山东省济宁市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析

2023—2024学年度第二学期质量检测高一数学试题2024.07本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.2.已知向量，，，若，则（）A.2 B. C. D.3.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（）A.744 B.620 C.372 D.1624.如图是函数的部分图象，则（）A. B.C. D.5.在中，，记，，则（）A. B.C. D.6.对24小时内降落在平地上积水厚度（mm）进行如下定义：积水厚度（mm）0~1010~2525~5050~100等级小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨7.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（）A. B.C. D.8.设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则最小正周期为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A B.C D.10.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.如图，在棱长为1的正方体中，为下底面的中心，为的中点，则下列结论正确的是（）A.B.直线与所成角的余弦值为C.与平面所成角为D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______.13.某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______立方厘米.14.已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，且，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.（1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；（2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.16.设向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的取值范围.17.如图所示，为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为、的中点，连接并延长交圆O于点E.（1）证明：平面；（2）证明：平面.18.记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且.（1）证明：；（2）若，，且，求，；（3）若存在最小值，求实数的取值范围.19.已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.（1）求的长；（2）若为的中点，求二面角的余弦值；（3）若为上一点，且满足，求.

2023—2024学年度第二学期质量检测高一数学试题2024.07本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得出，利用复数的除法运算可求得复数.【详解】由得出.故选：D.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数除法运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知向量，，，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为，，，所以，又，所以，解得.故选：A3.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（）A.744 B.620 C.372 D.162【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.【详解】依题意可得，解得.故选：C4.如图是函数的部分图象，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】观察图象可得的最小正周期，由周期公式可计算，又过点，把代入解析式，结合，即可求解.【详解】由图知的最小正周期为，，，又过点，，即，，，.故选：.5.在中，，记，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，则.故选：D6.对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义：积水厚度（mm）0~1010~2525~5050~100等级小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】C【解析】【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案.【详解】由题意知降雨量是雨水体积除以容器口面积，因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，且下底面半径是50mm，上底面半径是150mm，可得圆台中雨水的上底面半径是mm，所以雨水的厚度为mm，是大雨.故选：C．7.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.设，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，运用正弦定理求得，再在直角三角形中，求解.【详解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故选：A8.设函数（、、都是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得.【详解】记函数的最小正周期为，则，可得．又，且，又，所以函数的一个对称中心为，函数的一条对称轴为，又，，解得．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据三角函数的变换规则，求出变化后的解析式，再由诱导公式判断即可.【详解】把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变得到，把向左平移个单位长度得到，即，又，，，故满足题意的有B、C.故选：BC10.体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：同学第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中个数）67564389乙（投中个数）84676575记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据平均数和方差的公式计算即可.【详解】根据题意，，，所以，，，所以.故选：BD11.如图，在棱长为1的正方体中，为下底面的中心，为的中点，则下列结论正确的是（）A.B.直线与所成角的余弦值为C.与平面所成角为D.三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】首先说明，根据线面垂直的判定定理及性质定理说明A；取的中点，连接、、、，则，所以直线与所成角为，再由锐角三角函数判断B；与平面所成角为，即可判断C，求出外接球的半径，即可判断D.【详解】对于A：为下底面的中心，为的中点，连，，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，，故A正确；对于B，取的中点，连接、、、，则且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，直线与所成角为，又，，，为的中点，，，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对于C：，又平面，与平面所成角为，又，，又，与平面所成角不为，故C错误；对于D：如图，由A可知，，，平面，所以平面，又是边长为的正三角形，设，则易知为靠近的的三等分点，其为正三角形的中心，，设三棱锥的外接球的球心为，则在上，设，球的半径为，则，，又易知，，，在与中，根据勾股定理和余弦定理可得：，解得，，三棱锥外接球的表面积为，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______.【答案】【解析】【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为，所以第百分位数.故答案为：13.某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______立方厘米.【答案】【解析】【分析】将几何体补全为正三棱柱，如图所示分别为的中点，正三棱柱高为，该几何模型的体积为：.【详解】将几何体补全为正三棱柱，如图所示，分别为的中点，底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，且，，均为正三角形，所以则该几何模型的体积为：.故答案为：.14.已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足，且，则______.【答案】【解析】【分析】如图，以为邻边做平行四边形，即，由，可得，所以三点共线，再化简，可得，设，则，利用余弦定理，可得，，所以，再由同角基本关系式和两角和的正弦公式可解.【详解】如图，以为邻边做平行四边形，即，由，可得，即，所以，则，又，所以，即三点共线，由，即，即，所以，设，则，利用余弦定理，，且，所以，则，则，所以，由等腰三角形可知都是锐角，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：以为邻边做平行四边形，即，由，可得，所以三点共线，再利用余弦定理求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示.（1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数；（2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数.【答案】（1）45（2）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据先求，再求等待时间不超过60秒的概率，即可得次数；（2）由频率分布直方图中平均数的公式求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以，解得，该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的概率为：，所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为：.【小问2详解】该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数约为：16.设向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根据题意，，所以，由三角函数恒等变形可解；（2）先求出，由正弦型函数在区间内的值域求解.【小问1详解】根据题意，，所以，即，化简为所以；【小问2详解】，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以的取值范围为.17.如图所示，为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为、的中点，连接并延长交圆O于点E.（1）证明：平面；（2）证明：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得，，而，所以，可证平面；（2）连接，可证平面，平面，从而平面平面，所以平面.【小问1详解】由题意，平面，平面，所以，由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知，因为D、分别为的中点，所以，则，又因为平面，，所以平面；【小问2详解】连接，因为D、F分别为、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，而平面，所以平面平面，又平面，所以平面.18.记锐角的内角，，的对边分别为，，.已知，且.（1）证明：；（2）若，，且，求，；（3）若存在最小值，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2），（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简得证；（2）结合二倍角公式与两角和的余弦公式，求出的值，再由，将其两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，可得关于和的方程，然后结合正弦定理，解方程组即可；（3）由为锐角三角形，推出，再根据，，的关系，化简可得，然后结合正弦函数的值域与二次函数的性质，求解即可．【小问1详解】因为，由正弦定理得，所以，所以，所以或，因为，所以，又，所以不可能成立，所以．【小问2详解】由，，则，因为，所以，因为，所以，，所以，因为，则，所以，将其两边平方得，所以①，由正弦定理知，，因为，所以，所以②，联立①②解得，．