2025年春新北师大版数学七年级下册课件 第一章 整式的乘除 3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识

第3课时

完全平方公式的认识北师版七年级数学下册新课导入什么是多项式乘多项式法则?平方差公式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab由下面的两个图形你能得到哪个公式?(a+b)(a–b)=a2–b2新课探究计算下列各式：（1）(m+3)2

；（2）(2+3x)2

。（1）(m+3)2=m2+6m+9=(m+3)(m+3)（2）(2+3x)2

=(2+3x)(2+3x)=4+12x+9x2观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?

m2+2·3m+94+2·2·3x+9x2

两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的2倍。平方式，两项首平方，尾平方，积的2倍放中间你能再举一些类似的例子验证你的发现?

（1）(2x+y)2;（2）(3a+

2b)2。（1）(2x+y)2

=(2x+y)(2x+y)=2x·2x+2x·y+y·2x+y·y

=4x2+4xy+y2（2）(3a+2b)2=(3a+2b)

(3a+2b)=3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b

=9a2+12ab+4b2你能用字母表示你发现的规律吗?

(a+b)2=a2+2ab+b2（1）你能用下图解释这一公式吗?

baba思考·交流baba=++a2ababb2(a+b)2=a2+2ab+b2（2）如何计算(a–b)2?你是怎样做的?

(a–b)2=(a–b)(a–b)=a2–2ab+b21

(a–b)2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b22用自己的语言叙述这一公式！两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。baba(a–b)2a2ababb2=–+(a–b)2=a2–2ab+b2请你设计一个图形解释这一公式。尝试·思考(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。口诀:首平方，尾平方，首尾二倍中间放。完全平方公式平方差公式整式乘法公式例5利用完全平方公式计算：（1）(2x–3)2；（2）(4x+5y)2；（3）(mn–a)2

解：（1）(2x–3)2=(2x)2–2·2x·3+32（2）(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2

；（3）(mn–a)2=(mn)2–2·mn·a+a2

=m2n2–2amn+a2。

(a-b)2a2

-2ab+b2=4x2–12x+9；

1.计算：

（3）(–3m+n)2

。

（3）(–3m+n)2

=9m2–6mn+n2

。

随堂练习2.已知a+b=-3，求2a2+4ab+2b2的值。解：2a2+4ab+2b2=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2×(-3)2=18如果将(a+b)n（n

为非负整数）的每一项按字母a

的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：阅读·思考(a+b)0=1，它只有一项，系数为1；

(a+b)1=a+b，它有两项，系数分别是1，1；

(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别是1，2，1；

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别是1，3，3，1.

如果将上述每个式子的各项系数排成下表，那么你能发现什么规律?

1111211331按照这个规律可以继续将这个表写下去：111121133114641151010511615201561……杨辉三角

随堂演练1.利用完全平方公式计算：解：(1)(3x+1)2=9x2+6x+1；

(2)(a-3b)2=a2

-6ab+9b2；

(4)(–2x+3y)2=4x2

-12xy+9y2。解：(2x+1)(x–2)–(x–1)2+5=2x2–

4x+x–2–x2+2x–1+5=x2–x+2当

x=–5时，原式=(–5)2–(–5)+2=25+5+2=32。2.化简求值：(2x+1)(x–2)–

(x–1)2+5。其中x=–5。3.已知

a+b=10，ab=21，求下列各式的值.(1)a2+b2；(2)(a–

b)2。解：（1）a2+b2=(a+b)2–2ab=102–2×21

=100–42=58；

（2）(a–

b)2=a2–

2ab+b2=58–2×21=16。课堂小结（a±b）2=a