《琴生不等式的应用探析综述》4200字

琴生不等式的应用分析综述1.1代数应用1.1.1证明代数不等式【例1】利用琴生不等式证明柯西不等式(a1b1+a2b证：引进fx=x2,，则f根据琴生不等式(p当且仅当x1,,即p1+p于是不等式（11）成为:(a≤b即(a1b1+a当且仅当a1b1【例2】利用琴生不等式证明均值不等式x1+x2+…+x证：根据所证不等式的结构可构造函数f(x)=lnx(x>0),验证f'f''x=−1x得=lnx≥===即≥由于函数在（0，+∞）上递增，所以有≥成立，当且仅当x1【例3】[9]设0≤x,y≤1,证明：证：根据不等式的方向，我们需要构造一个上凸函数，所以构造函数，其中,，所构造的函数是上凸函数。令,，由琴生不等式得问题转化为只需证，即（12）去分母得：2(1+=≥0（12）式成立，从而成立，得证。通过以上例子，说明琴生不等式在证明不等式方面具有独特的作用。首先，它构建了一座不等式的桥梁，通过它连接不等式的两端；其次，利用琴生不等式简化了运算，使不等式的证明更加容易。在应用过程中，必须恰当的构造函数，以保证函数的凹凸性与不等式方向的一致性。构造函数时应注意定义域，准确判断其凹凸性。以上证明步骤可归纳为：构造法——判断凹凸性——用琴生不等式证明结论[11]。1.1.2求代数最值【例4】设正整数n≥3,p是一个正整数，已知正实数满足=1,当时，求的最小值。解：利用Ap+2xkp+xk （13）从上式，有(p+1)x将上式两端同时除以p+1,并且关于k从1到n求和，有由题目条件知=1=（=1）2所以=从上式，有当且仅当（13）式取等号时，上式取等号，这时有x从上式，有xkp+2=p+2换句话讲，当且仅当xk=p+2−时，有最小值为2(p+2)【例5】设a,b,c是正实数，满足a+b+c=abc,求1+a2+1+b2+解:由A3a+b+c≥33abc题中已知a+b+c=abc，带入化简得a+b+c≥3设f(x)=1+x2(x>0),f有,,1+a2+1+因为a+b+c≥331+a2+当且仅当a=b=c=3所以1+a2+1+b1.2几何应用在几何问题中常出现最值和不等式，内容丰富，方法和技巧灵活。有时很难用纯平面几何来求解。如果把握几何图形的特点，找出基本的不等式关系，利用函数的凹凸性，借助于琴生不等式，往往是解决问题的关键所在[13]。1.2.1证明几何不等式【例6】在∆ABC中，求证,其中r为∆ABC内切圆半径，R为∆ABC外接圆半径，a,b,c为∆ABC的三边长[14]。证：令p=12(a+b+c),则有∆ABC的面积,于是1现在证明题目中最后一个不等式，利用G2(p−a)(p−b)≤利用上式，有同理，有，将上述三个不等式相加，有1原不等式得证。【例7】如图1所示，在∆ABC中，点I是内心，求证：3AI+BI+CI≤a+b+c证：做ID垂直与AB，D为垂足（见图1）AADDIIBBCC图图SEQ图\*ARABIC1,其中,从上式，有AI=P−a类似的，有BI=所以，有AI+BI+CI=≤=将上式两端同时开方，再乘以3，得3AI+BI+CI≤【例8】O为锐角∆ABC的外心，∆ABC的三边分别为a,b,c，O到三边的距离分别为OD，OE，OF，证明：a+b+c>2(0D+OE+OF)[15]。证：如图2所示，α+β+γ=π，C+β+γ=π,所以同理有β=A,γ=B,CCγEDγEDβαBAβαBAOOFF图2由正弦定理和余弦定理的定义知，本题即证在∆ABC中sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC不妨设A≥B≥C,则sinA+sinB+sinC=sinA+2sin>sinA+2sin=sinA+1+=1+sinA+cosA>2由于cosx在为下凸函数，所以cosA+cosB+cosC≤3cos所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC原不等式得证。1.2.2求（证明）几何最值【例9】证明在周长为2p的三角形中，正三角形的面积最大[16]。证：设三角形的三边长分别为x,y,z,则其面积S=其中,同时取对数得令f(t)=ln(p−t),f''当且仅当p−x=p−y=p−z，即x=y=z此时， 有最大值所以,此时三角形为正三角形。A【例10】证明：圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小值。A2γ

2γBBC2βC2β2α图图3证：如图3，设圆的半径为r,该圆的任一外接∆ABC三切点处的半径两两相夹的圆心角分别为2α，2β，2γ，其中α+β+γ=π，0<α,β,γ<πS由于y=tanx在（0，π2tanα+tanβ+tanγ≥3tan当且仅当α=β=γ=π即当∆ABC为正三角形时，S∆ABC面积最小，最小面积为3【例11】设任意n多边形的内角分别为A1，A2，…，An,n∈N解：设fx=1xm,根据琴生不等式，有1=nm+1即所求最小值为n1.3三角应用【例12】在∆ABC中，求证：8cosA+cosB+cosC≤9+≤csc2证：令f(x)=cscx,则f(x)是（0，π3=（ 从上式，有csc≥9+cosA−B（利用余弦函数的绝对值小于1）下面证明前一个不等式cos=2cos=2cos=4利用上式，有9+=8+利用不等式(14),有8cosA+cosB+cosC=要证明前一个不等式成立，只需证明8sin不等式两端同时乘以正实数,即等价证明sinAsinBsinC≤而cos12A−B=1==完全类似的，有coscos将上述三个不等式相乘，可得sinAsinBsinC≤所以，原不等式成立。1.4信息论应用设f(x)是∪型凸函数，随机矢量x的数学期望ExE在信息论中，利用琴生不等式证明了离散源的最大离散熵定理、连续源的最大差分熵定理、平均互信息的凸性等几个重要定理。最大离散熵定理是一个非常重要的结论。它告诉我们，在离散信源中，当信源符号具有等概率分布时，信源的熵最大。差分熵在连续源中也有一个最大值。在这两种情况下，一种是源的输出值有限，另一种是源的输出平均功率有限，并利用琴生不等式证明了相应的最大差分熵定理[17]。下面我们来证明最大离散熵定理【例13】证明最大离散熵定理：H证：设概率矢量p=(p1,p2,…，pq)已知logY在正实数集上是∩型函数，所以根据琴生不等式，有E即又yi所以得H只有当pi1.5热力学应用Tykodi导出琴生不等式的例子，用的是物理方法，这种处理方法的先驱者是Landsberg,他在热力学的基础上给出了不等式的推导，在一个由不同初温的N个物体构成的系统进行热接触达到温度相等的过程中可以使Landsberg结果更普遍化[18]。Tykodi还可以从其他物理现象，如液体高度相等、浓度相等和球形微滴在一组相互关联的关系中聚集的过程，推导出琴生不等式。虽然这些研究没有建立通常的数学证据，但这种推导建立了数学和物理现象之间的简单关系。下面给出琴生不等式的一个简单的物理推导。考虑由N个组成完全相同但质量不相等、初温不同的物体构成的系统。设S=f(u)是单位质量的熵，u是单位质量的内能，对于这样一个拥有固定质量m的热力学系统，热容量CvC其中T是系统的热力学温度，从定义很容易证明∂因为T2和Cv都为正量，所以f''<0，因此系统的总内能和总熵分别为其