新课程背景下初中数学反思型教学设计与实践研究

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》将《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“一元二次方程的根与系数的关系”的要求中所带星号去掉，由选学内容变成必学内容。北师大新版初中数学教材在修订该部分内容时力图体现“聚焦核心素养，面向未来”的要求。基于此，该内容的教学需要引起教师的足够重视。教师可从内容价值与新课标调整、不同版本教材的内容呈现分析及教学内容设计分析与实践三个方面进行分析，设计符合学生后续发展的课堂教学。关键词：新教材；一元二次方程；根与系数的关系；韦达定理《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）对初中阶段的一些数学教学内容进行了调整，如在“方程与不等式”主题中将“[*]一元二次方程的根与系数的关系”改为“一元二次方程的根与系数的关系”，由选学内容调整为必学内容，这是对其学习价值的肯定。“一元二次方程的根与系数的关系”是北师大新版教材九年级上册第二章第三节的内容，教材在修订时力图体现“聚焦核心素养，面向未来”的要求，让学生不仅获得知识，还为日后的相关学习（代数基本定理）夯实基础。基于此，笔者进行了本节的教学设计，以期体现新课标和北师大新版教材的要求，为教师提供一些借鉴与思考。一、明晰本课的内容价值与新课标调整一元二次方程的根与系数的关系通常被称为“韦达定理”，它为数学领域中一元方程的研究奠定了基础。韦达定理不仅说明了一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程根与系数的关系，它的价值主要有三点：其一是能反映根与系数的依存关系，当方程的系数确定时，方程的根也随之确定，可见，方程的根与系数之间存在着必然的关系；其二是能体现一元方程的普适结论，初中阶段韦达定理仅存在于一元二次方程中，但实际上它的内涵丰富，是一元方程的普适结论，在一元三次方程、一元四次方程中也存在着特殊的根与系数的关系；其三是能勾连诸多问题，在后续的数学学习中，也常会用到韦达定理，如在二次函数图象的研究中，可将“二次函数的图象与x轴的交点”的问题转化为“相对应的一元二次方程的解”的问题，这时韦达定理就在二次函数的研究中派上了用场。为此，“一元二次方程的根与系数的关系”将对后续数学的学习起到重要作用。新课标将“一元二次方程的根与系数的关系”由上一版课标“选学内容，不作考试要求”更改为“必学内容”。这是对其“地位”的提升，以及对它在数学后续学习中作用的认可。事实上，“一元二次方程的根与系数的关系”从两个不同角度解释了一元二次方程根与系数的内在联系，能有效帮助学生深化对一元二次方程的理解，提高运用一元二次方程分析问题、解决问题的能力，为高中数学学习打下基础。此处的改动给后续教学提出了新的要求：其一是关注韦达定理的证明过程，发展代数推理；其二是体会韦达定理的价值，为后续“代数基本定理”的学习奠定基础。二、不同版本教材的内容呈现分析笔者对人教版、北师大版、华师大版和苏科版四个版本教材进行了对比，由于例题环节基本一致，故仅对“引入”“证明”两个环节加以分析（见表1）。表1不同版本教材内容分析[版本引入证明人教版方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式x=[-b±b2-4ac2a]，不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系。一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？借助一般形式和一次式乘积形式进行对比、研究得到二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，再用求根公式证明一般情况下的一元二次方程根与系数的关系北师大版通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？解下列方程：（1）x2-2x+1=0；（2）x2-2[3]x-1=0；（3）2x2-3x+1=0。每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？对于任何一个一元二次方程，这种关系成立吗？用求根公式证明一般情况下的一元二次方程根与系数的关系华师大版求出一元二次方程x2+3x-4=0的两根x1和x2，计算x1+x2和x1x2的值。它们与方程的系数有什么关系？对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？用求根公式证明二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系苏科版观察5个系数为1的一元二次方程，你能发现一元二次方程的根与系数有什么关系？方程2x2-5x-3=0的两根是x1=3，x2=-[12]，这两根的和、积与系数有什么关系？先求出方程3x2-7x+4=0的解，再验证这个方程的根与系数是否存在上面发现的结论用求根公式证明一般情况下的一元二次方程根与系数的关系]在引入环节，北师大版、华师大版和苏科版三个版本教材的引入方式类似，均以具体的一元二次方程为载体，先求方程的两根，再计算该方程的两根之和、两根之积，从而得到一元二次方程根与系数的关系。这样的学习方式易于操作，学生在归纳的过程中易得到“韦达定理”。不同的是，华师大版教材选择的是二次项系数为1的一元二次方程，而北师大新版和苏科版教材选择的一元二次方程比较全面，既有二次项系数为1的，也有不为1的。人教版教材的引入具有较强的探索性，一开始教材指出“方程的系数a，b，c决定根的值，反映了根与系数之间的联系”，随后提出“一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗”这样的问题，激发学生探索的欲望，但是学生解决此问题时存在一定的困难，故而教材进行铺垫，给出二次项系数为1时的一元二次方程根与系数的研究方案，再推广到一般情况下进行探索。可见，除人教版教材外，其余版本教材该处的处理“不讲道理”，学生在学习时可能存在这样的疑虑：一元二次方程为何要研究两根之和、两根之积？因此，看似在探究，实则在告知。而人教版教材的“讲道理”也不够彻底，可以再加强。在证明环节，北师大版、华师大版和苏科版三个版本教材的证明方式基本一致，均采用求根公式验证，此方法易于操作。值得注意的是，人教版教材在验证二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系时，采用了二次三项式与一次式乘积形式互化后对比的方式，体现了“韦达定理”真正的获得过程，高度还原了“韦达定理”在发展过程中的证明思路。但是，当二次项系数为不为1时，却又回到了求根公式的证明方法上，可谓“说而未破”。三、教学内容设计分析与实践在“韦达定理”的教与学中，师生一般会有这样的疑问：其一，为何“韦达定理”只研究两根之和与两根之积，不研究两根之差和两根之商？其二，前人是如何发现“韦达定理”的？这两个疑问都是由于现行教材的设计而导致的。教师以教材的方式展开教学，先出示若干方程让学生求解，再计算两根之和、两根之积，继而“探索”根与系数之间的关系。对学生而言，这虽然并不困难，但并不明白其中的道理，仅是跟着指令操作而已。很多学生会问：“为何只计算两根之和与两根之积，不计算两根之商和两根之差？”此处应当引起教师思考：如何真正地探究概念，概念教学是否需要“讲道理”？以一元二次方程x2-3x+2=0为例，它的两根为x1=1，x2=2（当然也可以写成x1=2，x2=1）。如果研究两根之差、两根之商，那么由于两根的无序性，结果便无法确定。因此，就需要研究和与积。笔者认为，在“韦达定理”的概念教学中，教师应关注两点：一是需展示“韦达定理”真正的探索过程，即在“不经意”之间获得此结论，让学生感受获得的喜悦，而不仅仅是被单纯地告知；二是需通过“韦达定理”的学习，让学生体会它的价值以及初步感受“一元三次方程根与系数的关系”“代数基本定理”等，为日后的学习奠定基础。基于此，笔者在教学时，将引入、证明环节设计如下。【题目1】解方程：①（x-3）（x+7）=0；②x2-6x+8=0。追问1：第①题你是怎么求出方程的根的？追问2：第②题你是怎么求出方程的根的？追问3：通过这两个题目，你有什么发现？此处设置两道题目，让学生复习解一元二次方程的方法时，感悟到：若一元二次方程能够写出两个一次式乘积的形式，便可以快速写出该方程的根。【题目2】请写出一个一元二次方程，使它的两个根为x1=2，x2=3。追问1：你想到的满足条件的方程是什么？追问2：刚刚写的方程，还能写成其他的形式吗？追问3：满足条件的方程唯一吗？还有其他不同的方程吗？追问4：回顾这个问题，你有什么感悟？解答题目2时，学生会快速写出满足条件的方程（x-2）（x-3）=0。追问1让学生感受到：确定了一元二次方程的两根，那么满足条件的方程较为容易想到的是写成一次式乘积的形式。追问2让学生将乘积形式展开，体会到：在确定一元二次方程的根的情况下，乘积形式和展开形式可以相互转换。追问3让学生体会到：当方程两根确定时，方程不一定唯一，因为二次项系数不一定是1，在（x-2）（x-3）的前面添2或3等依然可以成立，当然，若将方程都转化为二次项系数为1时，便可达到唯一。追问4让学生总结经验，从而体会到：当一元二次方程的根确定的时候，可以写出相应满足条件的方程，一般写乘积式更为方便，继而可将其展开，即当一元二次方程的根确定时，乘积式是可以转换成展开式的。【题目3】通过上面两个问题，你有什么发现？分析：通过题目1、题目2一正一反地研究，学生能够逐步体会到，如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，那么，ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），这为后面“韦达定理”的研究提供了基础。【题目4】如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）一定成立。观察等式的左右两边，你有想研究的话题吗？追问：左边是用a，b，c形式加以表示的，右边是用x1，x2形式加以表示的，那么，x1，x2与a，b，c会存在某些关系吗？有了题目1、题目2和题目3的铺垫，学生可以自然想到：当x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根时，ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）一定成立，再观察式子的两边，很容易引发x1，x2与a，b，c存在着某种特殊关系的联想。通过式子a（x-x1）（x-x2）展开得ax2-a（x1+x2）x+ax1x2，继而得到ax2+bx+c=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2。在比较式子两边的过程中，发现结论：x1+x2=-[ba]，x1x2=[ca]。这样得到的结论水到渠成，毕竟前面没有任何讯息提示x1，x2与a，b，c有何关系，此设计是让学生真正发现“韦达定理”的过程，也为学生对此深刻的理解——联想到一元三次方程的根与系数的关系等提供可能。【题目5】你还能用其他方法推导出这个结论吗？与同伴进行交流。通过上述过程，“韦达定理”被学生发现，教师再让学生用其他方法证明，他们会使用求根公式证明，加深对其正确性的认识。设计以一元二次方程的“韦达定理”的“真探究”为基础，引导学生从一元二次方程的不同表达形式入手，在式子变形、对比、研究的过程中发现“韦达定理”，继而用先前得到的结论（求根公式）验证发现，环环相扣、自然生成，为一元三次方程“韦达定理”的获得提供了可能，真正地面向了学生未来的发展。上述设计主要体现了三点：一是“以问题为主线”，以5个问题作为主线贯穿全课，将知识隐藏于看似简单的问题之中，在学生的回答中得以凸显，使学生感受到知识学习的必要性及其内在联系。上述设计从“写出方程的解”“给方程的解写出对应的方程”的问题引入，让学生伴随着题目走进数学，逐步揭示重要的结论。5个问题巧妙地将内容以“链条”的方式展现，使学生感悟知识的发展性与连续性。二是“以思想为灵魂”，上述设计最主要的数学思想就是转化的思想，在设计中处处体现，从数（具体的方程）到式（抽象的字母），从乘积形式到和差形式，在不停地