高考数学热点问题练习-线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析

线性规划一一作图与求解

一、基础知识

（1）线性约束条件：关于变量乂y的一次不等式（或方程）组

（2）可行解：满足线性约束条件的解（x,y）

（3）可行域：所有可行解组成的集合

（4）目标函数：关于的函数解析式

（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解

2、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上

的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平

面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可

用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区

域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：

①竖直线x=〃或水平线y=可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

②一般直线初工0）：可代入（0,0）点进行判断，若符合不等式，则原

点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式

x-2y+3<0,代入（0,0）符合不等式，则x-2），+3V0所表示区域为直线

x-2），+3=0的右下方

③过原点的直线丁=入化=0）：无法代入（0,0）,可代入坐标轴上的特殊点予以

解决，或者利用象限进行判断。例如：y<x：直线y=x穿过一、三象限，二、

四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点x>0,yv0,所以必有yWx,所以第

四象限所在区域含在表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件Rx,y）>0（或

F（x,y）<0）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件

F（x,y）>0（或尸（x,y）4O）边界能取值时，在图像中边界用实线表示

3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

（2）确定目标函数z在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）

①线性表达式一一与纵截距相关：例如Z=G+切，则有丁=一@%+三，从而z的

bb

取值与动直线的纵截距相关，要注意人的符号，若b>0,贝”的最大值与纵截距

最大值相关；若bvO,则z的最大值与纵截距最小值相关。

②分式一一与斜率相关（分式）：例如z=T：可理解为z是可行域中的点

x-a

（x,y）与定点（a⑼连线的斜率。

③含平方和一一与距离相关：例如2=（/-°）2+（丁-32：可理解为z是可行域

中的点（x,y）与定点（a,b）距离的平方。

（3）根据z的意义寻找最优解，以及z的范围（或最值）

4、线性目标函数影响最优解选取的要素：当目标函数直线斜率与约束条件直线

斜率符号相同时，目标函数直线斜率与约束条件直线斜率的大小会影响最优解的

选取。

x>0

v>0

例如：若变量工,），满足约束条件，一:…，贝心-3x+4y的最大值等于—

3x+2y<12

x+2y<S

3

作出可行域如图所示，直线3x+2y=12的斜率｛=-；,直线x+2y=8的斜率

I目标函数的斜率％=-；4，所以％|<闷<%],所以在平移直线时，目

标函数直线的倾斜程度要介于两直线之间，从而可得

到在4（2,3）取得最优解。但在作图中如果没有考虑

斜率间的联系，平移的直线比x+2y=8还要平，则

会发现最优解在8（0,4）处取得，以及若平移的直线

比3x+2y=12还要陡，则会发现最优解在C（4,0）处取得，都会造成错误。所以

在处理目标函数与约束条件的关系时，要观察斜率的大小，并确定直线间“陡峭”

程度的不同。

（1）在斜率符号相同的情况下：网越大，则直线越“陡”

（2）在作图和平移直线的过程中，图像不必过于精确，但斜率符号相同的直线

之间，陡峭程度要与斜率绝对值大小关系一致，这样才能保证最优解选取的准确

（3）当目标函数的斜率与约束条件中的某条直线斜率相同时，有可能达到最值

的最优解有无数多个（位于可行域的边界上）

（4）当目标函数的斜率含参时，涉及到最优解选取的分类讨论，讨论通常以约

束条件中同符号的斜率作为分界点。

典型例题

x+2y>0

例1：若变量％），满足约束条件r-y40,则z=2x-y的最小值等于（）

x-2y+2>0

A.--B.-2C.

2

思路：按照约束条件作出可行域，可得图形为

一个封闭的三角形区域，目标函数化为：

y=2x-z,则z的最小值即为动直线纵截距的

最大值。目标函数的斜率大于约束条件的斜率，

所以动直线斜向上且更陡。通过平移可发现在

A点处，纵截距最大。且A1+2y=°解得

x-2y+2=0

A所以z=2x-y的最小值Zmin=2•(-

<2y22

答案：A

x+y-2>0

例2：设变量x,y满足约束条件卜-y-2V0,则目标函数z=x+2y的最小值为

”1

（）

A.2B.3C.4

思路：作出目标函数的可行域，得到一个开放的区域，

目标函数y+三，通过平移可得最优解为

22

4：2所以Zmm=3

y=1

答案：B

p<l

例3：若变量羽y满足xNy,则z=炉+）户的最大值为（）

[x+y+2>0

思路：所求s=告可视为点（x,y）与定点（-1,-1）连线的斜率。从而在可行域中

寻找斜率的取值范围即可，可得在（1,0）处的斜率最小，即3n=谷界=；,

结合图像可得s=2里的范围为

在（0,1）处的斜率最大，为々a_-2

-o-(-i)x+1

2

答案：D

x+y20

例5：若实数满足条件•x-y+lNO,则|x-3y|的最大

0<x<l

值为（）

A.6B.5C.4D.3

思路：设z=x-3y,则可先计算出z的范围，即可求出忖的

最大值：y=|x-1z,则最优解为4（1,-1）,8（1,2）,所以z7-5,4],则区皿=5

答案：B

例6：设O为坐标原点，点用的坐标为（2,1）,若点N«y）满足不等式组

x-4y+3<0

^2x+y-12<0,则使两•两取得最大值的点N的个数有（）

x>l

A.1B.2C.3D.无数个

思路：设z=丽•・丽=2x+y,作出可行域，通过平移可发现达到最大值时，目

标函数与直线2x+y-12=0重合，所以有无数多个点|\/

均能使OM-ON取得最大值

答案：D

x+y>0

例7：（2015,福建）变量满足约束条件<x-2y+2NO,若z=2x-y的最大

ntx-y<0

值为2,则实数m等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

思路：本题约束条件含参，考虑先处理常系数不等

式，作出图像，直线y=的为绕原点旋转的直线，

从图像可观察出可行域为一个封闭三角形，目标函

数y=2x-z,若z最大则动直线的纵截距最小，可

观察到A为最优解。A:[X~2y+2=（）^

y=mx

z=2--------2"、=2，解得：tn=1

2m-12m-1

答案：C

x<\

例8：在约束条件7-尹小之0下，若目标函数z=-2x+y的最大值不超过4,

x+y-i>0

则实数机的取值范围是（）

A.（一6,6）B.[O,V3]C.[-73,0]D.[一6,6]

思路；先做出常系数直线，动直线x->=0时注

意到病N0,斜率为常数1,且发现围成的区域恒为一

个三角形。目标函数y=2x+z,通过图像可得最优解

、34[x+y-l=o1+苏）由

为>nA-----,-----，所以

2

x-y+m=0I22）

Znrn=_2」；+则■|m2_gw4解得：相

答案：D

x-y>0

例9：若变量满足约束条件・x+)，W2,若z=or+y的最大值为4,则。=(

y>0

A.3B.2C.-2D.-3

思路：如图作出可行域，目标函数为y=-or+z,由于〃决定直线的方向，且约

束条件中的直线斜率有正有负。所以先考虑。的符号：、

当一〃>()=avO时，此时与y=x的斜率进行比较：、_____________

若-aNlnaK-1,贝”的最大值为0,不符题意；/I

若0<—avl=Tvav0,则最优解为代入解得-----11_1,—

。=3与初始范围矛盾，故舍去；当-"0=>々>0时，|।

直线与x+y=2斜率进行比较：

若—av—l=a>l,则最优解为8(2,0),代入解得a=2,符合题意

若。=1,