2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第四章数列B卷含解析

第四章数列

B卷培优提能过关卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.已知等差数列｛2｝且3（4+%）+2（4+/+%）=24,则数列｛q｝的前13项之和为（）

A.26B.39C.104D.52

2.已知数列｛凡｝满足6=15,且3%=3a“-2.若＜0,则正整数2=（）

A.24B.23C.22D.21

3.“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各

相邻两律之间的振动数之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两

个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为/,

则频率为*/的音是（）

A.第3个音B.第4个音

C.第5个音D.第6个音

4.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载埴在《律学新说》中提出的十二平均律，即是

现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个，键的8个白键与5个黑键（如图）

的音频恰成一个公比为啦的等比数列的原理，也即高音。的频率正好是中音c的2倍.已知

#〃的频率为力，q的频率为6,则人：工=（）

A.B.2^C.D.0

5.已知正项数列｛q｝满足，S”是｛凡｝的前〃项和，且，14,则S.=（）

35

C.—n~+ZID.n2+3n

6.已知屋力=/1+£|-1是R上的奇函数，《=〃0）+《£|+…+/（尸）+“l）,〃eN・，

则数列｛2｝的一个通项公式为（）.

2

A.勺=〃+1B.an=3n+lC.%=3〃+3D.an=n-2n+3

已知数列｛4｝满足q=di+4川+1，J=T，则%+10%+13+…+18阳+19%=

7.

)

A.C.35D.-且

22

已知正项数列｛%｝满足4《0七），d-1=In（2a,4.J（

8.〃wN）则（）

A.对任盍的〃jN*,都有0<勺<1B.对任意的〃€=">都有。”之%+1>。

C.存在nwN*，使得凡+|<D.对任意的〃wM,都有《j+iN5r

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分

9.下列说法正确的是（）

A.若｛4｝为等差数列，S”为其前〃项和，则耳，S?「Sk，…仍为等差数列（人V）

B.若｛4｝为等比数列，S”为其前〃项和，则鼠，S2i.-5X,5*-524，一仍为等比数列（&£“）

C.若｛%｝为等差数列，4>0,J<0,则前〃项和S“有最大值

D.若数列｛q｝满足。用=。：-5q+9,4=4,则/工+三豆+1+/\<1

10.已知数列｛q｝的前八项和为S”，且q=乙2Sn-Sn_^2p（n>2,。为常数），则下

列结论正确的有（）

A.｛4｝一定是等比数列B.当「=1时，工=假

O

C.当时，％,q=q”+“D.同+同=同+同

11.已知正项数列｛4｝的前〃项和为工，若对于任意的机，nwN*，都有册+.=%+/,则

下列结论正确的是（）

A.4+42=4+%

B.的6<44。

C.若该数列的前三项依次为x,l-x,3x,则%=/

D.数列｛手｝为递减的等差数列

12.已知数列｛4｝：1,1,2,3,5,…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，

记工为数列｛4｝的前"项和，则下列结论正确的是（）

A.Ss=a$B.S7=33

C.4+4+4々2021=〃2022D.4+生+%+,,•+。2020=^202002021

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.设数列｛%｝的前〃项和为S“，与"-1•若力唱，贝爪.

14.在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我

们把这样的操作称为该数列的一次扩充.如数列1,9,扩充一次后得到1,5,9,扩充两

次后得到1,3,5,7,9,以此类推.设数列1,3,，（，为常数），扩充〃次后所得所有

项的和记为S“，则S”=.

15.在数列也｝中，0向+（—l）"q=2〃-1.则数列｛%｝的前20项之和为____.

16.已知正项数列｛/｝中，4=1,%=2,a=。3+。3（〃22）,一,数列也｝

的前n项和为Sn,则S33的值是________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知数列｛q｝满足4+2%+现+…+S=GL1）2”+I+2（〃WM）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设a=log24,求数列<1）一，的前n项和

18.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，点卜,手）在直线y=x+4上，数列｛4｝满足:

“+2一纥㈤+勿二°（〃£"'）且”=8,前11项和为154

（1）求数列｛凡｝,也｝的通项公式

3L

（2）令c“=2（4_2）（2"+5），数列卜“｝前”项和为了…求使不等式%＞会对一切"WN•都

成立的最大正整数k的值.

19.已知数列｛4｝各项都是正数，q=1,对任意〃£^都有42+其+-*=句±数列低｝

满足4=1,"“=%+〃.

n

(1)求证：｛4｝是等比数列,物,｝是等差数列；

(2)设c“=3a+4-(-l)"T/lq,对任意〃eN・，都有%恒成立，求实数4的取值范围.

20.在数列｛〃”｝中，已知4=2,an+ian=2an-an^(neN*).

(1)证明：数列为等比数列;

(2)是否存在正整数m、n、k,km<n<k,使得%、。”、4成等差数列？若存在，求出

m.n,k的值；若不存在，请说明理由.

21.已知数列｛q｝的前〃项和为S.，4=1,%=2,公比为2的等比数列低｝的前〃项和为

小并且满足％k>g2（7；+l）=2S”.

（I）求数列｛4｝,｛%｝的通项公式；

（II）已知c0二二---，规定%=0,若存在〃wN*使不等式+C2+G+…+。”<1一人成

工工+i〃

立，求实数2的取值范围.

22.已知数列｛4｝满足4+2生+地+…+〃《=（〃-1）2""+2.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

!!—

⑵求数列［晦勺/幅联）的前”页和5

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.已知等差数列｛4｝且3（。2+%）+2（%+%+44）=24,则数列｛4｝的前13项之和为（）

A.26B.39C.104D.52

【答案】A

【解析】

由等差数列的性质可得：/+。6=2《，4+40+44=3%,

所以由33+4）+2（4+40+%”24可得：3x204+2x3%=24,

解得：4+%=4,

所以数列｛4｝的前13项之和为

13（4+&）=13（4+4。）=*4=26,

13222

故选：A

2.已知数列｛4｝满足4=15,且3。*|=3勺-2.若4q+1<0,则正整数左=（）

A.24B.23C.22D.21

【答案】B

【解析】

解：由3%川=34-2,得q向-q=一；，所以数列｛q｝为首项q=15,公差d=-（的等差

2247

数列，所以q=15-5（〃-1）=-§〃+7.

24747

由得%>0，%1<。令4=-”+三=0得〃=？，所以“>0，”24<0，

所以4=23,

故选：B.

3.“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各

相邻两律之间的振动数之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两

个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为/,

则频率为当f的音是（）

A.第3个音B.第4个音

C.第5个音D.第6个音

【答案】C

【解析】

由题意知，这13个音的频率构成等比数列，

设这13个音的频率分别是6,勺，…，气，公比为夕（夕＞。），

则%=才=2,得耍啦，

4

.QN—8

所以%=%夕7=（蚯）/=2记/,

♦-84/01

令2元/=至/=2々/,解得〃=5.

故选:C.

4.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载培在《律学新说》中提出的十二平均律，即是

现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个q键的8个白键与5个黑键（如图）

的音频恰成一个公比为啦的等比数列的原理，也即高音G的频率正好是中音c的2倍.已知

的频率为fl»a\的频率为f2，则力"=（）

3c#d

[WD

dgatLa

doremifasollasido

A.2^B.2~HC.当D.V2

【答案】D

【解析】

由题意知从左到右的音频恰成一个公比为啦的等比数列,

由等比数列性质知人=工•(蚯丫3f\，所以人：/=应，

故选：D.

5.已知正项数列｛%｝满足，S“是｛q｝的前八项和，且第二4+义勺―14,则S.=()

.n215〃n/15〃

A.一十——B.—十——

4433

C.如2+"D.n2+2>n

22

【答案】A

【解析】

由题得s.=a；+gq一14,Sn_1=<,+1«„-1-14(w>2),

两式相减得an--_!*(n>2),

所以屋一*=0(〃22),

所以(勺一an_,)(an+%」)一g(%+*)=0(/i>2),

所以(q+%)[(可-%)-3=0(〃N2),

因为数列是正项数列，所以4+%」>(),

所以勺-=0(〃>2),

所以为一%T=g(〃22)，

所以数列｛%｝是一个以外为首项，以4为公差的等差数列.

令〃=1得q=a；+万q—14,解之得4=4,

所以S”=nx4+(w-l)x—X—=-——@i.

故选：A

6.已知g(x)=f(x+；)-l是R上的奇函数，4=f(0)+f(£)+…+f(F)+f⑴，〃wNZ

则数列｛4｝的一个通项公式为().

A.an=n+\B.an=3n+lC.an=3n+3D./-2〃+3

【答案】A

【解析】

由题己知8(工)=/卜；+：)-1是火上的奇函数,

故g(r)=_g(x)，

则g+x=lT,

得到/S+/(1T)=2,

,・・％・〃。)|⑴，

%⑴++•..+/(十)+/(0)，

倒序相加可得的=2(〃+1),

即4=5+1),

故选：A.

7.已知数列｛〃“｝满足a“=3N+%+l,则9%+1()40+1孙+…+1848+19%=

()

A.——B.gC.35D.一-—

222

【答案】A

【解析】

a—1

因为。”=4%+|+可+|+1，所以“川二；二工，

//—11I

因此--=-=--,同理/=-2,%=3,4=7，则

■q+il+i32

2

—167-1

(t7----11+—

«,+i-14+2+I11+1ra..11

a^=~~~77=«-Zj-=-丁=-&7=­7^?=%'因此外卜3=不，/卜2=一,，

4+3+1zn±Z_£+(可+21_£23

4+2+1/+14+1

包卜1二-2,。必=3,其中ZeN”,则

£=（缄-3）*+（软-2）味+（4"1）明+4/=幺软+1）,则

O

。］=工+阳故选

9%+10t7（0+1lt7||+…+188+19al§n+4—20a=-x（13+17+21）—60=——,：A

已知正项数列满足《则（）

8.｛q｝a；-l=ln（2«/A+1）（neM）,

A.对任意的〃eN"，都有。<4<1B.对任意的〃cM,都有。”之。"+1>（）

C.存在〃eN",使得4>+I<；4“D.对任意的〃wN‘，都有凡+|之力

【答案】D

【解析】

解：・,•可取4=，，

则由“；-1=呵4〃川）得*—l=ln?=ln%—l,

，In^=:1>0=%>1>4,故选项A,B错误；

4*/（x）=ln（x+l）-x（x>-l）,则/'（x）=7^7-1=言，

故/（X）在（T，。）上单调递增，在（0,+e）上单调递减，

A/（x）</（0）=0,即ln（x+l）«x,当且仅当x=0时等号成立，

J4一1=In（为同+J=皿2%+!-!）<—1,即a：W2aM川,

A—累乘可得驮•2…生=为>£,

2

4%%aiq2

・・・4+i之故，故选项C错误，选项D正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分

9.下列说法正确的是（）

A.若｛%｝为等差数列，S”为其前〃项和，则&，S”-S*,S*-S”，…仍为等差数列（keM）

若为等比数列，为其前〃项和，则），…仍为等比数列卜£叱）

B.｛q｝S”S2i-Sx,S.-S"，

C.若｛4｝为等差数列，q>0,d<0,则前〃项和s.有最大值

D.若数列｛q｝满足％“=片-5q+9,4=4，则/工+S^+L+三»<1

【答案】ACD

【解析】

对于A中，设数列｛%｝的公差为d,

因为S&=%+%+…+q，+。”，S3&-S2*=%E+%，2+L+%,…，

可得⑸*一1)一品=国7人)-6-SJ=L=k2d(keM),

所以S24-S4,S“-S”，…构成等差数列，故A正确；

对于B中,设数列应｝的公比为4(夕工0),

当q=T时，取2=2,此时52=4+4=0,此时不成等比数列，故B错误；

对于C中，当4>0,d<0时，等差数列为递减数列，

此时所有正数项的和为S”的最大值，故C正确；

对于D中，由q八=。：一5q+9,可得a.+]-3=a：-5a.+6=(a.-2)(a.-3),

所以。〃工2或％工3,

]_]二]_______1_______1_

f=

川。田一3(an-2)(an-3)a„-3an-2an-2an-3an^-3,

一，11,1111111

所以■+1+L+1=''-.+-------+Lf+■-1

、q―2。加―2q—3叼—3%—3%-3anA-3

=!!=1_!

4-3%-3a„„-3'

因为4=4,所以q+1=。；-5勺+9>4，可得。用>4,所以1-I.故【)正确.

故选：ACD

10.已知数列｛4｝的前"项和为S“，且q=p,2Sn-Sn_1=2p(«>2,〃为常数)，则下

列结论正确的有()

A.｛《,｝一定是等比数列B.当。=1时，sg

O

c.当时，q”q=4…D.同+同=国+|%|

【答案】BC

【解析】

由q=〃，2s“一S〃_[=2〃得，2(%+〃)一〃=2〃，故%=与，则幺一；，

2q4

当〃N3时，有2S“_i-S“_2=2p,则况-0,即2■=：,

an-l2

故当pH。时，数列｛q｝为首项为〃，公比为g的等比数列；当P=0时不是等比数列，故A

错误；

当p=l时，S&=I2J=竺,故B正确；

1-18

2

当时,4=(g),则/q=(g)故CIE确；

当时,|蜀+同=加|惇+—=骸〃|,而同+闻=加1惇+/卜荔加|,

故国+同>同+kl，则D错误；

故选：BC.

11.已知正项数列｛4｝的前几项和为S.,若对于任意的加，nwN*，都有，…=%+4,则

下列结论正确的是()

A.4+《2=%+。5

B.a5a6<Wio

C.若该数列的前三项依次为x,1-x,3x,则%=学

D.数列1｝｝为递减的等差数列

【答案】AC

【解析】

令相=1,则%+]-%="，因为4>。，所以｛4｝为等差数列且公差d>0,故A正确；

由《6-44o=(42+94d+2Oc1)-(42+9aQ)=2(k/2>o,所以故B错误；根据

等差数列的性质，可得2(l-x)=)+3x,所以工=,17=屋

itt^o=-+9x—=—,故C止确；

1333

由S.四+一『4d（因为多＞0,所以1是递塘的等差数列，故D错

V---------«---------~2n+[a'~2）2⑺

误.

故选：AC.

12.已知数列｛4｝：1,1,2,3,5,…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，

记工为数列｛4｝的前"项和，则下列结论正确的是（）

A.Ss=a$B.S7=33

C.4+4+4々2021=〃2022D.4+生+%+,,•+。2020=^202002021

【答案】BCD

【解析】

对A,%=21,56=20,故A不正确；

对B,$=$6+13=33,故B正确；

对C,由=。2'〃3=《—%，"5=4—“4，…，“2021=。2022—“2020，"J得

%+2+为+…+%02|=%022，故C正确：

对D,该数列总有%+2=勺+|+%，则一4）=%/一

d=%（〃4一%）=々3。4—44，…,或18=%>18（%39一417）=。18旬19一%17/18,

02019="2019°2020一“2019a2018，"短）=。2020〃2021一〃202002019，

故4+I?+々3々2020=^2020^2021»故D正确.

故选:BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.设数列｛4｝的前"项和为S“，工+%=1.若与=2，则机=_

【答案】6

【解析】

当〃=1时，5|+«,=251=1,解得：S,=1；

当〃之2时，S.+《,=2S“-SK=1,即5「1=耳⑸「1）,

二数列｛S.-l｝是以£-1=-3为首项，3为公比的等比数歹U，

经检验：〃=1时，S［满足S”=-互+1；

L

综上所述：50=-5+1（〃£”），.•.Sm=-g+l=£,解得：m=6.

故答案为：6.

14.在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我

们把这样的操作称为该数列的一次扩充.如数列1,9,扩充一次后得到1,5,9,扩充两

次后得到1.3.5.7.9.以此类推.设数列1.3.r（，为常数）,扩充〃次后所得所有

项的和记为S”，则S,=.

【答案】甘•（2"+1）—3

【解析】

扩充〃次后所得数列为L…2…,3,…，号，…,z,

因此从1到3是等差数列，项数为2”+1,且中间项为2;

从3到，也是等差数列，项数为2"+1，且中间项为半；

根据等差数列的性质可得S.=2（2"+l）+号■（2”+1）—3=§（2”+1）-3.

故答案为：手（2"+1）-3

15.在数列｛q｝中，a向+（-1）"q=2〃-1.则数列｛2｝的前20项之和为.

【答案】210

【解析】

因为+（—l）"a"=2〃-1,所以有：

a2-ai=2x1-1=1,

里+。2=2x2—1=3,

a4-a3=2x3-1=5,

a5+a4=2x4-1=7,

%5=2x5-1=9,

由此可得出：q+色=2,/+%=8,%+%=2,4+4=24,…,

所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2,

从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以8为首项，16为公差的等差数列，

所以数列｛4｝的前20项之和为：2x5+(5x8+^x5x4xl6)=210,

故答案为:210

16.已知正项数列｛〃〃｝中，％=1,%=2,之2),b“二——,数列也｝

的前n项和为S.,则S33的值是.

【答案】3

【解析】

解：因为岚=。3+。工5>2),

所以数列｛"｝是首项为1,公差为22-1=3的等差数列，

所以=1+3(〃-1)=3〃-2,所以aa=,3〃一2,

所以2=—;—=///;=+l-V3n-2),

an+an+lV3H-2+V3W4-13'，

所以数列出｝的前n项和

S'=：[("_1)+(近_4)+…+('3〃+1_,3"2)]=扪3〃+]_1)

则S33=g(10—l)=3.

故答案为：3.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.已知数列｛q｝满足4+2%+现+…+”=5-1)2向+2(〃6”).

(1)求数列｛4｝的通项公式;

<2)设2=log24“，求数列的前n项和

〔她+J

【答案】

（1）a“=2"（〃uN+）

（2）Tn=-^-

〃+1

【解析】

（1）由题意，当〃22时，可得q+2%+现+…+（〃--2）・2"+2,

两式相减求得2=2"(〃22),又由〃=1时，卬=2,符合上式，即可求解；

(2)由b“=log2a“二〃，得到了＞=｝一・[，结合裂项法求和，即可求解.

(1)

解：由题意，数列｛叫满足4+2/+3/+--+叫=(〃-1)2"+1+2(〃£”),

当〃N2时，可得4++%3F(W—l)a,t_|=(〃-2)♦2"+2,

两式相减,可得人=[(〃-1)24-2]-[(〃-2)2〃+2卜=2",所以4=2”(q2),

又由当几=1时，4=2,符合上式，

所以数列｛4｝的通项公式为为=2"(〃eN').

（2）

n

解：S^=log2an=log22=n,则以+]=〃+1，所以石＞二〃(二百

In

-----=------

n+ln+1

18.已知数列｛q｝的前八项和为S"，点在直线y=x+4上，数列低｝满足:

4+2一次+1+2=0（〃£%，）且〃=8,前11项和为154

(1)求数列｛。“｝,｛包｝的通项公式

3k

(2)令c“=2(〃—2)(2〃+5)'数列..｝前〃项和为丁.‘求使不等式以对一切〃eN•都

成立的最大正整数k的值.

【答案】（1）。”=2〃+3,7：GN,»bn=3n-4,〃eN'：（2）12.

【解析】

q

解：(1)由题意，得出=〃+4,即S.=/+4〃，

n

2

故当时，an=Sn-Sn_i=n+4/7-(/?-1)'-4(/z-l)=2??4-3,

•・・〃=1时，％=$=5,当〃=1时，/7+4=5,

：.an=2n+3rweN\

又“+2-2”“+包=。,

，低｝为等差数列，••・里空)=]54,

20-8

•・・也=8,.・.4=20,.・.d=^~^=3,

8—4

bn=2+3(〃-4)=3〃-4,

即々=3"4,〃eN*.

,=3=___________3___________

(2)*=2(._2)侬+5)=2肢+3卜2][2.(3”4)+5]

~2(2r+l)(6〃-3)-2(2〃+1)(2〃-1)-及2〃-1一2〃+1)

,,1-1,1111、1八11〃

.・n-4<-3+3-5+"+2W-1-2M+1-2〃+1卜4〃+2'

••T,-T=上上!...-=------!------>0

・向“4w+64/1+2(4〃+6)⑵2+1)，

・・・7；单调递增，

故亿

令;得"<124,工AM=12.

o/32

，使不等式<对一切〃wN都成立的最大正整数上的值为12.

19.已知数列｛4｝各项都是正数，%=1,对任意〃cN都有/+姆+…4=驾土数歹IJ低｝

满足4=1,么+]=&•+〃.

n

(1)求证：｛凡｝是等比数列，｛"｝是等差数列；

⑵设c“=3"+4・(-1)1加4,对任意〃WN',都有%>%恒成立，求实数义的取值范围.

31

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)证明：因为…屋二色限，所以〃之2时，/+W+…白3=与1,

22

两式相减得：区=4匚%,即。=4。又《>0(neN*),所以。川=2/，

3

又《二4——，a；=4,=2(因为a,>0),所以外=24,即-^=2,nwN*,q=l,

3an

所以他,是等比数列.

*=1,4=与+1=2,设/=〃,-〃，则由方用=%+〃得6向+〃+|=*+〃，所以

1nn

至，又6=4-1=0,所以~等一^=一=1%=0，

nn-\{n-l)(w-2)(/i-l)!

所以勿■〃，Ud为等差数歹U.

(2)由(1)a­

c,,=3n+4-(-\)n~lA-2n~'=3n+2-(-l)n-,2-2n,

n+,

——cn=3+2•(—1)”2•2.一3”一2•(-1)"-'义•2"=2x3”+3•(―1)"2・2"",

对任意〃eN,，都有>G恒成立,则2x3”+3Gl)U,2」>0恒成立,

o/t-l>>n-l।/o、川T

(一1产」<'，'r=’x士是递增数列，

2"2"2\2)

〃为奇数时，4<gx(T),义<；，

〃为偶数时，,-A<^-,A.>,

2{2)44

31

综上一1<A,<—.

20.在数列{q}中，已知4=2,a>l+ian=2atl-an+l(neN,).

(1)证明：数列-1］为等比数列；

(2)是否存在正整数m、n、k,且加<〃<攵，使得。加、/、4成等差数列？若存在，求出

m、n、k的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

2a1+111

（1）证明：由可+，“=2%-4,1，得n从而1=F-=五"+5，

nnn

又，T=-4wO,故数列P■一i>为等比数列;

421见，

2"

（2）由（1）可得，--1

%2n-\

假设存在正整数m、n、女（"<〃<口满足题意，则24=4+4,

2-2"2m2”

即nn----=-----1--7，

2"-1