2024年数学高考一轮复习幂函数与一元二次函数试卷版

3.5幂函数与一元二次函数（精练）1．（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D2．（2023·江苏）下列命题中正确的是（

）A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过和点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限【答案】D【解析】对于A，当时函数的图像是一条直线但去掉点，故A错误；对于B，幂函数的图像都经过点，当指数时，都经过点，故B错误；对于C，幂函数的图像关于原点对称，且当时，函数是定义域上的增函数；当时，函数在和上都为减函数，故C错误；对于D，由于在函数中，只要，必有，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，故D正确.故选：D.3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数在均单调递减可得即；函数在均单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，由题可得所求区间真包含于，结合选项，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是C故选：C4．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数在区间上单调递增，则（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【解析】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，所以且，由，得或，当时，，满足题意；当时，足，不符合题意.综上.故选：A.5．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【解析】由题意知，因为其图像关于y轴成轴对称，则.故选：C．6．（2023·北京）已知函数的值域是，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，画出图像，如图所示，

令，则，解得或，令，则，解得（舍去）或，对于A：当时，结合图像，得，故A错误；对于B：当时，结合图像，得，故B错误；对于C：当时，结合图像，得，故C错误；对于D：当时，结合图像，得，故D正确；故选：D．6．（2023·陕西）已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由的定义域为，，则，即，所以，因为，所以函数在上单调递增，当，当，故函数的值域为.故选：C．7．（2023·海南）已知，并且m、n是方程的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，又，分别画出这两个函数的图象，其中的图象可看成是由的图象向上平移1个单位得到，如图，

由图可知：．故选：A．8．（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：“∀x∈，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A．－1<a<2 B．a≥1C．a<－1 D．－1≤a<2【答案】D【解析】当a＝－1时，3>0成立；当a≠－1时，需满足，解得－1<a<2.综上所述，－1≤a<2.故选：D10．（2023·湖南）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】因为函数（b，c为实数），，所以，解得，所以，因为方程有两个正实数根，，所以，解得，所以，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B11．（2023山东）若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可知是二次函数，其对称轴为，要使得函数在上时是减函数，则必须，即；故选：C.12．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考三模）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，函数，根据二次函数的性质，作出函数的图象，如图所示，结合图象，可知函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，所以，即，当时，不等式，即为，解得；当时，不等式，即为，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：C.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为(

)A． B．－3 C．或－3 D．4【答案】C【解析】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．综上可知，a的值为或－3．故选：C．14．（2023·哈尔滨）（多选）下列是函数的单调减区间的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由解得，所以，函数图象如图所示，由图可知函数的单调减区间为和，故选：AC15．（2023·黑龙江）已知函数：①，②，③，④，既是偶函数，又在上为增函数的是_________．【答案】①④【解析】对于①，设，定义域为，满足，故为偶函数，又，在上为增函数，符合题意；对于②，定义域为R，且为偶函数，在上为增函数，故在上为减函数，不符题意；对于③，定义域为R，设，则，故为奇函数，不符题意；对于④，定义域为，设，满足，故为偶函数，在上为减函数，故在上为增函数，符合题意，故答案为：①④16．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为__________.【答案】【解析】由题意可知，的定义域为，所以，所以函数是奇函数，由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，由，得，即，所以，即，解得，所以关于的表达式的解集为.故答案为：.17．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．【答案】【解析】因在上单调递减，则；又为偶函数，则.故答案为：.18．（2023·广东深圳）若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意可得函数的图像开口向上，对称轴为，当时，，令，解得或，因为函数的定义域为，值域为，故，故答案为：19．（2023·四川）若函数的图象关于直线对称，则的最大值为__________．【答案】30【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，所以，所以，所以当或时，函数取最大值，最大值为.故答案为：30.20．（2023·内蒙古）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.【答案】【解析】根据题意可知，又恒相等，化简得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式为.故答案为：.1．（2022·全国·高三专题练习）若，，成等差数列，则二次函数的图象与轴的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】D【解析】由，，成等差数列，可得，所以，所以二次函数的图象与轴交点的个数为1或2.故选：D.2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当函数是R上的单调递减函数，所以，解得，因为且，所以当时，不可能是增函数，所以函数在R上不可能是增函数，综上：实数a的取值范围为，故选：B3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得故实数a的取值范围是故选：C4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________【答案】【解析】由题意，不等式且，即，令，所以，所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而一次函数，图象是过一定点的动直线，作出函数和的图象，如图所示，其中，又因为，结合图象，要使得集合中有且只有一个元素，可得，即，解得.即正实数的取值范围是.故答案为：.5．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】令，因为，所以函数为奇函数，由函数都是增函数，可得为增函数，，则不等式，即为，即，即，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.6．（2023·全国·高三专题练习）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】因为函数的单调递增区间为，递减区间为，所以当时，则有，即方程有两个不相等的正根，所以，解得；当时，则有，则，，即方程有两个不相等的负根，所以，解得；当时，此时，则，与题设矛盾；当时，则，即，解得或(舍去)；综上所述：实数的取值范围为：.故答案为：7．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；(3)一个根在内，另一个根在内；(4)一个根小于，一个根大于；(5)两个根都在内．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）令，设的两个根为.由题得，解得.（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得（4）若方程的一个根小于，一个根大于，则，解得（5）若方程的两个根都在内，则，解得8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若不等式的解集为[1，2]，求不等式的解集；(2)若对于任意的，，不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)已知，若方程在有解，求实数a的取值范围．【答案】(1)，，(2)(3)[0，1）．【解析】（1）解：若不等式的解集为，，即1，2是方程的两个根，则，即，则，由得，即得，得或，即不等式的解集为，，．（2）解:不等式恒成立，即在，恒成立，令，，，则，令，解得：，故在，递增，在，递减，故（1）或，而（1），，故．（3）解：由得，，即，若方程在，有解，等价为有解，设，，，，，即，即，则，即实数的取值范围是，．9.（2023广东潮州）设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．【答案】见解析【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1．当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2．综上可知，f(x)min＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋1，t<0，,1，0≤t≤1，,t2－2t＋2，t>1.))10．（2023福建福州）已知函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(8x,1＋x2)，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝x2－ax＋1．(1)若对任意x∈R，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＋3恒成立，求t的取值范围．(2)若存在a∈R，对任意x1∈eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))))，总存在唯一x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，2))，使得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0))成立，求a的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)因为∀x∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))eq\s\up12(2)＝1＋x2－2x≥0，所以1＋x2≥2x，所以∀x∈R，eq\f(2x,1＋x2)≤1，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)＝4，要使对任意x∈R，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))≤geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＋3恒成立，只需feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))eq\s\do7(max)≤t2－at＋4，所以t2－at＋4≥4，即－ta＋t2≥0．记heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝－ta＋t2，因为a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1))，所以只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))≥0，,h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))≥0，))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t2＋t≥0，,t2－t≥0，))解得t≤－1或t＝0或t≥1．故t的取值范围为t≤－1或t＝0或t≥1．(2)当x＝0时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0))＝0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(8x,1＋x2)＝eq\f(8,x＋\f(1,x))，因为x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(8,x＋\f(1,x))∈eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4))))，所以函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞))))上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，4))．因为对任意y∈eq\