2025年新高考艺术生数学突破讲义专题14导数的概念与运算

专题14导数的概念与运算【考点预测】知识点一：导数的概念和几何性质1、概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．知识点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．知识点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：【方法技巧与总结】1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【典型例题】例1．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，，∴曲线在处的切线斜率为，∴曲线在处的切线方程为，且.故选：C．例2．（2024·高二·全国·竞赛）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（

）．A． B． C．2 D．【答案】A【解析】∵，设为所求的点，则得，，则点P到直线的最小距离为．故选:A.例3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，则，得.因为，所以当时，，即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：C例4．（2024·山东济南·一模）与抛物线和圆都相切的直线的条数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】设直线与抛物线相切的切点坐标为，由，求导得，因此抛物线在点处的切线方程为，即，依题意，此切线与圆相切，于是，解得或，所以所求切线条数为3.故选：D例5．（2024·福建漳州·一模）若曲线在点处的切线方程为，则（

）A．3 B． C．0 D．1【答案】C【解析】因为，则，由题意可得：，解得，所以.故选：C.例6．（2024·高三·广东·阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，即，则不可能同时为负数，当或时，，当时，，当时，，当且仅当时，取等号，综上所述，的最大值为.故选：A.例7．（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.又在处的切线方程为：，所以.所以.故选：A例8．（2024·河南开封·二模）已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故选：D例9．（2024·高三·全国·阶段练习）若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，所以，，得，所以，当且仅当时等号成立．故选:C．例10．（2024·江西上饶·一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的导函数为 B．在上单调递减C．的最小值为 D．的图象在处的切线方程为【答案】C【解析】A：，因此本选项不正确；B：由上可知：，当时，，函数单调递增，因此本选项不正确；C：由上可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数的最小值为，因此本选项正确；D：由上可知，因为，所以的图象在处的切线方程为，因此本选项不正确，故选：C例11．（2024·高三·山东济宁·开学考试）函数在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以切线方程为，即.故选：C例12．（2024·高三·河南·专题练习）已知函数的图象经过点，则函数在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】将点的坐标代入，得，解得，故，由，所以点处切线的斜率为，故所求的切线方程为，即．故选：B．例13．（2024·吉林白山·二模）已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1），因此，而，故所求切线方程为，即；（2）依题意，，故对任意恒成立.令，则，令，解得.故当时，单调递增；当时，单调递减，则当时，取到极大值，也是最大值2.故实数的取值范围为.例14．（2024·高三·全国·专题练习）设曲线在点处的切线与x轴的交点的横坐标为，求的值．【解析】由，求导得，则，因此曲线在点处的切线方程为，令，得，即，所以.例15．（2024·高二·江苏南通·期末）已知函数．(1)求函数的极值点；(2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点．【解析】（1），令，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，所以函数的极值点为；（2）由（1）可知：，而，所以切线的方程为，由，或，当时，，此时，与有公共点，当时，设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，所以由，即，此时与有公共点，综上所述：与有唯一公共点.例16．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则．【答案】2【解析】设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率，得，所以，且，则，即．故答案为：2.例17．（2024·四川·模拟预测）写出与函数在处有公共切线的一个函数.【答案】（答案不唯一）【解析】由题，，，答案不唯一，满足，即可.取，则，显然满足，.故答案为：（答案不唯一）.例18．（2024·四川广安·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为.【答案】【解析】由求导得，则，而，所以所求切线方程为，即.故答案为：例19．（2024·四川遂宁·二模）已知，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】，则，又，故切线方程为，即.故答案为：.【过关测试】一、单选题1．（2024·高三·全国·专题练习）函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，则（

）A．21 B．24 C．30 D．36【答案】A【解析】由，得，所以在点处的切线方程为，即，令，得，所以，又，故是首项为16，公比为的等比数列.所以.故选：A2．（2024·高三·河南·专题练习）曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，所以所求切线的斜率为，又，所以所求的切线方程为，即．故选：C．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若曲线存在与y轴垂直的切线，则a的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，因为曲线存在与y轴垂直的切线，所以方程有实根，即方程有实根．设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，故，又当趋向于负无穷大时，也趋向于负无穷大，当趋向于正无穷大时，趋向于0，所以，则a的最大值为，故选：C．二、多选题4．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数，则（

）A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上的最大值为1C．函数在点处的切线方程为D．若关于的方程在区间上有两解，则【答案】AC【解析】因为，，所以，令，即；令，即，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；因为，，所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；因为，，所以函数在点处的切线方程为，即，故C正确；因为，函数大致图象如图，要使方程在区间上有两解，则，故D错误.故选：AC.5．（2024·高三·云南曲靖·阶段练习）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则下列说法正确的是（

）．A．， B．在上单调递增C．是的一条对称轴 D．是曲线的一条切线【答案】AD【解析】设，，则．因为，,所以，，，所以，即，即．又因为，且为下降零点，所以，，即，，故取．故．所以A选项正确；当，，显然不是单调增区间，所以B选项错误；将代入方程得，显然不是对称轴，所以C选项错误；令得或，取点得其中一条切线为，所以D选项正确．故选:AD．6．（2024·广东·二模）已知函数的图象在点处的切线为，则（

）A．的斜率的最小值为 B．的斜率的最小值为C．的方程为 D．的方程为【答案】BCD【解析】因为，所以的斜率的最小值为.因为，所以的方程为.因为，所以的方程为，即.故选：BCD.7．（2024·高三·江苏镇江·期中）已知函数的导函数为，两个极值点为，，则（

）A．有三个不同的零点B．C．D．直线是曲线的切线【答案】BD【解析】由函数，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，当时，函数极小值，极小值为，当时，函数极大值，极大值为，且两个极值点之和为，所以B正确；又由当时，，且函数连续不间断，所以函数在上有且仅有一个零点，所以A不正确；由，所以C错误；当时，可得，所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确.故选：BD.8．（2024·高三·福建福州·期中）已知直线l与曲线相切，则下列直线中可能与l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，则，当且仅当即等号成立，根据导数的几何意义知，切线的斜率，因为切线与直线l平行，所以l的斜率，选项A中直线的斜率为，符合题意；选项B中直线的斜率为，不符合题意；选项C中直线的斜率为，符合题意；选项D中直线的斜率为，符合题意；故选：ACD.9．（2024·高二·山东淄博·阶段练习）已知，下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为【答案】BC【解析】对于AC，，由，得，所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确，对于BD，函数的定义域为，，由，得，解得，由，得，解得，所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，故选：BC10．（2024·高三·广东珠海·开学考试）已知函数，则（

）A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点【答案】AD【解析】由题意，在中，定义域为，，∴为上的增函数，A正确；，∴为奇函数，B错误；∵当时，解得：，此时，∴斜率为0的切线为，不可能为直线，∴C错误；为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.故选：AD.11．（2024·高三·福建厦门·阶段练习）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】的定义域为，，即直线的斜率，设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.对于A，直线的斜率为，故A正确；对于B，直线的斜率为，故B错误；对于C，直线的斜率为，故C正确；对于D，直线的斜率为，故D错误.故选：AC.12．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（

）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D．在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同【答案】AC【解析】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即选项D不正确．故选：AC.三、填空题13．（2024·湖南衡阳·二模）曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，则，所以切点为，且，则，由直线的点斜式可得，化简可得，所以切线方程为.故答案为：14．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为．【答案】1【解析】因为，所以，设函数，则，所以在定义域上单调递增，因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为．故答案为：15．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直线与曲线相切，则切点的横坐标为.【答案】【解析】由求导得，直线斜率为，代入导函数有：，解得.故答案为：四、解答题16．（2024·山东烟台·一模）已如曲线在处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由于的斜率为，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时