专题4-2-追及相遇模型(原卷版)

重点模型与核心问题深究专题4.2追及相遇模型目录TOC\o"1-3"\h\u模型一运动图像模型 1类型1x­t图像中的追及相遇问题 2类型2v­t图像中的追及相遇问题 3模型二交通实际模型 5模型三抛体运动模型 7类型1平抛运动与自由落体运动以及上抛运动的相遇问题 8类型2反向平抛的两球空中相遇问题 10模型四天体运动模型 12类型1行星相遇问题 13类型2卫星与赤道上物体相遇问题 13专题强化训练 14模型一运动图像模型运动图像模型是运动学中的一种常见模型，高考中常结合运动学图像，特别是v­t图像，对该模型进行考查，多以选择题的形式出现。【例1】如图所示为三个运动物体A、B、C的速度—时间图像，其中A、B两物体从不同地点出发，A、C两物体从同一地点出发，A、B、C均沿同一直线运动，且A在B前方3m处。则以下说法正确的是()A．A、C两物体的运动方向相反B．在t＝4s时，A、B两物体相遇C．在t＝4s前，A、C两物体相遇D．在t＝2s时，A、B两物体相距最远【方法规律】运动图像模型问题的常见解法(1)识图像：在解决此类问题时，首先要对给出的运动图像进行识别，识别时要特别注意图像的截距、交点、拐点、面积、斜率等所表示的物理意义。(2)画草图：根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。(3)找关系：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的三个关系：①时间关系；②位移关系；③速度关系。(4)列方程：根据找出的三个关系，列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。类型1x­t图像中的追及相遇问题1．[多选]如图所示是A、B两质点从同一地点开始运动的x­t图像，则下列说法中正确的是()A．A质点以20m/s的速度匀速运动B．B质点先沿正方向做直线运动，后沿负方向做直线运动C．B质点在0～4s内做加速运动，在4～8s内做减速运动D．A、B两质点在4s末相遇2.(2022·吉林长春市高三期末)甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动的x－t图象(甲的图线为直线，乙的图线为抛物线)如图所示．关于两物体的运动，下列说法正确的是()A．甲做直线运动，乙做曲线运动B．0～t1时间内，乙的速度方向与加速度方向相反；t1～t2时间内，乙的速度方向与加速度方向相同C．0～t2时间内，乙的速度先增大后减小，t2时刻，甲、乙两物体相遇D．0～t2时间内，t1时刻甲、乙相距最远，两物体一直沿x轴正方向运动类型2v­t图像中的追及相遇问题1．[多选]甲、乙两车初始时相距1000m，甲车在后，乙车在前，在同一条平直公路上做匀变速直线运动，它们的速度—时间图像(v­t图像)如图所示，则下列说法正确的是()A．两车在t＝36s时速度相等B．乙车比甲车早出发8sC．两车不会相撞D．甲车停下时，甲车在乙车前191m处2.(2022·安徽六安质检)汽车A在平直的公路上沿直线车道以15m/s的速度匀速行驶，发现前方12.5m处相邻车道停有汽车B，B车从t＝0时以5m/s2的加速度匀加速启动，该路段限速20m/s，假设B车达最大速度后匀速行驶，A车运动v－t图像如图乙所示。则下列说法正确的是()A．t＝2s时，两车相遇B．t＝2s时，A车在B车前面C．两车可以相遇两次，相遇时间分别是1s和4sD．如果A车无法追上B车，则t＝0时两车距离至少为15m2.(2022·浙江模拟预测)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点。下列说法正确的是()A.游泳池长50mB.两运动员一定不会在泳池的两端相遇C.从t＝0时刻起经过1min两运动员共相遇了3次D.在0～30s内，两运动员的平均速度大小之比为8∶5模型二交通实际模型交通实际模型是以交通运动的真实情境为背景，解决交通运动中的追及相遇及避碰问题，在高考中常以选择题或计算题的形式出现。【例2】(2022·马鞍山调研)交通路口是交通事故的多发地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为v0＝9m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机看到路灯已转换成黄灯，立即紧急刹车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车。已知甲车刹车时的加速度大小为a1＝5m/s2，乙车紧急刹车时的加速度大小为a2＝4.5m/s2，乙车司机的反应时间为Δt＝0.5s(乙车司机看到甲车刹车0.5s后开始刹车)。(1)若甲车司机看到路灯转换成黄灯时车头距离停车线9m，他采取上述措施能否避免闯停车线？(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大的距离？【解题指导】(1)看到“乙车司机的反应时间为Δt＝0.5s”，想到“乙车在Δt时间内以速度v0做匀速直线运动”。(2)看到“为保证两车在紧急刹车过程中不相撞”，想到“在甲车刹车后，乙车运动的总位移应小于甲车刹车位移与两车行驶过程中的距离之和”。【方法规律】两种临界情况的辨析本题两车的刹车过程中，甲车的初速度等于乙车的初速度，乙车减速的加速度大小小于甲车减速的加速度大小，二者之间的距离是逐渐减小的，因此求解临界距离时，应该求出速度减为零时的位移。在本题中，如果乙车的初速度大于甲车的初速度，乙车减速的加速度大小大于甲车减速的加速度大小，则求两车不相撞的临界距离时，应先求甲、乙两车的速度相等时两车的位移。【针对训练1】(2022·银川一中月考)随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在平直公路上以v0＝20m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方x0＝63.5m处有一辆电动车，正以v1＝6m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5s后才发现危险，司机经0.5s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2。(1)若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，出租车前进的距离是多少？(2)通过计算判断电动车是否被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶．(1)求赛车出发3s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)模型三抛体运动模型抛体运动模型是指多个做平抛、竖直上抛或自由落体运动的物体，在空中相遇的问题，能很好地考查学生的理解能力和综合分析能力，在高考中多以选择题的形式出现。【例3】如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为3h0，B点离地面的高度为2h0。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，它们在C点相遇，C点离地面的高度为h0，已知重力加速度为g，不计空气阻力，两小球均可视为质点，则()A．两小球一定同时抛出B．两小球一定同时落地C．两个小球抛出的时间间隔为(2－eq\r(2))eq\r(\f(h0,g))D．两个小球抛出的初速度的比值为eq\f(vA,vB)＝eq\f(1,2)【解题指导】(1)看到“从A、B两点水平抛出”，想到“两小球从不同高度做平抛运动”。(2)看到“它们在C点相遇”，想到“两小球同时到达C点，且水平位移相同”。【解析】两小球在C点相遇，说明两小球一定是同时到达C点。由于平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，由h＝eq\f(1,2)gt2可得t＝eq\r(\f(2h,g))，由于A点到C点的竖直高度差较大，所以从A点抛出的小球到达C点时运动的时间长，故一定是A点的小球先抛出，选项A错误；由于两小球在C点相遇时，从A点抛出的小球竖直方向的速度大，且两小球在竖直方向上加速度相同，均为g，故由匀变速直线运动的规律可知，从A点抛出的小球一定先落地，选项B错误；由t＝eq\r(\f(2h,g))可得两小球从A、B两点抛出的时间间隔为Δt＝tA－tB＝eq\r(\f(2×2h0,g))－eq\r(\f(2h0,g))＝(2－eq\r(2))eq\r(\f(h0,g))，选项C正确；两小球在水平方向上做匀速直线运动，故由x＝v0t可得v0＝xeq\r(\f(g,2h))，所以从A、B两点抛出的小球的水平初速度的比值为eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(hB,hA))＝eq\r(\f(h0,2h0))＝eq\f(\r(2),2)，选项D错误。【答案】C【方法规律】对于抛体运动中的相遇问题，一般是从相遇点出发，抓住两物体相遇时一定同时到达相遇点这一条件，再利用抛体运动的规律进行求解。常见解法如下：(1)找关系：根据两物体的相遇点，寻找两物体相遇时的时间关系、位移(水平位移和竖直位移)关系、速度关系，以及两物体在初始时刻的位置关系等。(2)用规律：依据抛体运动的基本规律(位移规律、速度规律等)，列方程求解。类型1平抛运动与自由落体运动以及上抛运动的相遇问题1.（2022·昆明模拟）如图所示，某同学利用玩具枪练习射击，空中用细线悬挂一个可视为质点的小球，小球离地高度为h，玩具枪的枪口与小球相距为d且在同一水平面上，子弹以v0的初速度沿水平方向射出，同时剪断悬挂小球的细线，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A．子弹在自由飞行的过程中，相同时间内其速度变化量不相等B．子弹在自由飞行的过程中，其动能随高度的变化是不均匀的C．要使子弹在小球落地前击中小球，则小球的高度必须满足h>eq\f(gd2,2v02)D．子弹一定能击中小球2[多选]A物体自高为H的塔顶自由落下，同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g，下列说法中正确的是()A．若v0>eq\r(gH)，两物体相遇时B物体正在下降途中B．若v0＝eq\r(gH)，两物体在地面相遇C．若eq\r(\f(gH,2))<v0<eq\r(gH)，两物体相遇时B物体在下降途中D．若v0＝eq\r(\f(gH,2))，两物体在地面相遇2.如图所示，在高为h＝5m的平台边缘以大小为vA＝10m/s的水平速度抛出小球A，同时在水平地面上与台面边缘的水平距离为s＝15m处竖直上抛小球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，小球与地面间的碰撞是弹性的，且碰撞时间不计，碰后水平速度不变，竖直速度等大反向。若小球B未落地前，两球能在空中相遇，求小球B的初速度大小vB(不计空气阻力，重力加速度为g＝10m/s2)。类型2反向平抛的两球空中相遇问题1.如图所示，将a、b两小球以大小均为20eq\r(5)m/s的初速度分别从A、B两点水平相向、相差1s先后抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。则抛出点A、B间的水平距离为()A．80eq\r(5)m B．100mC．200m D．180eq\r(5)m2.(2022·四川凉山州三模)如图所示，在同一竖直面内将a、b两小球以大小均为20eq\r(2)m/s的初速度分别从A、B两点相差Δt先后沿水平方向相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间4s，a、b两小球恰好在空中相遇，且此时两球运动方向相互垂直，不计空气阻力，取g＝10m/s2，则a、b两小球平抛的时间差Δt是()A．1sB．2sC．2.5sD．3s3.(2022·山东青岛市模拟)如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝37°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，不计空气阻力，则v1、v2大小之比为()A.9∶8B.8∶9C.3∶2D.2∶3模型四天体运动模型天体运动模型即天体运动中的追及相遇问题，通常是指天体分别在各自的圆轨道上围绕同一中心天体做圆周运动时，相距最近或最远的问题，多以选择题的形式出现。【例4】如图所示，有A、B两颗卫星围绕地心O做圆周运动，运行方向相同。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)()A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝T1＋T2B．两颗卫星的轨道半径之比为T1eq\f(2,3)∶T2eq\f(2,3)C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度【方法规律】解决天体中追及相遇问题的两个关键点天体运动中的“追及相遇”问题可以分为同向追赶和反向追赶两种情况，解决这类问题要抓住“两个天体运动角度”之间的关系：(1)从某次“最近(远)”到下一次“最近(远)”，若同向追赶，两个天体转动的角度差等于2π；若反向追赶，两个天体转动的角度和等于2π。(2)从某次“最近(远)”到下一次“最远(近)”，若同向追赶，两个天体转动的角度差等于π；若反向追赶，两个天体转动的角度和等于π。类型1行星相遇问题1．太阳系中某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但科学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离。天文学家认为出现这种现象的原因可能是行星A外侧还存在着一颗未知行星B，它对行星A的万有引力引起行星A轨道的偏离，假设其运行轨道与行星A在同一平面内，且与行星A的绕行方向相同，由此可推测未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为()A．Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,t－T)))eq\f(2,3) B.eq\f(t,t－T)RC．Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－T,t)))eq\f(2,3) D．Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,t－T)))eq\f(1,3)2.(2022·重庆巴蜀中学月考)人造卫星甲、乙分别绕地球做匀速圆周运动，卫星乙是地球同步卫星，卫星甲、乙的轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲轨道半径的eq\r(3,25)倍，某时刻两卫星和地心在同一直线上，且乙在甲的正上方(称为相遇)，如图所示。在这以后，甲运动8周的时间内，它们相遇了()A．4次 B．3次C．2次 D．6次类型2卫星与赤道上物体相遇问题1．某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同。设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到卫星下次通过该建筑物正上方所需的时间可能为()A.eq\f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0) B．2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(\f(r3,gR2)))＋\f(1,ω0)))C．2πeq\r(\f(r3,gR2)) D.eq\f(2π,\r(\f(gR2,r3))＋ω0)2．(2022·青岛调研)地球赤道上有一位观察者A，赤道平面内有一颗自西向东运行的近地卫星b，A观测发现，其正上方有一颗静止不动的卫星c，卫星b相邻两次从观察者A正上方飞过的时间间隔为T(T与卫星b的运行周期不相等)。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是()A．c的加速度大于b的加速度B．A的线速度大于c的线速度C．地球的质量为eq\f(4π2R3,GT2)D．c的周期为eq\f(2πT\r(R),T\r(g)－2π\r(R))专题强化训练1.(2022·辽宁阶段练习)两名外卖骑手A和B在同一直线上沿同一方向同时开始运动的v－t图线如图所示，两名骑手在第1s末相遇，由此可知()A．骑手A做匀变速直线运动B．初始时刻B在A前方3m处C．骑手B在减速阶段的加速度为1m/s2D．在图示的运动过程中，两名骑手可以相遇两次2．如图所示的位移—时间(x­t)图像和速度—时间(v­t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁分别代表四辆汽车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等3．火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车头s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速度v2做匀速运动，于是司机立即使火车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为()A．a>eq\f(v12－v22,2s) B．a>eq\f(v12,2s)C．a>eq\f(v22,2s) D．a>eq\f(v1－v22,2s)3.（2022·郑州模拟）甲、乙两辆汽车分别在同一平直公路的两条车道上同向行驶，t＝0时刻它们恰好经过同一路标。0～t2时间内，两辆车的v­t图像如图所示，则()A．t1时刻甲车追上乙车B．t2时刻甲车的加速度大小大于乙车的加速度大小C．0～t2时间内甲车的平均速度大小为eq\f(v1＋v2,2)D．0～t2时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度4.甲、乙两人同时同地骑自行车出发做直线运动，前1h内的x­t图像如图所示，下列表述正确的是()A．0.2～0.5h内，甲的速度比乙的小B．0.2～0.5h内，甲的加速度比乙的大C．0.6～0.8h内，甲的位移比乙的小D．0.8h时，甲追上乙5.我国的5G技术世界领先，该项技术在传输、时延、精度方面比4G大有提高，我国许多公司已将该技术应用于汽车的无人驾驶研究．某公司在研究无人驾驶汽车的过程中，对比甲、乙两辆车的运动，两车在计时起点时刚好经过同一位置沿同一方向做直线运动，它们的速度随时间变化的关系如图所示，由图可知()A．甲车任何时刻加速度大小都不为零B．在t＝3s时，两车第一次相距最远C．在t＝6s时，两车又一次经过同一位置D．甲车在t＝6s时的加速度与t＝9s时的加速度相同6.甲、乙两车在同一车道同向直线运动，运动中速度随时间变化的v－t图像如图所示，运动中两车恰好没有发生碰撞，最终两车均停止，则()A．t＝0时，甲车在乙车前方9m处B．t＝0时，甲车在乙车后方8.4m处C．当甲车刚停下时，乙车速度大小为1.2m/sD．当两车均停止时相距0.4m7.(2022·甘肃民勤县第一中学期中)一只气球以10m/s的速度匀速上升，某时刻在气球正下方距气球6m处有一小石子以20m/s的初速度竖直上抛，若g取10m/s2，不计空气阻力，忽略气球大小，则下列说法中正确的是()A．石子一定能追上气球B．改变石子的初速度，石子和气球可能相遇两次C．若气球上升速度等于9m/s，其余条件不变，则石子在抛出后1s追上气球D．若气球上升速度等于7m/s，其余条件不变，则石子恰好在到达最高点时追上气球8.(2022·广西高三月考)A、B两小球分别从图所示位置被水平抛出，落地点在同一点M，B球抛出点离地面高度为h，与落地点M水平距离为x，A球抛出点离地面高度为2h，与落地点M水平距离为2x，忽略空气阻力，重力加速度为g，关于A、B两小球的说法正确的是()A.A球的初速度是B球初速度的两倍B.要想A、B两球同时到达M点，A球应先抛出的时间是eq\r(\f(2h,g))C.A、B两小球到达M点时速度方向一定相同D.B球的初速度大小为xeq\r(\f(2h,g))9.(2022·河南新乡市高三上学期第一次模拟)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，它们在下落高度为9m时，在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的3倍，不计空气阻力，则自抛出到它们在空中相遇时，两球下落的高度为()A.6m B.3eq\r(2)mC.3m D.1m10.如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高．现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度v1、v2沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰(不计空气阻力)，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，下列说法正确的是()A．初速度v1、v2大小之比为3∶4B．若仅增大v1，则两球不再相碰C．若v1大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点DD．若只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC11.(多选)(2022·山西太原市质检)如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有()A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次12.当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，2016年3月8日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是()A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年C.木星运行的加速度比地球的大D.木星运行的周期比地球的小13.快递员驾驶甲车给小明送快递，小明拿到快递后，发现快递员不小心遗落了一件别人的快递在他这里，小明立即驾驶乙车去追快递员，此时快递员已经驾驶甲车在一条平直公路上行驶了84m，速度达到4m/s，且甲车正以1m/s2的加速度做匀加速直线运动，一段时间后，快递员接到小明的信号改为匀速向前行驶，已知小明驾驶的乙车最初以2m/s2的加(1)求甲车加速行驶的时间；(2)若乙车刚追上甲车时两车同时减速运动，40m后停在同一位置，求两车各自做减速运动的加速度大小和两车到达停车位置的时间差．14.(2022·重庆万州纯阳中学校阶段练习)蓝牙可实现固定设备或移动设备之间的短距离数据交换，但设备间超过一定距离时便无法实现通讯．某次实验中在甲、乙两小车上安装了某种蓝牙设