北师大自主招生数学试卷

北师大自主招生数学试卷一、选择题

1.下列哪个函数属于偶函数？（A）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x

2.已知函数f(x)=2x-1，求f(-3)的值。（C）

A.5

B.-5

C.-7

D.7

3.下列哪个数列是等差数列？（A）

A.1,4,7,10,...

B.1,3,5,7,...

C.1,2,4,8,...

D.1,2,4,8,16,...

4.已知等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项之和。（B）

A.50

B.55

C.60

D.65

5.下列哪个函数属于奇函数？（A）

A.f(x)=x^3

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x

6.求下列函数的定义域：（C）

A.f(x)=√(x-1)

B.f(x)=√(x+1)

C.f(x)=√(x^2-1)

D.f(x)=√(x-1)(x+1)

7.已知函数f(x)=x^2-3x+2，求f(x)的零点。（B）

A.1和2

B.1和2

C.1和3

D.2和3

8.下列哪个数列是等比数列？（C）

A.1,2,4,8,...

B.1,2,4,6,...

C.1,2,4,8,16,...

D.1,2,3,4,5,...

9.已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。（D）

A.31

B.36

C.45

D.121

10.求下列函数的导数：（C）

A.f(x)=x^3-3x^2+2x

B.f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1

C.f(x)=x^2-4x+4

D.f(x)=x^3-6x^2+11x-6

二、判断题

1.指数函数f(x)=a^x（a>1）在其定义域内是单调递增的。（√）

2.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像一定经过原点。（×）

3.对数函数y=log_a(x)（a>1）的图像一定经过点(1,0)。（√）

4.绝对值函数y=|x|的图像在y轴上是关于y轴对称的。（√）

5.方程x^2-5x+6=0的解为x=2和x=3。（√）

三、填空题5道（每题2分，共10分），要求试题内容涉及基础知识，并能够考察学生对基本概念和公式的掌握程度。

1.在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴的对称点坐标是_________。

2.若等差数列的首项为3，公差为2，则第10项的值为_________。

3.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0时的值为_________。

4.若a,b,c是等比数列的前三项，且a+b+c=9，b=3，则a和c的乘积为_________。

5.函数y=2x+1在x=2时的导数值为_________。

四、简答题1道（5分），要求试题能够考察学生对理论知识的理解和应用能力。

1.简述一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解法，并举例说明。

五、解答题1道（10分），要求试题能够考察学生对复杂问题的解决能力和逻辑思维能力。

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)在x=2时的导数，并解释其几何意义。

三、填空题

1.在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴的对称点坐标是（3，-4）。

2.若等差数列的首项为3，公差为2，则第10项的值为（3+9*2）=21。

3.函数f(x)=x^3-3x+1在x=0时的值为f(0)=(0)^3-3*0+1=1。

4.若a,b,c是等比数列的前三项，且a+b+c=9，b=3，则a和c的乘积为（a*b*c=(a*b)*(b/c)=(3^2)*(9/3)=9）。

5.函数y=2x+1在x=2时的导数值为（y'=2，因此导数值为2）。

四、简答题

1.简述函数的连续性和可导性的关系，并举例说明。

2.解释何为三角函数的周期性，并举例说明正弦函数和余弦函数的周期。

3.简要说明解析几何中直线方程的一般形式和点斜式方程，并举例说明如何转换。

4.简述一元二次方程的判别式Δ的作用，并说明如何根据Δ的值判断方程的根的性质。

5.解释什么是数列的收敛性和发散性，并举例说明等差数列和等比数列的收敛性和发散性。

五、计算题

1.计算下列极限：（limx→0(sin(x)/x)）

2.解下列一元二次方程：2x^2-5x-3=0

3.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

4.计算定积分∫(x^2)dx，积分区间为[0,2]。

5.已知等差数列的首项a1=5，公差d=3，求第10项an的值。

六、案例分析题

1.案例分析：某学校为了提高学生的数学成绩，决定开展一次数学竞赛活动。活动前，学校对参加竞赛的学生进行了摸底考试，发现学生的数学成绩分布呈正态分布，平均分为70分，标准差为15分。请分析以下问题：

-根据正态分布，预计有多少比例的学生数学成绩在60分以下？

-如果学校设定竞赛的奖项前10%的学生可以获得奖品，那么预计有多少名学生可以获得奖品？

-学校应该如何设定竞赛的难度，以确保大多数学生都有机会获奖？

2.案例分析：某班级学生在一次数学测验中，成绩分布如下：

-成绩低于60分的学生有5人；

-成绩在60分到70分之间的学生有10人；

-成绩在70分到80分之间的学生有15人；

-成绩在80分以上的学生有10人。

请分析以下问题：

-计算该班级学生的平均分；

-如果该班级学生参加一个数学竞赛，那么他们的成绩是否有可能呈正态分布？为什么？

-如果要提升该班级学生的整体数学水平，学校可以采取哪些措施？

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批零件，已知每天生产零件的数量与工作时间成正比。如果工人每天工作8小时可以生产120个零件，那么工人每天工作10小时可以生产多少个零件？

2.应用题：一个长方形的长是宽的两倍，且长方形的周长是40厘米。求长方形的长和宽。

3.应用题：一家超市销售某种商品，原价为每件100元，打折后的售价为每件80元。某顾客购买了5件，并获得了50元的现金折扣。求该顾客实际支付的金额。

4.应用题：一个投资者将一部分资金以年利率5%投资于银行储蓄，另一部分资金以年利率8%投资于股票市场。一年后，银行储蓄的利息是股票市场投资收益的1/3。如果投资者总共投入了10万元，求投资者分别投资了多少资金在银行储蓄和股票市场。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.C

3.A

4.B

5.A

6.C

7.B

8.C

9.D

10.C

二、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.（3，-4）

2.21

3.1

4.9

5.2

四、简答题

1.函数的连续性指函数在某点处的极限存在且等于函数在该点的函数值。可导性指函数在某点处的导数存在。连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。例如，函数f(x)=|x|在x=0处连续，但在该点不可导。

2.三角函数的周期性指函数图像在横轴上重复出现的规律性。正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即函数图像每隔2π个单位长度重复一次。

3.直线方程的一般形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。点斜式方程为y-y1=m(x-x1)，其中m为斜率，(x1,y1)为直线上的一点。

4.一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac，用于判断方程根的性质。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

5.数列的收敛性指数列的项逐渐逼近某一极限值。发散性指数列的项没有明显的趋势，可能无限增大或无限减小。等差数列和等比数列的收敛性和发散性取决于首项、公差和公比。

五、计算题

1.（limx→0(sin(x)/x)）=1（根据洛必达法则或利用三角函数极限的基本性质）

2.2x^2-5x-3=0，解得x=3/2或x=-1

3.函数f(x)=x^2-4x+3在x=1时取得最大值4，在x=3时取得最小值0

4.∫(x^2)dx=(1/3)x^3+C，积分区间[0,2]得到(1/3)(2)^3-(1/3)(0)^3=8/3

5.an=a1+(n-1)d，代入a1=5，d=3，n=10，得到an=5+9*3=32

六、案例分析题

1.根据正态分布，预计有约16.07%的学生数学成绩在60分以下。预计有约16名学生可以获得奖品。学校可以设定竞赛的难度，使其平均分接近70分，以确保大多数学生都有机会获奖。

2.平均分为（5*60+10*65+15*70+10*75）/40=68.75分。成绩有可能呈正态分布，因为大多数学生的成绩集中在60到80分之间。学校可以采取的措施包括加强数学基础教学、提供额外的辅导和练习等。

题型知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和公式的理解和应用能力，如函数的定义、数列的性质、极限的计算等。

-判断题：考察学生对基本概念的理解