2024年数学高考一轮复习复数试卷

1.3复数（精讲）一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．（虚部不含i）2.复数的分类：复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(实数（b＝0），,虚数（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．4.共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（实同虚反）5.复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．二．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).三．复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).解决复数概念问题的方法1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．二．复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式三．复数的几何意义1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．四．常用结论1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．考点一复数的计算【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知，为虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则.故选：C.【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，故选：C．【例1-3】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A.【例1-4】（2023·广东深圳·统考二模）已知复数满足，则_____________.【答案】【解析】因为，即，所以，或，若，则，则，若，则，则.综上所述，.故答案为：.【一隅三反】1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得.故选:B.2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，有，所以.故选：D4．（2023·山西临汾·统考二模）复数（

）A． B．2048 C． D．-2048【答案】C【解析】.故选：C.5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若为虚数单位，则计算___________．【答案】【解析】设，，上面两式相减可得，，则．故答案为：．考法二复数的实部与虚部【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】因为，则的虚部为1，故A，B，D错误.故选：C.【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数是虚数单位）的共轭复数是，，，，则的虚部是.故选：D【一隅三反】1．（2023春·河南商丘）已知复数，则z的虚部为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】B【解析】，则z的虚部为．故选：B.2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数的实部与虚部之和为_______.【答案】【解析】因为，所以的实部与虚部之和为.故答案为：．3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且，则的虚部为（

）A． B．2 C．2i D．【答案】B【解析】由可得：，则，所以的虚部为2.故选：B.考法三复数的分类【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知，为纯虚数，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为为纯虚数，所以，且，所以.故选：B.【例3-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数是实数，则的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，复数是实数，，解得.故选：C.【一隅三反】1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）若复数是纯虚数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，有.故选：A2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）设是纯虚数，若是实数，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．3【答案】D【解析】设，则，因为是实数，所以，即，所以，故的虚部为3.故选：D.3．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知是纯虚数，是实数，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是纯虚数，故可设，所以，因为是实数，所以，即，所以.故选：A考点四复数的几何意义【例4-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）若复数，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由.故选：B【例4-2】（2023·广东湛江·统考二模）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得，则，所以在复平面内对应的点为，故选：A【例4-3】（2023·全国·校联考二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，，，实部为1，虚部为-1，所以在第四象限；故选：D.【例4-4】．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足，若，则复数z为（

）．A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】由有，即，解得，当时，,当时，.故选：C【一隅三反】1．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知复数，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，.故选：A2．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知，则复数z在复平面上对应的点在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】设，则，∴由，得，解得，，∴复数在复平面上对应的点在第一象限．故选：A．3．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由已知可得，所以复数的共轭复数，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限.故选：A.4．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知复数，，若在复平面上对应的点在第三象限，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，则，解得，因为复数在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，.故选：B.考法五复数范围内解方程【例5】（2023·福建·统考模拟预测）已知z是方程x2-2x+2=0的一个根，则||=（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】因为方程x2-2x+2=0是实系数方程，且，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即，即，故选：B【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z是方程的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】复数范围内方程的根为，因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以，则．故选：D.2．（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为（

）A．1 B． C．0 D．【答案】B【解析】复数是一元二次方程的一个根，又，该方程的根为，即或，则.故选：B．考法六复数模的相关轨迹问题【例6-1】（2023·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以的最大值为．故选：B【例6-2】（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，所以点的轨迹方程为，设，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：B．【一隅三反】1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数，其中为虚数单位，且，则复数的模的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】，则表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则|z|表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最大值为3.故选：C2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】设，因为，所以，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：，如图，又，所以表示圆C上的动点到定点的距离，所以为，故选：B．3．（2023·广东·统考一模）在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，代入到，得，即，整理得，即点在直线上，所以点到之间的距离的最小值，即到直线的距离，由点到直线的距离公式可得，所以点与点之间距离的最小值为.故选：C.考法七复数的综合运用【例7】（2023·重庆·统考二模）（多选）已知复数，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若且，则 D．若，则【答案】BCD【解析】对于A，若，例如：，则，故A错误；对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；对于C，由，则，∵，∴，故C正确；对于D：若，则，故D正确.故选：BCD.【一隅三反】1．（2023·广东佛山·统考二模）（多选）设，，为复数，且，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则在复平面对应的点在一条直线上【答案】ACD【解析】设，，，对A，若，即，则，所以，，故A正确；对B，若，则，而，故B错误；对C，，，所以，即，因为，，则至少有一个不为零，不妨设，由，可得，所以，，即，，故C正确；对D，由，可得，所以，又不全为零，所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.故选：ACD.2．（2023·山西运城·统考二模）（多选）设为复数，则下列命题中一定成立的是（