高考数学一轮复习基础知识归纳汇编

高考数学一轮复习基础知识归纳汇编

第一部分集合

1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还

是因变量的取值？还是曲线上的点？…

2.教形转合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩

图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方

法解决

3.(1)元素与集合的关系：xeA<^xeCuA,xeCyA^x^A.

(2)德摩根公式：Q(AnB)=QAUCd，B;Cu(AU8)=CuAnCuB.

(3)AD8=AoAU8=80AaBoQBqC"=人口q八①

<=>CUA\JB=R

注意：讨论的时候不要遗忘了A=。的情况.

(4)集合｛4,生，…M”｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2”-1

个；

非空真子集有2〃-2个.

4.。是任何集合的子集，是任何车空集合的真子集.

第二部分函数与导数

1.映射：注意：①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2.函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元

法；

⑥利用均值不等式而《等《严手^⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距

离、

绝对值的意义等)；⑧利用函数有界性(。晨sinx、cosx等)；⑨平方法；⑩导数法

3.复合函数的有关问题：

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)

Wb解出

②若f[g(x)]的定义域为为,b],求f(x)的定义域，相当于x£[a,b]时，求g(x)的值

域.

(2)复合函数单调性的判定：

①首先将原函数旷=分解为基本函数：内函数〃=g(x)与外函数)，=/(〃)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5.函数的奇偶性：

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必晏条件

⑵/(%)是奇函数0/(-x)=-/W；是偶函数=/(—%)=/(x).

⑶奇函数/(幻在0处有定义，则f(0)=0

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6.函数的单调性：

⑴单调性的定义：

①/⑴在区间M上是增函数oVxpx2wM,当再<9时有“X)</(/)；

②f⑺在区间M上是减函数o%,石£当再<小时有f(%)>，(W)；

⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子/(%)-/*2)化为几个因式作积或作商的形

式，以利于判断符号；②导数法(见导数部分)；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7.函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x,若有/(x+r)=/(x)(其中7为非零常

数)，则称函数/(幻为周期函数，7为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函

数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函数的周期：=sinx:T=2n:；②丫=cosx:T=2笈；③

.27r

y=tanx.T=7r\®y=Asin(tur+^)»y=Acos(d«:+^):T-----；⑤

\(o\

y=tan:/=---

㈤

(3)与周期有关的结论：

f(x+a)=/(无一a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)=/(x)的周期为2a

8.基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑴指数函数：y=ax(a>O,a^l)；

⑵对数函数：y=log“x(a>0,a*1)：

⑶累函数：y=xa(aeR)；

⑷正弦函数：y=sinx；

⑸余弦函数：y=cosx；

(6)正切函数：y=tanx：

⑺一元二次函数：ax2+bx+c=O(aWO)；

⑻其它常用函数：

①正比例函数：>=妇必:。0)；②反比例函数：y=-(k^O)；③函数

x

y=x+—(tz>0)

x

㈡.⑴分数指数累：〃〃二▼"”；(以上。>O,〃z,〃wN.,且〃>1).

疝

(2).①=N=log“N=b；②log“(MN)=log“M+fog(/N；

n

③log”与=log“M-log“N；©logb=—logrtZ?.

N°m

(3).对数的换底公式：log,,N=蛆也.对数恒等式：小=N.

log/

9.二次函数：

2

⑴解析式：①一般式：/(x)=ar+Z?x+c;

2

②顶点式：f(x)=a(x-h)+kt(力，口为顶点；

③零点式：/(x)=a{x-x1)(x-x2)(aWO).

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数丁=of+打+。的图象的对称轴方程是一2_,顶点坐标是

2a

'b4ac-b2\

~2a9-4a-)

10.函数图象：

⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法

⑵图象变换：

①平移变换：i)y=f(x)^y=f(x±a),(a>0)----左"+”右“一”；

ii)y=f(x)-^y=f(x)±k\k>0)-----上“+”下“一”；

②对称变换：i)y=/(x)(。。)ii)y=f(x)y=—/(x)；

适)y=f(x)v=0>y=f(-x)；iv)y=f(x)y=x>x=/(y)；

③翻折变换：

i)y=/(x)fy=f(|x|)---------(去左翻右)y轴右不动，右向左翻(/(X)在y左侧图

象去掉)；

ii)y=/(x)^y=|/(x)|---------(留上翻下)X轴上不动，下向上翻(|7(x)1在冗下面

无图象)；

11.函数图象(曲线)对称性的证明：

(1)证明函数y=/(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的

对称点仍在图像上；

(2)证明函数>=/。)与〉=8(幻图象的对称性，即证明>=/5)图象上任意点关

于对称中心(对称轴)的对称点在y=g(x)的图象上，反之亦然。

注：①曲线G:f(x,y)=0关于原点(0,0)的对称曲线&方程为:f(―x,-y)=0;

曲线G:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线Cz方程为：f(-x,y)=0;

曲线Ci：f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为:f(x,—y)=0;

曲线G:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0

②f(a+x)=f(b—x)(xeR)=y=f(x)图像关于直线x二”2对称；

2

特别地：f(a+x)=f(a—x)(xGR)<=>y=f(x)图像关于直线x二a对称.

③丁二/(x)的图象关于点(〃,b)对称=f(a+x)+f(a-x)=2b.

特别地：y=/(x)的图象关于点(a,0)对称。/(a+x)=-/(a-x).

④函数y=/(x-a)与函数y=/(a-x)的图象关于直线％=〃对称；

函数y=/(a+x)与函数y=f(a—幻的图象关于直线x=O定称。

12.函数零点的求法：

⑴直接法(求f(x)=O的根)；(2)图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在［a,b］上满足f(a)・f(b)<0,则尸f(x)在(a,b)内至少有一

个零点。

13.导数：

⑴导数定义：网外在点选处的导数记作了1气=八%)二期/•%+-—/(/)

⑵常见函数的导数公式：①C'=0；②③(sinx)'=cosx；®

(cosx)=-sinx；⑤(o")=〃'ln〃；®(ev)=ex；⑦(log”x)二一--；⑧

xlna

1

(Inx)=一。

x

⑶导数的四则运算法则：(u±u)'=〃’土生(〃»'=五+川;(号'=""川;

VV

⑷(理科)复合函数的导数：皿=乂.《；

⑸导数的应用：

①利用导数求切线：注意：i)所给点是切点吗？五)所求的是“在”还是“过”该点

的切线？

②利用导数判断函数单调性：i)r(x)>On/(x)是增函数；ii)r(x)<0=>f(x)

为减函数；iii)((x)三Onf(x)为常数；

③利用导数求极值：i)求导数/'")；ii)求方程/'(%)=0的根；迨)列表得极

值。

④利用导数求最大值与最小值：i)求极值；ii)求区间端点值(如果有)；iii)比较

得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1.⑴角度制与弧度制的互化：不弧度=180°,1°=2弧度，1弧度=(竺右57°18'

1807t

⑵弧长公式：/=纸；扇形面积公式：s=-lR=-OR2^

22

2.三角函数定义:角。终边上任一点(非原点)P(x,y),设|OP|二r则：

x

si.na=—y,cosa=—,tana=—y

rrx

3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；(简记为“全stc”)

4.诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

5.(Dy=4sin(w+°)对称轴：令cox+(p=k冗+三,得%=.・・；对称中心：

(竺2,O)(keZ);

co

(2)y=Acos(ax+<p)对称轴：令cox,*(p=k兀，得工=”—―；对称中心：

(0

,n

kn+--(p

(----Z-,0)(2WZ)；

0)

⑶周期公式:①函数y=Asin(0T+0)及y=Acos(〃zx+e)的周期r=了1(A、(p

网

为常数，

且AWO).②函数y=Alan(@¥+。)的周期T=告(A、3、。为常数，且AWO).

Ml

6.同角三角函数的基本关系：sin2x+cos2x=1;s'"=tanx

cosx

7.三角函数的单调区间及对称性：

7T7T

(l)y=sinx的单调递增区间为2^--,2^+-AwZ,单调递减区间为

22

jr\jrjr

2k7r+-,2k;r+—keZ,对称轴为x=而+1■（丘Z）,对称中心为（左1,0）

（keZ）.

（2）y=cos元的单调递增区间为[2攵万一%,2攵句ZcZ,单调递减区间为

[2k7T,2k7i+"]A£Z,

对称轴为x=々4（攵EZ）,对称中心为（上乃+三,0（%eZ）.

（3）y=tanx的单调递增区间为。万一,&乃+事）ZEZ,对称中心（券,0）

(ZEZ).

8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

©sin(a±p)=sinacosp±cosasinp；cos(a±/3)=cosacos+sinasinp；

/,A、tana±tanZ7

tan(6z±/?)=--------------J.

1孑tanatanfi

②sin(a+/?)sin(a-/7)=sin2a-sin20；cos(a+P)cos(a-fl)=cos2a-sin2fl.

③asina+Z?cosa=Ja?+b?sin（a+＜）（其中，辅助角0所在象限由点（a,b）所在的象限

决定，tan—）.

9.二倍角公式：①sin"=2sinacosa.(sina±cosa)2=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2a=cos2。一sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a(升基公式).

21+cos2a.1-cosla

cosa=-----------.sin2a=------------（降哥公式）.

22

10.正、余弦定理：

⑴正弦定理：一生=_2_=_^=2H（2R是A4/C外接圆直径）

sinAsinBsinC

注：①〃：Z?:c=sinA:sin3:sinC：

②a=2RsinAb=2RsinB,c=2RsinC；③

a_b_c_a+b+c

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

.222

⑵余弦定理：a2=b2+c2-2/?ccosA^H^；cos4=—十/一.等三个。

2bc

11.几个公式：

⑴三角形面积公式：

①S=、a%=Lb%=Lcfi,(%、/马、也.分别表示a、b、c边上的高)；

222

②S=—absinC=—hcsinA=-casinB.

222

③SA…J丽I)?-(丽・砺尸

⑵内切圆半径r=2sMBC；外接圆直径2R=——=——=——

a+b+csinAsinBsinC

第四部分立体几何

1.三视图与直观图：⑴画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧

视图与俯视图宽相等。⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。

2.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=SM+2Sft；②侧面积：SiM=2m72；③体积：V=Sfth

⑵锥体：①表面积：S=S信+S底；②侧面积：S7wl；③体积：V二一S底h：

3

⑶台体：①表面积：S=S"S上底+S下底;②侧面积：S蝴二乃（，•+「）/；

③体积：V=1（S+7sF+S'）h；

3

4

⑷球体：①表面积：S=4成2；②体积：V=一成3.

3

3.位置关系的证明（主要方法）：

⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。

⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行=＞线面平行。

⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。

⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。

⑸平面与平面垂直：①定义一一两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。

注，以上理科还可用向量法V

4.求角：（步骤-----1.找或作角；n.求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法

⑵直线与平面所成的角：

①直接法（利用线面角定义）；②用向量法

5.结论：

⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底似，截面

面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成

比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）：相应小棱锥与

小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,则体对角线长为〃？+从+。2,

全面积为2ab+2bc+2ca,体积V=abc0

⑶正方体的棱长为a,则体对角线长为缶，全面积为6/,体积V=〃3°

⑷球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是

正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

⑷正四面体的性质：设棱长为则正四面体的：

①高：h=a；②对棱间距离：---a；③内切球半径：--,tz；④外接球半径:

3212

—a

4

第五部分直线与圆

1.斜率公式：左=正』，其中4（和乂）、2（匕,必）

x2-X,

直线的方向向量v=则直线的斜率为k=—（a=0）.

a

2.直线方程的五种形式：

（1）点斜式：y-y1=k（x-x1）（直线/过点[（%,必），且斜率为

（2）斜截式：y="+Z?（b为直线/在y轴上的截距）.

XX|

（3）两点式：———=（^（xpA（王，必）司工超，,。为）.

外一,

（4）截距式：2+』二1（其中。、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且。工0/工0）.

ab

（5）一般式：Ar+3），+C=O（其中A、B不同时为0）.

3.两条直线的位置关系：

?

（1）若4:y=匕％+4,/2:>=k2x+b2,Mil：

①I、〃I?ok、=k2,b、手b?；②4_L4=-1,

（2）若4:—x+B{y+C{=0,/2:4x+82V+C2=0,则：

①z,ni<=>=0且2G工o；②4

2A,B2-A2B1AXC2—A_L[OA]A2+BXB2=O.

4.求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

5.两个公式：

⑴点P（Xo.yo）到直线Ax+By+C=0的距离：”|%+3空。：

y/A2+B2

⑵两条平行线Ax+By+C.=0与Ax-By+C2=0的距离d=?V

J-2+-2

6.圆的方程:

⑴标准方程：①+（y-b）2=产；②/+,2=产。

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆<=>A=CWO且B=0且D2+E2—4AF>0

7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

8.点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①^/二氏一点在圆上；②d<Ro点在圆内；③点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①^二氏〜相切；②dvR=相交；③相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，RJ表示两圆半径，且/?>〃）

①d>R+〃。相离；②“二尺十厂。外切；③R—〃vdvR+广。相交；

@d=R-ro内切；⑤Ovd<R-ro内含。

9.直线与圆相交所得弦长|48|=2>/力一解

第六部分圆锥曲线

1.定义：⑴椭圆：|班|+|"尼|=2兄（2。>|月苞|）；

⑵双曲线：||MF,\-\MF2||=2a,（2。<|F]F2|）；

⑶抛物线：|MF|=d

2.结论：

⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为A（x，y）3（々,必），

222

则=7（^-%2）+（^-^2），或Mq=归_X2\yl\+k,或I=帆―%|J1+十.

注：①抛物线：|AB|=X|+X2+P；

2b2

②通径（最短弦）：i）椭圆、双曲线：—；ii）抛物线：2p.

a

⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：〃犹2+〃y2=l

（加，〃同时大于0时表示椭圆；〃仞<0时表示双曲线）；

当点尸与椭圆短轴顶点重合时ZF,PF2最大；

⑶双曲线中的结论：

①双曲线=1（a>O,b>O）的渐近线：£_£=（）；

a?b?b?

②共渐进线y=±&x的双曲线标准方程可设为为参数，4#0）；

cn2L2

③双曲线为等轴双曲线=渐近线互相垂直;

⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。

3.直线与圆锥曲线问题解法：

⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。

注意以下问题：①联立的关于“工”还是关于“y”的一元二次方程?

②直线斜率不存在时考虑了吗？

③判别式验证了吗？

⑵设而不求（点差法——代点作差法）：-------处理弦中点问题

步骤如下：①设点A（x「yj、B（X2,ya）；②作差得38=——.......;③解决问

题。

4.求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；

（2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移

法）；

（4）待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。

第七部分平面向量

1.平面上两点间的距离公式：或8=>/（%2一%1）2+（%一乂）2，其中A（X|,y）,B（X2,J2）.

2.向量的平行与垂直：设）=（%,%）,5=（々,%），且「工6,则：

①<=>^=Xa<=>x[y2-x2yK=0；

②（QH6）O〃・3=0=占工2+=o.

3.a•b=abIcos<a,b>=Xjx2+yiy2；

注：①|acos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|bcos<a,b>叫做b在a方向上的投影;

②a・b的几何意义：8・1）等于|8|与b在a方向上的投影|bcos〈a,b>的乘积。

ab

4.cos<a,b>=———；

\a\\b\

5.三点共线的充要条件：P,A,B三点共线o丽=x35+y砺且x+y=L

第八部分数列

1.定义：

⑴等差数列{〃"}<=>4+1-41=d（d为常数,fteN*）oa”-4_]=d（〃之2）

2

<=>2art=an+l+an_t（n>2,neN*）<=>an=kn+b<^>Sn=An+Bn

⑵等比数列=«n-i•all+i(nN2,n£N*)

2.等差、等比数列性质:

等差数列等比数列

通项公式%=4+(〃_l)d4=4小

Lg=1时，Sn=nax\

〃(6+凡)n(n-l)

!

前n项和5„=---------=na.+--------a时，§

〃2122q*winq।°w)

「q

♦_《tq

二j

性质nn

®an=a1+(n—m)d,®an=anq;

时

②m+n=p+q时a>+a产ap+为②m+n=p+qanan=aPa<)

③及，S?k-Sk、S3k—S2k)>1，•成AP③SKS#—SR,S3als2/…成GP

④4,4+〃,，4+2,“，…成明"=那④4，4+巾，4+2小，…成GP,q'=qm

3.常见数列通项的求法：

⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法型）；⑶公式法：卜】（n=l）

n

[Sn—Sn-i（n22）

⑷累乘法（4旦二%型）；⑸待定系数法=k%+b型）转化为

4.

（6）间接法（例如：ani-an=4a/“,n'———=4）；（7）（理科）数学归纳

an%

法。

4.前〃项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。

5.等差数列前n项和最值的求法：

a>0f„„..,（aW0、

⑴S“最大值4n〃八或S〃最小值《”n八；⑵利用二次函数的图象与性质。

1以〃+1工久口用？。）

第九部分不等式

1.均值不等式：（a,b>0）

.2,2

2+

注意：①一正二定三相等；②变形：ab<（―）（a9be/?）.

22

2.极值定理：已知都是正数，则有：

(1)如果积町，是定值p,那么当x=y时和x+y有最小值RI；

(2)如果和x+y是定值s,那么当x=y时积孙有最大值

3.解一元二次不等式公2+加+C＞0(或＜0)：若a＞0,则对于解集不是全集或空集时,对应

的解集为“大两边，小中间”.

如:当X]<x2,(X-X]Xx-)<0O再<x<x2；

(X-芭Xx-工2)>0O%>工2或^<X•

4.含有绝对值的不等式：当a>0时，有：0|A|<a<^>x2<a2<^>-a<x<a；

②国或xv—a.

5.分式不等式：

⑴舄＞00'0"3＞。；/(x)

(2)8荷<0<=>/(x)^(x)<0；

/(x)g(R)N°

(3)胆N0o(4)疝一1g(+。

g(x)工0

6.指数不等式与对数不等式

/«>0

(D当a>1时，〃“*)>agM<=>/(x)>g(x)；logJ(x)>log。g(x)o-g(x)>0

f(x)>gM

⑵当0vav1时，af{x}>a8(x)of(x)<g(x)；

7«>o

logfl/(x)>log“g(x)o-g(x)>0

f(X)<g[X)

7.不等式的性质：

(l)a>b<^>b<a；(2)a>b,b>c=>a>c；

(3)a>Z?oa+c>Z?+c；a>b.c>d=a+c>b+d；

(4)a>b,c>0=ac>bd；a>b,c<0=>ac<be；a>b>0,c>d>0

=ac>bd;

(5)a>b>0na">bn>0(〃eJV4)；

⑹a>Z?>0ny[a.>'4b(neN*)

第十部分复数

1.概念：

⑴/飞+匕i丘RJ>b=0(a,bR)<_>z=z<->z2A0;出2=&+加是虚数<_>bK

0(a,bGR)；

闭2=2+加是纯虚数。a=0且bH0(a,b£R)oz+[=0(z#0)<=>z2<0；

⑷a+bi=c+diOa=c且c=d(a,b,c,d£R)：

2.复数的代数形式及其运算：设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,deR),则：

(1)z)±Z2Z1.Z+b)±(c+d)i；(2)z1.Z2=(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+

(ad+bc)i；(3)五=望+皿i')=ac+bd+bc-ad.⑵#0);

2222

z2(c+di)(c-di)c+dc+d

3.几个重要的结论：

2

®(1±O=±2/;==

1-/\+i

③i性质：T=4；产=U4"+1=j,严+2=T,产+3=T.泮+j4Z+产2+严+3=0;

4.模的性质：（l）|zp|=|Z|||z,|：（2）|a|=学；（3）|z〃|=|z|"。

Z2IZ?I

5.实系数一元二次方程依2+bx+c=0的解：

①若△=加-4ac>0,则百2="±b—；②若△=/-4ac=0,则%%=一~—；

2a2a

③若△=从_4℃<0,它在实数集H内没有实数根;在复数集C内有且仅有两个共挽复数

根二上包三七一…）

2a

第十一部分概率

1.事件的关系：

⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作Aq3；

⑵事件A与事件B相等：若则事件A与B相等，记作A=B；

⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AD3（或

A+4）；

⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作Ac8（或

AB）；

⑸事件A与事件B互斥：若AcB为不可能事件（Ac3=。），则事件A与互斥;

⑹对立事件：AcB为不可能事件，AuB为必然事件，则A与B互为对立事件。

2.概率公式：

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P（B）；

A包含的基本事件的个数

⑵古典概型：P（A）=

基本事件的总数

概j二构成事件A的区域长度（面积或体积等）

、儿何慨里：，一试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）；

第十二部分统计与统计案例

1.抽样方法:

⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容

量

为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为本

②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。

⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规

贝IJ,从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。

注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；

④按预先制定的规则抽取样本。

⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情

况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

注：每个部分所抽取的样本个体数:该部分个体数X已

N

注：以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等

2.频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率

分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效

数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边

像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。

3.总体特征数的估计：

⑴样本平均数亍=1（2+々+-+£）=，1>/

⑵样本方差无产+（勺—»+…+（乙_幻x）2

§2=1[（X1_2]=_!_£«_；

⑶样本标准差S=l-[（x,-x）22（x-x）2]=2

+（x2-X）+■•+nJ-y-x）

3.相关系数（判定两个变量线性相关性）：

力（D（%-y）次（D（y「y）

一一z--/=i

\后（斗一无）吃（丫一方/（1>：一〃铲）（£必22）

Vr=l/=1V1=11=1

注：⑴厂>0时，变量正相关；，♦<0时，变量羽y负相关；

⑵当|川越接近于1,两个变量的线性相关性越强;

当|川越接近于。时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系C

4.回归直线方程

£（七一可（y一y）Z%%一〃/丁

产"灰，其中•"一£（3可2一g叶—而2

f-li-l

a=y-bx

第十三部分算法初步

1.程序框图：

⑴身形符号:

①一终端框（起止框）；②//输入、输出框;

@।--------_

处理框（执行框）；判断框；⑤一流程线；

⑵程序框图分类：

②条件结构：③循环结构：<

<□>_A求n除以i的余数

是_____

/n不是质数卜是质戮i=i+l

是

注：循环结构分为：I.当型（while型）一一先判断条件，再执行循环体；

II.直到型（until型）一一先执行一次循环体，再判断条件。

2.基本算法语包_______________________________________________

⑴输入语句INPUT”提示内容”；变量；输出语句:一而NT”提示内容”；表达式

赋值语句：变量;表达式

⑵条件语句：①②

IF条件THENIF条件THEN

语句体语句体1

ENDIFELSE

语句体2

ENDIF

⑶循环语句：①当型：②直到型：

WHILE条件DO

循环体循环体

WENDLOOPUNTIL条件

第十四部分常用逻辑用语与推理证明

1.充要条件的判断：

(1)定义法一一正、反方向推理

注意区分：“甲是乙的充分条件(甲=＞乙)”与“甲的充分条件是乙(乙=甲)”

(2)利用集合间的包含关系：例如：若则A是B的充分条件或B是A的必要

条件；若后B,则A是B的充要条件。

2.逻辑联结词:

⑴且(and)：命题形式pAq；PqPAqpvq「P

⑵或(or)：命题形式pvq：真真真真假

⑶非(not)：命题形式—1p.真假假真假

假真假真真

假假假假真

3.四种命题的相互关系

原命题互逆逆命题

若P则透r若q则P

互---------

互为互

否\否

逆

否______________

否命题~.逆否命题

若非P贝1|非q懿若非q则非P

4。四种

⑴原若p则q；⑵逆若q则p；

⑶否若「p则「q：⑷逆否若「q则-1P

注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。

5.全称量词与存在量词

⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用W表示；

全称命题p：VxeA/,p(x)；全称命题p的否定-ip：3xeA/，r?(x)。

⑵存在量词--------“存在一个”、“至