高考数学一轮总复习单元质检卷3导数及其应用新人教A版

单元质检卷三导数及其应用

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求.

L函数F（x）—的图象在点（1,F（D）处的切线方程为（）

A.2x+y诧-4=0B.2x-t-y-eM=0

C.2x-yg-4=0D.2x-y-eM=0

2.已知自由落体运动的速度v=gt,则自由落体运动从t=0s到r=2s所走过的路程为（）

A.gB.2gC.4gD.8g

3.已知f[x）的导函数f'（x）图象如图所示,那么f（x）的图象最有可•能是图中的（）

4.若函数f[x）在R上可导，且M也f'⑵x+m5怎R），则（）

A.AO）<A5）B.f（0）才⑸

C.f（0）>A5）D.以上答案都不对

5.“辰0”是“函数f（x）=ln『RX在（0,1]上单调递增”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.己知函数f（x）十，过原点作曲线y=M的切线1,则切线/与曲线片/V）及y轴围成的图形的面

积为（）

2e+12e-1

A.-

e-2e+1

c.—D.h

7.已知函数F(x)»3-31nx-\,则()

A.f(x)的极大值为0

B.曲线尸FJ)在(1,F(D)处的切线为y轴所在的直线

C.Xx)的最小值为0

D.F(x)在定义域内单调

8.已知定义在R上的函数F(x)的导函数为6(力，且满足r(x)-f(x)X),f(2021)三之⑼,则不等式

/@蹴)V口的解集为()

A.(e2021,B.(O,e2021)

C.(占02：+8)D.(0,e2O21c)

9.已知函数F'(x)是函数f(x)的导函数,对任意(0>2),f(x)cosx"(;)sin%X),则下列结论正

确的是()

A.@C)>同©

B/於火唱

c.@C)〈同©

D.周〉向0

10.已知定义在［a,6］上的函数片f(x)的导函数片6(力的图象如图所示，给出下列命题:

①函数尸/V)在区间［检知上单调递减；

②若x《m〈n<x“则(嘤)；

③函数y=f{x)在［a,3上有3个极值点；

④若X2<p<q<x^则"(p)-f(q)］•"'(0)-6(g)］<0.

其中真命题的序号是()

A.①③B.②④

C.②③D.①④

2

11.关于函数f(x)9+lnx,下列说法错误的是()

A.x2是f(x)的极小值点

B.函数y=f(x)p有且只有1个零点

C.存在正实数〃，使得F5)恒成立

D.对任意两个正实数Xi,照,且x\>x&若F(小)=/*(照)，则x\*照乂

12.设aWO,若x二a为函数八而=a[x~a)2(x-6)的极大值点,则()

A.a<bB.a>b

C.ab<aD.ab>a

二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.设函数f[x)二了,若f⑵v，则a=.

14.若今2,则实数加的值为.

15.已知函数f[x);ax-。电g(x)引-2,若对于任意汨,加任(0,1],都有/(A))2g(形)成立,则a的取

值范围为.

16.如图所示,某公园有一块空地，由一个直径为2(单位:km)的半圆。和一个以.MV为底边，顶角为

120°的等腰三角形楸P构成.现在要在空地内建一个梯形苗圃力版种植花草,为美观对称设计,梯

形力腼的两个顶点4夕在半圆上，另两个顶点C,〃分别在NP,MP上,AB//CD//MN,梯形ABC。的自为

1(单位:km),则梯形力切9面积的最大值是_________.

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(14分)设函数f(x)=ax户1,其中aX).

⑴讨论F(x)的单调性；

⑵若六H功的图象与*轴没有公共点,求a的取值范围.

Inx2a

18.(14分)已知函数f(x)午行g(x)亏if曲线y=F(x)与曲线y/(x)在尸1处的切线重合.

⑴求a的值；

⑵求证:fix)2g(力在(0,+2上恒成立.

19.(14分)已知函数f{x)=Q-2X.

(1)当x<0时，证明:f(x)>cosx\

(2)若函数g(x)=f(x)-cosx+ln(广1),试问：函数g(x)是否存在极小值?若存在,求出极小值;若不

存在，请说明理由.(其中常数e」.71828…,是自然对数的底数)

20.(14分)已知函数f(x)=aln2x*2^(l-lnA),a£R.

⑴讨论函数，(x)的单调性；

⑵若函数g(>)4f(x)-2才有且仅有3个零点,求a的取值范围.(其中常数eN71828…,是自然

对数的底数)

21.(14分)己知函数C[x)-a\nx,g(»-x与“'(x).

(1)讨论力(x)=g(x)~f(x)的单调性；

x2P(Xi+必)+m6

⑵若方(x)的极值点为3,设方程F(x)知心0的两个根为汨,x?,且三2e;求证：尸⑺』)>g.

答案：

单元质检卷三导数及其应用

i.c6(力-2，所以切线斜率为6(Dr,

又因为f(l)=e-2,

所以切线方程为y-(e-2)-2(才-1),即2x-八eYR.

2.B因为自由落体运动的速度

212

所以路程s=°g£dt多■/|o=2g,故选B.

3.A由给定的导函数图象知，当叱-2或彳为时，F'(X)<0,当-2〃<0时，F'(x)R,从而得F(x)有两

个极值点,极小值点为-2,极大值点为0,且F(x)在(-用-2),(0,+8)上单调递减，在(-2,0)内单调

递增，只有选项A符合要求.

4.CVr(x):丁砂/(2)x+m,：,/(公=2x+2f'(2),

.•・f'(2)?X2+2f'(2),・・・f'⑵:Y,:,其代耳弋x+m、图象为开口向上的抛物线,其对称轴方程为

X=\y

••・f(0)"⑸.

1

5.A由F(x)=lnx-/»x(%X)),可得F'(《)弓一m,若f(x)=lnx-mx在(0,1］上单调递增，则f'(x)NO在

(0,1］恒成立,即〃工：在(0,1］恒成立，则后1,因为(-8,0］臬(-8,口，则可得“辰0”是“函数

/U)=lnxRY在(0,1］上单调递增”的充分不必要条件.

6.C由f{x}有可得f'3h,设切点为(照,eXo),斜率为<U)二心,则切线方程为y-eXo=/。(『

加，

把(0,0)代入可得-eXo=eXo(一加,

故刖=1,可得切线方程为y=cx,

则直线/与曲线y=/V)及y轴围成的图形的面积为

0(eT-ejv)dx=Gr-2e/)Io=--

33

7.CA^)-^-31nz-l的定义域为(0,*3),尸(/)-3/-7=7(/-1),令厂(力q,解得x-\y

列表可知，

(0,1)1(1,*8)

f'(x)-0+

f(x)单调递极小值单调递增/

所以fkx)的极小值,也是最小值为Al)X),无极大值,在定义域内不单调，故C正确,A,D错误；

对于选项B,由AD4)及/71)4所以尸/U)在(1,F(D)处的切线方程y-O-O(x-1),即片0,为x

轴所在的直线，故B错误.

!

8.D令£qlnx,则x=^f

所以不等式《同等价转化为不等式4)6旨3,即当<1,

/co,r(o-r(o

构造函数g(t)千,则g'(t)=—~t—,

,、r(o-r(o

由题息，g(t)二一一X),

所以g⑺为R上的增函数.又因为A2021)天2切，

/(2021)/(t)1

所以g(2021)=-^2T=\,所以g(t)千。/(2021),解得£<2021,即*lnx<2021,所以004的。.

f(x)r*)cosx+f(x)sinx

9.C令g(x)五嬴,则g’(x)二,

对于v/(啕,都有g'(x)所以函数以⑼在他9内单调递增.

nnn

因为7，，,

所以

即妈<丝吗所以驾强媪

COS&COS］co与W4#

所以@(?<@0,£)<火唱,源<勿◎•故选c.

io.B①中，由图可知,在区间5,看上,ru)20,在区间［打疝I上，r(xwo,故函数尸/U)在区

间［及,X］］上先单调递增后单调递减,①错误；

②中，由图可知,在区间［加照］上,任意连接两点56(㈤)，5,f(〃))，中点设为M,〃坐标为

I2，2)，线段一定在y3'(x)图象上方,故中点也在片F'(x)图象上方,即

“VFF),故②正确；

③中，由图可知,在区间E③上,F520,在区间”,③上,f'(x)W0,在区间以"］上,f'G)20,

所以片F(x)有一个极大值点照和一个极小值点As,故③错误；

④中，由图可知,在区间［也如上,F'(x)20,且F'(力单调递减,故尸f(x)单调递增,故

f'(0)(0),f(p)<f(q)，故"(〃)-f®］•［f\p)］<0,即④正确.

综上,真命题的序号是②④.

21x-2

11.C对于A选项，f(x)定义域为(0,18),f，(>)=-7+7=?,当04<2时，尸3<0,当x>2

时，尸(>)刀,所以产2是N力的极小值点,A正确；

对于B选项,令力(>)=f(x)-x,则力'(*)=-^+2<0,h(x)在(0,*2上单调递减，。⑴=1,力(2)-ln2-

1<0,h(x)在(1,2)内有唯一零点,B正确；

f(x)2Inxxlru-x+4

对于C选项,令(1>(X)=~=丁+丁，0'(才)二-一,

令F(x)=x\x\x-x-f4(x?0),Ff(x)=lnx,当x£(0,1)时,Z7'(x)<0,当x£(1,+8)时，尸，(力>0,F(x)在

(0,D内单调递减,在(1,+8)上单调递增，则/(x)ein二厂(1)，加，0'(才)<0,。(X)在(0,+8)上单调递

减,且0(力图象恒在工轴上方,与X轴无限接近,不存在正实数左使得恒成立,C错误；

对于D选项，由A选项知,Ax)在(0,2)内单调递减,在(2,f8)上单调递增,因为正实数汨,打且

x\>x2,A^i)=f(xj，则0a<2<¥】，当0<x<2时,令g(x)=f(x)-F(4-x),g'(x)(0,即g［x)在(0,2)内单调

递减,于是有g(¥)%⑵=0,从而有O=/(照)》(4-必)，又因为4-必)2,所以MM-M,即小+X2乂成

立,D正确.

故选c.

12.D因为f(x)=a(x-a)2(x-b),所以/''(x)=2a(x-a)(x-Z?)+a(x-a)2=a(x-a)[(2x-2Z>)+{x-a)]=a[x~

(a+2b\

a)[3x-(a+26)]=3a(*-a)、x-~).

a+2b

由ff(x)=0,解得x=a或x-3,

a+2b

若a<0,则由x=a为函数F(x)的极大值点,可得三一3化简得b<a.

(a^2b\fa+2b\

此时在区间18,1一1和3,8)上,ru)<0,函数/U)单调递减;在区间(三一,〃内，尸(汗)次

函数F(X)单调递增.

此时石(a-6)<0,即才<ab.

a+2b

若aX),则由XF为函数的极大值点可得化简得a<b.

fa+2b\(a^2b\

此时在区间(-巴力和I--"”/上,尸3为，函数人力单调递增;在区间J—<0,

函数F5)单调递减.

此时a［a-t>)<0,即a<ab.

练上可得才Q6.故选【).

x-a1-x+a

13.2由F(x)晨「可得,F'(才)二一丁,

所以F'⑵=e2=昌解得ad

ft+2mx)dx=lnx-f-mx11=34n2.

14.1

即1112M勿PF3#ln2,解得/Z7-1.

15.[0,+8)由题意F(x)min2g(x)11ax.

•・・g(x)X*-2在(0,1]上单调递增，・・・奴力3尔1)2

+322对于任意A-e(0,1]恒成立,即对于任意A-e(0,1]恒成立.

又力(x)在区间(0,1］上单调递增，，力(x)皿%⑴4.•.a》。,故答案为［0,+8).

16.3rs如图,过点。作EF_LAB交，于点£交切于点F、则EF=\,

因为△腑尸为等腰三角形,所以点尸在直线EF上.

设OE=x,则OFA-x,

且0<¥<1,连接0B,则08=1,在△板中，BE邛二?,所以月庐2J1・02

在△朗伊中，因为NP=120°,MN=2所以OP冬

PFCF

因为△即's△必Q所以而=而

¥-(1-*)CF

即=了,所以酒1-&(1-人)口S+遂才,所以梯形ABCD面积为

T

S京AB+CO•吟/1-%2+^x+1-^/3(00<1),所以S'=G-Jrp,

因为0々<1,所以由S'A),解得0<Y<y,由S'S,解得

所以当尸乎时,梯形力面积最大,面积的最大值为Jl-(T)+平义号+1飞&R

17.解(1)Vf(x)=a2/*ax-31nx+l,才£：0,/°0),

."'(/)"x+a三=也产=3T2

2ax+3

..•血血，•・^―刘，

・••当x€(0,力时，F(x)<0;

当”。+8)时，/⑺刀，

・・・函数人力在O内单调递减,在Q+同上单调递增.

⑵♦・・y=f(x)的图象与X轴没有公共点，，函数f(x)在(0,f8)上没有零点,由⑴可得函数/V)在

(09内单调递减,在6+g)上单调递增，

.*./(a)=3-31na=3*31n^/O,/.Ina>-1,

:我即实数a的取值范围是G+4

Inx2a

18.(1)解因为f(x)fi，gCr)TTT-

所以f'(x)=*/：,g'(x)=(*+a+2

(x+i)2'

ii

由题意得f⑴"⑴，所以*”,解得册1.

Inx21Inx21xlru-x+1

(2)证明由(1)知，f(x)GZi，以"SZi-输F(»F(x)=m-m+x=QI)，

令力(x)=x\nx-x+\,xX),贝ij力'(x)=lnx,

当x£(1,+8)时，力，(x)为，力(x)单调递增,当(0,1)时，力'(>)<0,力(x)单调递减,故当x=\时，力(x)

取得最小值力⑴=0,所以才320,故f(x)-g(x)20,

所以f(x)2g(x).

19.(1)证明令尸(x)=f(x)~cos>,

则F(x)AB*-2A'POSA,

F!(x)气,-21tsinx=(e'T)f(sinxT).

当x<0时，e*<e°=l,且sinxTWO,

故F\x)<0,故函数"*)在(-8,0)上单调递减，

故尸(x)»(0)R,

所以f(x)POSX，0,即fix)>CQSX.

1

⑵解根据题意,g(x)k-2x~cosx#ln(xfl),定义域为(T,+8),屋(入)气*-2*in"ki，

1

令力(x)/'(X)毛》771%汨*-2,

1

则方'(*)=0"-(丁十1尸七OSX,

易知当xW(01)时,力'(才)方,故函数方J)在(0,9内单调递增，

则力(x)>力(0)O,即/(x)X),

所以函数g(x)在(0,'内单调递增.

当xe(-1,0)时，力'(才)单调递增,且A70)可人，

又因为力'(-；)=e.认os(-九<0,

故九°W(4°),使得方'(刘)刈

所以当xQ(®0)时，方'(才)》,函数方(X)在(照,0)内单调递增,

即g'(x)在(a0)内单调递增,

所以当(Ab»0)时,《'(x)3(0)=o,

故函数g(x)在(刖,0)内单调递减.

当(-1,xo)时，^-*-1,g'(x)f+8,

所以三汨£(T,加,

当(-1,汨)叱gf(A)?0,g(x)在(-1,小)上单调递增，

当XG(Xi,Ao)时,g'(X)<0,g(X)在(禹,照)上单调递减，

故g(/)在(T,0)上只有一个极大值点M.

r

当XW曰+8)时,e>eP27U,士电

1

即e'G71tsinx-2X),

所以g'(x)为,函数g(x)在日+向上单调递增.

综上可知，函数g(>)在(a0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

因此,当时，函数g(x)有极小值,极小值为g(0)

20.解⑴・・・f(x)=aln3+2x(l-lnx),其定义域为(0,+8),

21nx(a-x)

则F'(x)-；七刈，且尸⑴力，

①若W0,当0«<1时,F'(x)X),即函数f(处在(0,1)内单调递增,

当x>\时，fr(x)<0,函数f(x)在(1,+8)上单调递减；

②当0QC时，令r(x)解得产1,产a,

当a<xa时,f'COk,函数F(x)单调递增，

当或0<x<a时，/(x)<0,函数f(x)单调递减，

・"(*)在(a,1)内单调递增,在(0,a),(1,3上单调递减;

③当a=\时，F'(x)W0恒成立,即函数/(*)在(0,+8)上单调递减;

④当a>\时，当时，ra)A),函数f(x)单调递增，

当x>a或0<¥<1时,F'(x)<0,函数f(x)单调递减，

・"(入)在(1,向内单调递增，在(0,1),g+8)单调递减.

(2)g(x)=^f[x)-2a=0,

即方程F(x)多有且仅有3个不同的实根，

2a2

・・.y=f(x)与的图象有三个交点，

，由⑴知，必有0Q〈或虞L

①当OQ<1时,f(力在(a,1)内单调递胤在(0,a),(1/8)上单调递减;

・・・/(*)的极小值为1(a)=aln2a攵a(lTna),极大值为f(l)=2.

2a22a2

又f(a)=aln"a+2a(1-Ina)=a(lna*2-21na)^[(Ina-l)2*1]^>^,.\y=f(x^的图象至多有1

个交点，所以不合题意；

②当a>\时，/'(*)在(l,a)内单调递增，在(0,1),(4+8)上单调递减，

>,2a2

・,"(X)的极小值为&1)=2,极大值为f(a)=2a(ITna),・,・只有当2<丁0(储2a+2-21na)