫�鈰�c鈫�)

错误．

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间向量基本定理、向量数量积的运算性质，属于中档题．【解析】B

二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】试题分析：若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，①正确；两条直线和同一个平面所成的角相等，位置关系不确定，②错误；垂直于同一个平面的两个平面可平行可相交，③错误；垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确.考点：1、空间直线和平面的位置关系；2、平面和平面的位置关系；3、直线和直线的位置关系.【解析】【答案】①④10、略

【分析】

设出样本容量为n；

∵由题意知产品的数量之比依次为3：4：7；

∴

∴n=70；

故答案为：70．

【解析】【答案】设出样本容量；根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式，解出方程中的变量n，即为要求的样本容量．

11、略

【分析】

建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=-2py（p＞0）

将B（12，-8）代入得p=9，∴x2=-18y；

当船两侧与抛物线接触时不能通过；

设点A（5，yA），由52=-18yA，得yA=-

所以h=8-=米。

故答案为：

【解析】【答案】建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为x2=-2py（p＞0）；将B（12，-8）代入，求得抛物线方程，求出A的纵坐标，即可求得结论．

12、略

【分析】

由题意；△ABC中，|AB|=10海里，∠A=60°，∠B=75°；

∴∠C=45°．

∴由正弦定理可得=

∴|BC|=5海里。

故答案为：5．

【解析】【答案】△ABC中；|AB|=10海里，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．

13、略

【分析】【解析】表示点两点间距离的平方；点P轨迹是直线点Q轨迹是圆圆心到直线的距离是所以直线和圆的最近距离是5-2=3。

故的最小值是【解析】【答案】914、1或3【分析】【解答】解：∵C8x=C82x﹣1；∴x=2x﹣1或x+（2x﹣1）=8；

解x=1或x=3；

∴x的值为1或3．

故答案为：1或3．

【分析】根据组合数的公式，列出方程x=2x﹣1或x+（2x﹣1）=8，解方程即可．三、作图题(共7题，共14分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共18分)22、略

【分析】

（1）由题意知本题是一个分步计数问题；

第一步在4个偶数中取3个，有C43种结果；

第二步在5个奇数中取4个，有C54种结果；

第三步得到的7个数字进行排列有A77种结果；

∴符合题意的七位数有C43C54A77=100800

（2）上述七位数中；三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列；

三个元素之间还有一个排列，有C43C54A55A33=14400

（3）上述七位数中偶数都不相邻；可先把4个奇数排好；

再将3个偶数分别插入5个空档；

共有A54C43A53=28800个。

【解析】【答案】（1）本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中