2025年新高考艺术生数学突破讲义专题40数列通项

专题40数列通项【知识点总结】一、观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项．二、利用递推公式求通项公式=1\*GB3①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得=2\*GB3②叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得=3\*GB3③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式．常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法．④利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，求出【典型例题】例1．（2024·高三·全国·专题练习）若数列的前项和，则的通项公式是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为①，则当时，②，①―②得：，整理得：，又，解得.所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则.故选：A.例2．（2024·高三·安徽·开学考试）已知正项数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，所以.故选：B例3．（2024·高三·甘肃平凉·阶段练习）已知数列满足，，则的通项公式为．【答案】【解析】因为，，所以，即，，，，，所以，即，则，当时也成立，所以，故答案为：．例4．（2024·高二·北京·期中）数列中，若，，则.【答案】【解析】由题意，，可得，所以，所以.故答案为：.例5．（2024·高三·全国·专题练习）数列满足，则．【答案】【解析】令，的前项和为，因为，可得，当时，；当时，，将代入上式可得，综上可得，即，所以.故答案为：.例6．（2024·高三·全国·专题练习）已知在正项数列中，，则数列的通项公式为.【答案】【解析】根据题意由可得；两式相减可得，所以，即可得；易知当时，符合上式；所以数列的通项公式为.故答案为：例7．（2024·高二·陕西西安·期中）在数列中，，，且，则数列的通项公式是．【答案】【解析】，故是等比数列，，故.故答案为：例8．（2024·高二·湖南长沙·阶段练习）已知数列中，且，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，即，所以为以为首项，公差为的等差数列，所以，所以.故选：D.例9．（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（

）A．778 B．779 C．780 D．781【答案】C【解析】六边形数从小到大排成一列，形成数列，依题意，，归纳得，所以.故选：C例10．（2024·高三·河北张家口·阶段练习）已知数列，则是这个数列的（

）A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项【答案】B【解析】由题意可得数列的通项公式为，又，解得，所以是这个数列的第22项．故选：B．例11．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列中，，且满足．设，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式；【解析】（1）∵，，∴，∵，∴，又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，.（2）∵，∴当时，，又也满足上式，所以.例12．（2024·高二·新疆省直辖县级单位·阶段练习）（1）已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，求通项公式．【解析】（1）依题意，设数列的公差为，因为，所以，解得：，所以；（2），，．例13．（2024·高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．【解析】设，所以，∴，解得：，又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，∴，∴．【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以有故选：D2．（2024·福建漳州·一模）已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，则，两式相减可得：，即，令，可得，且，所以.故选：A.3．（2024·高三·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（

）A．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【解析】由得，整理得，又得，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，即所以.故选：C.4．（2024·高一·陕西榆林·期末）已知数列的前n项和为，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，则，整理得，又，则，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，所以.故选：D.二、多选题5．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（）A．数列的首项为B．数列的通项公式为C．数列为递减数列D．数列为递增数列【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以当时，，知A正确；对于B，当时，，当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确；对于CD，，所以数列为递减数列，故C正确，D错误.故选：ABC.三、填空题6．（2024·高三·陕西安康·开学考试）如图，三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此规律，则该数阵中第10行从左至右的第4个数是.【答案】146【解析】将三角形数阵的最左边的一列数记为数列，观察分析可得：，且.由，故，即第10行从左到右的第一个数是137，按照规律，第4个数应该是146.故答案为：146.7．（2024·高三·湖南·开学考试）若数列满足，，则的最小值是．【答案】/【解析】由已知，，…，，，所以，又也满足上式，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是．故答案为：8．（2024·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则的值为.【答案】1【解析】因为，可知，可得，，，，各式相加可得，即，所以.故答案为：1.9．（2024·高二·上海·期末）若数列满足，则的通项公式是．【答案】【解析】因为，所以，，…，，，所以，，又也满足上式，所以.故答案为：.10．（2024·高二·广东河源·期末）已知正项数列满足，则.【答案】【解析】由可得，由累乘可得.故答案为：11．（2024·高二·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则．【答案】128【解析】由题意知，，即，又，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，所以，当时，，所以.故答案为：12812．（2024·高三·广东江门·阶段练习）数列中，，且，则等于.【答案】【解析】由题意可知：，显然有，由累乘法可得.而符合，故答案为：13．（2024·高三·北京·阶段练习）已知等比数列的前n项和，其中，，则数列的通项公式为．【答案】【解析】根据题意，等比数列的前项和，所以，，则，即，解得，则等比数列的首项为，公比，所以的通项公式为.故答案为：.14．（2024·广东广州·一模）已知数列的前项和，当取最小值时，.【答案】3【解析】因为，则当时，，又当时，，满足，故；则，又在单调递减，在单调递增；故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.故答案为：.15．（2024·高二·宁夏中卫·阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是．【答案】【解析】设，则，又因为，所以，则，所以，因为，所以，所以为常数，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以.故答案为：16．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知数列的递推公式，且首项，则.【答案】/【解析】因为，且，则，，以此类推可知，对任意的，，在等式两边取倒数可得，则，所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为，，故对任意的，.故答案为：.17．（2024·高二·湖南·开学考试）若数列是公差为1的等差数列，且，则，.【答案】64【解析】因为数列是公差为1的等差数列，且，所以，故.故答案为：；.18．（2024·高三·上海闵行·期中）已知、…是直线上的一列点，且，则这个数列的通项公式是.【答案】【解析】设所在直线方程为：，，，解得，直线方程为：，，故答案为：.四、解答题19．（2024·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的各项均为正数，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求的通项公式及其前项和.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得，所以的通项公式为.（2）由得，，所以，又，所以.由，得.20．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知数列中，，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【解析】（1）因为，，所以，当时，满足上式，所以；（2）因为，所以，所以.21．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【解析】（1）数列的前项和为，当时，当时，所以，又当时，也成立，数列的通项公式为.（2）由（1）可得，设数列的前项和为，则.22．（2024·高三·全国·专题练习）已知正项数列，其前项和为．求数列的通项公式：【解析】因为，所以，得，又由，得，两式相减，得，即，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.23．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)证明：．【解析】（1）当时，由，得，当时，，则，也适合该式，故；（2）证明：，故，由于，故，则，故.24．（2024·四川成都·模拟预测）已知为数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求.【解析】（1）当时，，可得，当时，，可得，则，是首项､公比都为的等比数列，故.（2）由题设，，，则，所以，所以.25．（2024·高二·江苏扬州·期末）已知数列的首项，前n项和为，且．设．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：．【解析】（1）在数列中，①，②，由①-②得：，即，，所以，即，在①中令，得，即，而，故．则，即，又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2），，又因为，所以，所以.26．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：．【解析】（1）由题知，当时，，则．又．①当时，，②①-②得，所以．当时，也适合．综上，数列的通项公式为．（2）因为．所以，①，②①-②得，整理得，因为．所以27．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）由，当时，由，两式相减，得，因此数列是以2为首项，为公比的等比数列，即.设等差数列的公差为，因为，所以，因此，故，；（2）由（1）可知，，所以，设数列的前项和为，则有，，两式相减，得，即，因此.28．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且．求数列的通项公式；【解析】解:当时，，所以，则，而，所以，故是首项、公比都为2的等比数列，所以.29．（2024·高二·福建漳州·期中）设数列的各项都为正数，且．(1)证明数列为等差数列；(2)设，求数列的前项和．【解析】（1）由数列的各项都为正数，且，得，即，所以数列是以为公差的等差数列；（2），由（1）得，所以，则，所以.30．（2024·高二·宁夏中卫·阶段练习）已知数列，满足(1)证明：为等差数列，并求通项公式；(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．【解析】（1）因为，所以两边同除以得：，即，又因为，所以的首项，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以（2）由题意知，，所以，，两式相减得，，所以＝，因为数列中每一项均有，所以为递增数列，所以，因为，所以，所以，所以31．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.【解析】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，，∴.32．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项