2025年新高考艺术生数学突破讲义专题31概率小题综合训练

专题31概率小题综合训练【考点预测】一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：=1\*GB3①必然要发生的事件叫必然事件；=2\*GB3②一定不发生的事件叫不可能事件；=3\*GB3③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件．二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A的概率，记作．对于必然事件A，；对于不可能事件A，=0．三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间．四、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件．事件A与事件B互斥，则．2、对立事件事件A，B互斥，且其中必有一个发生，称事件A，B对立，记作或．．3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件．六、条件概率与独立事件（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作，条件概率公式为．（2）若，即，称与为相互独立事件．与相互独立，即发生与否对的发生与否无影响，反之亦然．即相互独立，则有公式．（3）在次独立重复实验中，事件发生次的概率记作，记在其中一次实验中发生的概率为，则．【典型例题】例1．（2024·辽宁辽阳·一模）将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】将甲、乙、丙等7名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配2人，则有3人分到一个地区，分配方法共有种，其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，故所求的概率为，故选：D例2．（2024·广西·二模）从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，则该3个数的积与和都是3的倍数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】从1，2，3，4，5这5个数中随机地取出3个数，共有种不同的取法；其中这3个数的积与和都是3的倍数的有：，有4种取法，所以该3个数的积与和都是3的倍数的概率为.故选：B.例3．（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，则，，，，故，则所求概率为.故选：C.例4．（2024·全国·模拟预测）设为坐标原点，在区域内随机取一点，则的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】区域表示以为圆心的圆环，且圆环面积为，满足的区域为表示的圆环，面积为．故所求的概率为.故选：C．例5．（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法；使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法；（使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色；②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色）使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法．所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为．故选：B例6．（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．例7．（2024·四川遂宁·二模）某校甲、乙、丙、丁4个小组到A，B，C这3个劳动实践基地参加实践活动，每个小组选择一个基地，则每个基地至少有1个小组的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】每个小组选择一个基地，所有的选择情况有种，每个基地至少有1个小组的情况有,故概率为，故选：C例8．（2024·宁夏固原·一模）现从3男2女共5名志愿者中选出3人前去A镇开展防电信诈骗宣传活动，向村民普及防诈骗、反诈骗的知识，则女志愿者至少选中1人的概率为．（用数字作答）【答案】/0.9【解析】记3名男志愿者分别为，2名女志愿者分别为，则从5人中选出3人的情况有，共10种，其中女志愿者至少选中1人的情况有,共9种，故所求概率为故答案为：例9．（2024·高三·浙江·阶段练习）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为.【答案】/0.4【解析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，，，所以.故答案为：.例10．（2024·全国·模拟预测）小明同学进行射箭训练，每次射击是否中靶相互独立，根据以往训练情况可知小明射击一次中靶的概率为，则小明射击3次恰好有2次中靶的概率为．【答案】【解析】由题可知小明同学射击3次恰好有2次中靶的概率为.故答案为：.例11．（2024·高三·安徽·阶段练习）从中任意选1个数字，从中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为.【答案】【解析】根据题意可知：若从中任意选1个不为0的数字有种选法，从中任意选2个数字有种选法，由选出的3个数字组成三位数有！种组法，共种方法，其中偶数有个；若从中选0，再从中任意选2个数字有种选法，由选出的3个数字组成三位数有种组法，共种方法，其中偶数有个；所以该数为偶数的概率为.故答案为：例12．（2024·高三·河北·开学考试）小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为．【答案】/0.25【解析】由全概率公式可得小明在第二个路口遇到红灯的概率为，故答案为：例13．（2024·广西来宾·一模）根据气象统计，某地3月份吹西北风的概率为0.7，既吹西北风又下雨的概率为0.5，则该地3月在吹西北风的条件下下雨的概率为.【答案】【解析】设事件：某地3月份吹西北风，事件：某地3月份下雨，根据题意，可得，则该地3月在吹西北风的条件下下雨的概率为.故答案为：.例14．（2024·高三·全国·专题练习）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为．【答案】//【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为；丙盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有2幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品、2幅不同的摄影作品，将这7幅作品排成一排挂在同一面墙上，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知这7幅作品所有的不同挂法有种，美术作品不能挂两端且摄影作品相邻时不同的挂法有种，美术作品不能挂两端时不同的挂法有种，则美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的不同的挂法有种，所以事件美术作品不能挂两端且摄影作品不能相邻的概率为，故选：B2．（2024·四川绵阳·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在中国成都举行，运动会期间将安排来自A大学2名和B大学4名，共计6名大学生志愿者到体操比赛场馆服务，现从这6名志愿者中随机抽取2人担任组长，至少有一名A大学志愿者担任组长的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知试验发生包含的事件是从6个人中随机的抽取两个人，共有15种结果，满足条件的事件是包括两种情况共种结果，至少有一名A大学志愿者担任组长的概率是.故选：C．3．（2024·全国·模拟预测）已知6件产品中有2件次品，从中随机抽取2件，其中恰好有1件正品的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，设4件正品的编号分别为件次品的编号分别为，则从这6件产品中随机抽取2件的所有情况为，,共15种.设恰好有1件正品为事件，则事件包含的情况有，共8种，则.故选：A.4．（2024·高三·重庆·阶段练习）重庆，我国四大直辖市之一，这里资源丰富，旅游景点也多，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源4个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区，事件：甲和乙选择的景区不同，则概率（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲、乙两位游客分别从4个景区选择一个游玩的总情况数为种，其中甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区的情况数为，则，事件表示：甲乙选择的景区不同，且至少一个选择酉阳桃花源景区，则符合要求的情况数为种，则，所以.故选：D5．（2024·陕西西安·模拟预测）一数字电子表显示的时间是四位数，如，那么在一天（24小时制）内，所显的四个数字和是23的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】一天显示的时间总共有种，和为23有，，，总共有4种，故所求概率为．故选：D．6．（2024·高三·河南·阶段练习）甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有（种）选法，3名同学所选课程全相同有4种，所以3名同学所选课程不全相同的概率为，故选：D.7．（2024·陕西铜川·二模）从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】这九个数字中任取两个，有种取法，和为质数有，共14种情况，因此所求概率为.故选：C.8．（2024·高三·四川绵阳·阶段练习）在高考的任一考场中，都安排6行5列共30名考生，考号机选，考场使用卷和卷两种答卷以防作弊，且每名考生拿到卷和卷都是均等的，且相邻考生答卷不相同，甲乙两名同学在同一考场，已知甲乙同列的情况下，则他们都拿到卷的概率（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于甲乙同列，则甲乙的座位选择有种，若甲乙拿到卷时，甲乙的座位选择有种，故概率为，故选：A9．（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，则,因此，所以选“使命”队参加比赛的概率.故选：D二、多选题10．（2024·高三·贵州安顺·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则（

）A．B．数列为等比数列C．D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种【答案】ABD【解析】由题意可知，要使得n次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中，所以，，即，因为，则，所以，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确；则，即，故C错误；且，故A正确；若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应，则，，，，，，所以一共有六种情况，故D正确；故选：ABD11．（2024·高三·辽宁·期末）已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，则（

）A．都没有命中的概率是0.02B．都命中的概率是0.72C．至少一人命中的概率是0.94D．恰有一人命中的概率是0.18【答案】AB【解析】都没有命中的概率为，正确；都命中的概率为，正确；至少一人命中的概率为，错误；恰有一人命中的概率为，错误.故选：.12．（2024·全国·模拟预测）袋中有大小形状相同的5个小球，其中黑球3个，白球2个，从中有放回地取球3次，每次取1个，记为取得黑球次数，为取得白球次数，则（

）A．随机变量的可能取值为B．随机变量的可能取值为C．随机事件的概率为D．随机变量与的数学期望之和为3【答案】AD【解析】随机变量的可能取值都为，A正确，B错误；随机事件的概率为，C错误，因为，且，所以，D正确．故选：AD．13．（2024·全国·模拟预测）排球是一项深受人们喜爱的运动项目，排球比赛一般采用5局3胜制．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．在决胜局（第五局）采用15分制，某队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．现有甲、乙两队进行排球比赛，则下列说法正确的是（

）A．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛B．若甲队每局比赛获胜的概率为，则甲队赢得整场比赛的概率也是C．已知前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，且接下来两队赢得每局比赛的概率均为，则甲队最后赢得整场比赛的概率为D．已知前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分．若两队打了个球后甲赢得整场比赛，则的取值为2或4【答案】AD【解析】对于选项A:若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局，若甲队最后赢得整场比赛，则甲队将以或的比分赢得比赛，故A正确;对于选项B:甲队赢得整场比赛的概率是:，故B错误;对于选项C:若甲队以的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢，所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，故C错误;对于选项D:若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在第五局中，两队当前的得分为各分，若两队打了个球后甲赢得整场比赛，所以甲接下来可以以或赢得比赛，则x的取值为2或4，故D正确.故选:AD．三、填空题14．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.1倍的概率为0.5，变为原来的0.9倍的概率也为0.5，则经过4天该物品的价格不低于原来价格的概率为．【答案】/0.3125【解析】设物品原价格为1，因为，，，故经过4天该物品的价格较原来价格增加的情况是4天中恰好是3天升高1天降低和4天升高,则经过4天该物品的价格较原来价格增加的概率为.故答案为：.15．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知某果园中猕猴桃单果的质量（单位：）服从正态分布，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于的概率为.【答案】/0.375【解析】由题可知，若从该果园中随机挑选4个猕猴桃，则恰有2个单果的质量均不低于的概率为.故答案为：.16．（2024·高三·上海浦东新·期中）某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为.【答案】0.18【解析】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（），则，且两两互斥，依题意，，，所以成绩是优秀的概率为.故答案为：0.1817．（2024·高三·上海·阶段练习）甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是，乙命中的概率是，两人每次射击是否命中互不影响.已知甲、乙两人至少命中一次，则甲命中的概率为.【答案】【解析】设事件A为“两人至少命中一次”，事件B为“甲命中”，，，所以.故答案为：18．（2024·贵州贵阳·一模）核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是．【答案】【解析】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，事件所取核桃为空壳为事件，则，，，，所以.故答案为：19．（2024·天津河东·一模）某地区人群中各种血型的人所占比例如表1所示，已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，因病需要输血，任找一个人，其血可以输给小明的概率为；任找两个人，则小明有血可以输的概率为．血型ABABO该血型的人占比【答案】0.70.91【