艺体生高考数学冲刺-第31讲-圆的方程学生

第31讲圆的方程[玩前必备]1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2.圆的标准方程(1)以(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．(2)特殊的，以(0，0)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2．3.圆的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(D2＋E2－4F,4).(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．4.直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<05.圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况两圆公切线的条数相离d>r1＋r2无解4外切d＝r1＋r2一组实数解3相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解2内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解06．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(eq\f(l,2))2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]).注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[玩转典例]题型一求圆的方程例1若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±eq\r(3))2＝4[玩转跟踪]1．(1)圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．题型二判断直线与圆的位置关系例2直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随a的变化而变化[玩转跟踪]1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆D的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定题型三直线与圆相交弦长问题例3在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．[玩转跟踪]1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2B．－4C．－6D．－8题型四直线与圆相切问题例4过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________；[玩转跟踪]1.过坐标原点且与圆x2－4x＋y2＋2＝0相切的直线方程为______________．题型五圆与圆的位置关系问题例5圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为 ()．A．内切B．相交C．外切D．相离[玩转跟踪]1.过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是()A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0D．不存在[玩转练习]1.(2015·安徽，8)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或122.(2014·福建，6)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝03.(2016·新课标全国Ⅱ，6)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－eq\f(4,3)B.－eq\f(3,4)C.eq\r(3)D.24.(2016·北京，5)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A.1B.2C.eq\r(2)D.2eq\r(2)5.(2015·北京，2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝26.(2014·湖南，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A.21B.19 C.9 D.－117.(2014·浙江，5)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－88.(2014·安徽，6)过点P(－eq\r(3)，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))9.(2016·新课标全国Ⅲ，15)已知直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________.10.(2016·浙江，10)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.11..(2016·新