第12讲-圆的方程(解析版)

第12讲圆的方程1.掌握圆的标准方程，能根据圆心,半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.会将一般式方程转化为标准方程.1圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2圆的方程(1)标准方程x−a2+y−b2=(2)一般方程x(3)求圆方程的方法(i)待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3点与圆的位置关系(1)设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔d<r；b.点在圆上⇔d=r；c.点在圆外⇔d>r.(2)给定点M(x0M在圆C内⇔xM在圆C上⇔xM在圆C外⇔x(3)某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MNmin=M若点M在圆外，则MNmin=M【题型1求圆的方程】【典题】（1）已知A(−1,0)，B(3,2)，C(0,−2)，则过这三点的圆方程为.【解析】方法一待定系数法设圆的一般方程为x2又由圆过A(−1,0)，B(3,2)，C(0,−2)三点，则有&1−D+F=0&13+3D+2E+F=0&4−2E+F=0，解得D=−3，E=0则圆的标准方程为x2+y方法二几何法圆心是直线AB、AC的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)易得直线AB、AC的垂直平分线分别为y=−2x+3，y=1由y=−2x+3y=12x−3半径r=OC=3故圆的标准方程为x－3【点拨】求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.待定系数法的想法简单但计算量较大.【典题】（2）若圆C过点(0,−1),(0,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为22，求圆C的标准方程.【解析】方法一几何法∵圆C过点0,−1,0,5，∴圆心的纵坐标为则设圆心为(a,2)，则a−42=22，∴a=0∴当a=0时，r=3；当a=8时，r=64+9∴圆C的标准方程为x2+y−2方法二待定系数法设圆的方程为x−a2则a2+−1−b2=∴圆C的标准方程为x2+y−2巩固练习1.过点A(1,1)，B(−3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【答案】x+22【解析】设圆的标准方程为x－a2因为圆过点A(1,1),B(－3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上，则有(1−a)2+(1−b所以圆的半径是10．2.已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2【答案】−4【解析】圆x2+y2=1设(0,0)关于直线x+y=1的对称点为(m,n)，则m2+n则点(0,0)关于直线x+y=1对称的点的坐标为(1,1)，所以圆x2+y2=1化为一般式为x2所以a=b=－2，即a+b=－4．3.圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为. 【答案】x−12+y−1【解析】画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为(1,1)，且半径|OA|=2则圆A的标准方程为：x－12当圆心A'在第三象限时，过A'作A'C'⊥x轴，又|OB'|=2，根据垂径定理得到点C'为弦OB'的中点，则|OC'|=1，由点A'在直线y=x上，得到圆心A'的坐标为(－1,－1)，且半径|OA'|=2则圆A'的标准方程为：x+12综上，满足题意的圆的方程为：x－12+y【题型2点与圆的位置关系】【典题】(1)若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0【解析】方法1几何法x2+y它表示一个圆心M(−2,1)，半径r=3的圆⊙M，而x表示圆上的点N(x,y)与原点O(0,0)之间的距离，(则本题就是求原点到圆上点距离的最大值)结合图形知，ON即x2+y方法2三角代换法x2+y设x=3sinα−2，y=3cosα+1，则x而−5∴14−6(2sinα+cosα)的最小值为14+6【点拨】方法1是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定x2+y2是线段ON的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法2是三角代换法，圆【典题】(2)若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25A．点P在圆C内 B．点P在圆C上 C．点P在圆C内或圆C上 D．点P在圆C上或圆C外【解析】∵点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，∴5cosθ∴点P与圆C的位置关系是点P在圆C内或圆C上，故选：C．【点拨】判定点P到圆⨀O的位置，方法有两种，①求OP，与半径r比较大小；②把点Px0,y0巩固练习1.设点M(x0,1),若圆O:x2+y2=1【答案】−【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，即OM2=x02

2.如果圆x−a2+y−a2=8上总存在到原点的距离为2【答案】−3,−1【解析】圆x−a2+y−a2=8半径r=22，圆心若由圆x−a2+y−a∴22∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或−3≤a≤−1．∴实数a的取值范围是[−3，−1]∪[1，3]．3.在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,1在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2【答案】4【解析】点P(0,1)在圆C：x2∴1－2+m解得0<m<4；又圆C化为标准方程是x+m2+y∵△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，∴PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1．圆心C到直线l的距离d=|−km−1+1|∴4m−d2=3∴9−4m=当m=49时，四点共线没有三角形，∴实数m的取值范围为(4.已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O【答案】[−33【解析】设A(x0,y0)，解得(x−32)2+(y−又线段PA的中点也在圆O上，∴两圆有公共点，∴1≤(解得：−3一、单选题1．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．2．（2001·全国·高考真题）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程．【详解】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为.故选：A3．（2020·山东·统考高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.4．（2009·重庆·高考真题）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点代入圆的方程即可求解.【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为，则圆的方程为，又点在圆上，所以，解得.故选：A【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.5．（2004·全国·高考真题）已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为A． B．C． D．【答案】D【分析】设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．【详解】由题意设圆心坐标为，∵圆与直线相切，∴，解得a=2．∴圆心为，半径为，∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即．故选D．【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．6．（2009·上海·高考真题）点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.7．（2015·全国·高考真题）已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A． B．C． D．【答案】B【详解】选B.考点：圆心坐标二、多选题8．（2022·重庆·校联考三模）设圆的方程是，其中，，下列说法中正确的是（

）A．该圆的圆心为 B．该圆过原点C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为【答案】BC【分析】根据圆的标准方程的性质逐一判断即可.【详解】由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为，半径为，所以选项A、D不正确；因为，所以该圆过原点，因此选项B正确；在圆的方程中，令，有，或，因为，所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确，故选：BC三、填空题9．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．【答案】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：10．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．【答案】或或或．【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．11．（2007·湖南·高考真题）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是.【答案】【解析】求出圆心到切线的距离即为圆半径，可得方程．【详解】由题意圆的半径为，所求圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查圆的方程，解题关键是求出圆的半径，根据是圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径．12．（2004·上海·高考真题）圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为.【答案】【分析】根据题意，设圆的一般方程，结合已知条件列出方程组，进而可求解.【详解】设圆的一般方程为.因圆心在直线上，所以，即.①又因点，在圆上，所以，②由①②，解得，，，所以圆的一般方程为.故答案为：.13．（2019·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．【答案】【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：，解得：，则圆的方程为.点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．14．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考三模）已知平面上到两直线与的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数.【答案】【分析】根据题意列出方程，再化简，满足圆的方程的条件得到关于的方程，最后解方程即可.【详解】设此点的坐标为，则依题意有，化简得，此方程要表示圆，则.故答案为：.四、解答题15．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.【答案】(1)，且；(2)（，且）；(3)过定点和.【分析】（1）令得抛物线与轴交点，此交点不能是原点；令，则方程＞0，即可求的范围．（2）设出所求圆的一般方程，令得到的方程与是同一个方程；令得到的方程有一个根为，由此求得参数及圆的一般方程．（3）把圆方程里面的b合并到一起，令b的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点．【详解】（1）令得抛物线与轴交点是；令，由题意，且，解得，且．即实数的取值范围，且．（2）设所求圆的一般方程为，由题意得的图象与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，∴圆的方程为（，且）．（3）把圆的方程改写为，令，解得或，故圆过定点和．一、单选题1．圆的圆心坐标和半径分别是（

）A．

2 B．

4 C．

2 D．

4【答案】A【分析】化为标准方程求解.【详解】圆化为标准方程为圆的圆心坐标和半径分别是故选A.【点睛】本题考查圆的一般方程与的标准方程互化，属于基础题.2．以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程.【详解】直线方程可化为，则两条平行线之间距离，即圆的半径，所求圆的方程为：.故选：B.3．若过点可作圆的切线有两条，则有（

）A． B．或C． D．上述均不对【答案】D【解析】由圆的标准方程知，又点应在已知圆的外部，得到求解即可.【详解】由，得，解得：，又点应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得：，解得：或，则实数的取值范围是：.故选：D.【点睛】关键点睛：圆的标准方程知，利用点应在已知圆的外部，得到把点坐标代入圆的标准方程其值大于.4．已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】如图，先得到点为直线上一点，再将的最小值转化为的最小值，找到点关于直线的对称点为，利用对称性知的最小值为，代入坐标运算即可.【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，因为，则点为直线上一点，其与坐标轴交于点，如图，连接，，要求的最小值，即求的最小值，明显四边形为正方形，则点关于直线的对称点为，连接则，又，则的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，可根据几何特点快速求出点关于线的对称点，考查学生的转化能力和计算能力，是一道中档题.5．已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C的圆心即可求解，由点关于直线对称列出方程即可.【详解】因为圆的圆心为，设关于的对称点，则，解得，即圆C的圆心为，半径为1，所以方程为.故选：C6．已知不等式组所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出平面区域Ω，则，，计算垂直平分线得到圆心为，半径为，计算得到答案.【详解】如图所示：画出平面区域Ω，则，，线段的垂直平分线为.，中点为，故线段的垂直平分线为.故圆心为，半径为，外接圆面积为.故选：.【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域，外接圆面积，画出图像是解题的关键.二、多选题7．已知点，且点在直线上，则（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．的最小值为D．的最大值为【答案】BCD【分析】根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、点关于线对称的性质逐一判断即可.【详解】对于，由的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，而该圆心到直线的距离，故错误；对于，设，则满足的动点的方程为，化简得，则圆心到直线的距离，故正确；对于，因为关于的对称点为，所以有，解得，即，所以，故正确；对于（当且仅当三点共线时，等号成立），故正确.故选：BCD8．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由题意知圆心在直线，设圆心坐标为，由圆过点即可求解.【详解】圆上的点关于直线的对称点仍在这个圆上，圆心在直线上，设圆心坐标为，则由，解得或，所求圆的方程为或.故选：AD三、填空题9．已知圆方程，则其圆半径长.【答案】【分析】根据圆的一般方程写出其标准方程，即知圆的半径长.【详解】由题设，圆的标准方程为，∴圆半径长为.故答案为：10．以、为直径的圆的方程为.【答案】【分析】由已知两点的坐标，利用中点坐标公式求出其中点的坐标，即为所求圆心坐标，再由两点坐标，利用两点间的距离公式求出两点间的距离，即为圆的直径，进而求出圆的半径，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出所求圆的标准方程即可．【详解】解：因为、为直径，则、的中点坐标为圆心，故圆的方程为故答案为【点睛】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有中点坐标公式，两点间的距离公式，灵活运用公式得出圆心坐标及半径是解本题的关键．11．已知圆上的动点M和定点A，，则的最小值为．【答案】【分析】找到定点，连接易证，即可得，转化为求最小值，判断对应的位置，即可求最小值.【详解】若，又A，，则，所以且，则，即，故，当共线时目标式值最小，所以的最小值为.故答案为：12．已知圆，则圆的半径为，若为圆上任意一点，则的最小值是．【答案】【分析】将圆的方程配成标准方程，可得出圆的半径，令，可知直线与圆有公共点，利用圆心到该直线的距离小于等于半径，可得出关于的不等式，可求得的取值范围，由此可得出的最小值.【详解】因为，所以有，所以可知该圆的半径为．设，则直线与圆有公共点，所以，，解得.因此，的最小值为.故答案为：；.【点睛】本题考查圆的半径的求解，同时也考查了代数式取值范围的求解，将问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.四、解答题13．求过三点的圆的方程.【答案】【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法求解.【详解】设圆的方程为经过，所以，解得：，所以圆的方程为.【点睛】此题考查求圆的方程，根据圆上的三个点的坐标求圆的方程可以待定系数法求解，也可根据几何意义分别求出圆心和半径.14．的三个顶点分别是、、.(1)求边上的中线所在直线的方程；(2)求的外接圆的方程