河南省开封市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 含解析

2023—2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z满足，则（）A B. C. D.2.设，为两个平面，则的充要条件是A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率．先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜．因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计所求概率的值为（）A.0.3 B.0.35 C.0.6 D.0.655.已知，，且与的夹角，则（）A.13 B. C.37 D.6.在中，角的对边分别为，已知，且，，则（）A. B. C. D.7.中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（）A B. C. D.8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，则下列说法中正确的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果互斥，那么 D.如果互斥，那么10.已知复数，则（）A. B. C. D.11.如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，在网格中的位置如右图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______；______．13.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为______．14.已知复数，，且，则λ的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回．设事件“摸球2次出现1次红球”，“摸球4次出现2次红球”．（1）分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间；（2）猜想和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．16.平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中．（1）求；（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．17.有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下：0070.240.950.981.020.981.371.400.391.021.441.580.541.080.610.721.201.141.621.681.851.200.810.820.841.291.262.101.651.31（1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼汞含量的分布特点；（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?（3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．18.如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD.（1）证明：平面PCD；（2）若E是棱PA的中点，且平面PCD，，求异面直线BE与PD所成角的余弦值.19.当内一点P满足条件时，称点P为的布洛卡点，角θ为的布洛卡角．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为θ．（1）证明：．（2）证明：；（3）若，且，求A及．2023—2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算求解即可.【详解】由，可得，故选：A2.设，为两个平面，则的充要条件是A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数 B.平均数C.方差 D.极差【答案】A【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率．先由计算机模拟产生1~5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜．因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计所求概率的值为（）A.0.3 B.0.35 C.0.6 D.0.65【答案】D【解析】【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案【详解】由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314有13组，所以甲获胜的频率为，所以甲获得冠军的概率的近似值约为，故选：D.5.已知，，且与的夹角，则（）A.13 B. C.37 D.【答案】D【解析】【分析】根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，且与的夹角，所以，所以.故选：D6.在中，角的对边分别为，已知，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理把边化为角，再用和差公式得，所以，再用余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理得，，，即，，，，即，，又，.故选：.7.中，为的中点，与对角线相交于点，记，，用，表示（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面几何的知识得到，即，再根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】在中，为的中点，与对角线相交于点，所以，所以，所以，所以.故选：C8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为θ，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角为θ就是，结合解三角形知识即可求解.【详解】由题意设，取的中点，过点作交于点，连接，如图所示：因为，，点是等腰直角三角形斜边上的中点，所以，又因为，平面，平面，平面平面，所以二面角平面角为θ就是，设，则，，，，从而，所以，又，所以，所以，所以，.故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，则下列说法中正确的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果互斥，那么 D.如果互斥，那么【答案】ABC【解析】【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可.【详解】对于AB，由可得,所以,故AB正确；对于CD，由互斥可得，所以,故C正确，D错误.故选：ABC.10.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由共轭复数概念、复数乘法即可判断；对于B，由复数模的计算公式即可判断；对于CD，由复数乘方、复数乘法即可判断.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.11.如图，在山脚测得山顶仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据所给条件表示出、、，在中利用正弦定理表示出、，再由锐角三角函数计算可得.【详解】由题意可知，，，，，分别在，中，，，所以，又，，在中，由正弦定理可得，，即，所以，在中，，故A正确，B错误；在中，由正弦定理可得，，即，所以，在中，，又，所以，故C正确、D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，在网格中的位置如右图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则______；______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】建立坐标系，求出，，的坐标，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】建立直角坐标系如图所示：因为网格纸上小正方形的边长为1，则，，，.故答案为：2；3.13.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为______．【答案】【解析】【分析】根据正方体的内切球体积计算出正方体边长，再利用正方体的外接球体积计算得到结果；【详解】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的内切球体积为，解得，正方体外接球的半径为，故正方体的外接球体积为．故答案为：．14.已知复数，，且，则λ的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得.【详解】由，得，消去并整理得，显然，当时，，当时，，所以λ的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回．设事件“摸球2次出现1次红球”，“摸球4次出现2次红球”．（1）分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验样本空间；（2）猜想和的大小关系，并验证你的猜想是否正确．【答案】（1）答案见解析（2），猜想正确【解析】【分析】（1）根据样本空间的定义逐一列举即可得解；（2）根据古典概型概率计算公式直接计算即可比较大小.【小问1详解】用a表示“取出红球”，b表示“取出白球”，摸球2次，样本空间为，包含4个等可能的样本点；摸球4次，样本空间为，包含16个等能的样本点；【小问2详解】猜想应该有，，故，，故，根据古典概型概率计算公式，得，，所以，猜想正确.16.在平面直角坐标系Oxy中，已知向量，，，其中．（1）求；（2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先应用减法得出向量坐标，再应用坐标运算得出夹角；（2）根据坐标求出模长，再根据投影向量公式计算即可.小问1详解】因为，，，又，所以，所以．【小问2详解】，所以，解之得，设向量和向量的夹角为θ，又，所以向量在向量上的投影向量为：，当时，，，当时，，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为或17.有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量（乘以百万分之一）如下：0.070.240.950.981.020.981.371.400.391.021.441.580.541.080.610.721.201.141.621.681.851.200.810.820.841.291.262.101.651.31（1）依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?（3）将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．【答案】（1）答案见解析；（2），，不一致，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）汞含量在的样本数为12，求出频率即可补充直方图；（2）分别依据样本数据和（1）中频率分布直方图估计第60百分位数即可求解；（3）记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，根据互斥事件的概率加法公式即可求解.【小问1详解】汞含量在的样本数为12，故频率为,在频率分布直方图中对应的高为,补充频率分布直方图如图所示：汞含量分布偏向于大于的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于的区域.【小问2详解】依据样本数据：由，样本数据的第60百分位数为第18，19项数据的平均数，即，所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为；依据频率分布直方图：由，所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为，两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布.【小问3详解】记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，则，记“两条鱼最终均在B水池”