【初中数学】专项03-一元一次方程的应用（一）-重难点题型

一元一次方程的应用（一）-重难点题型【知识点1一元一次方程的应用】列一元一次方程解应用题的关键是找到符合题意的相等关系．常见的相等关系有以下几种：1．部分量之和＝总量．2．表示同一个量的两个不同的式子．3．找出题目中表示相等关系的关键词，如“相等”，“等于”，“比”，“是”，“占”等等，从而列出相等关系．【题型1和、差、倍、分问题】【例1】（新华区模拟）长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（）A．5x﹣6（x﹣836）＝1284 B．6x﹣5（x+836）＝1284 C．6（x+836）﹣5x＝1284 D．6（x﹣836）﹣5x＝1284【变式1-1】（铜梁区校级期末）小明今年6岁，他的爸爸今年34岁，x年后爸爸的年龄是小明的年龄的3倍，根据题意，列出方程为（）A．3（6+x）＝34 B．3（6+x）＝34+x C．3×6＝34+x D．6+x＝3（34+x）【变式1-2】（内乡县一模）（增删算法统宗）记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？“其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．问他每天各读多少个字？已知《孟子）一书共有34685个字，设他第二天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．12x+x+2x＝34685 D．x+12x【变式1-3】（昌图县期末）甲、乙两个旅行团同时去某地旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和是两团人数之差的16倍．（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？（2）若某景点成人票价为每张80元，儿童票价为每张40元，并且乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人数的2倍少2人，两旅行团在此景点所花门票费用相同．求甲、乙两团中儿童人数各是多少？【知识点2等积变形问题】“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：（1）形状变而体积不变；（2）原材料体积＝成品体积．【题型2等积变形问题】【例2】（孟津县期中）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差（抽水水管的体积忽略不计）．【变式2-1】（射阳县期末）如图是边长为60cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（）A．6000cm3 B．8000cm3 C．10000cm3 D．12000cm3【变式2-2】（定远县月考）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（）A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3【变式2-3】（历城区期末）有一块棱长为0.6m的正方体钢坯，想将它锻成横截面是0.008m2的长方体钢材，则锻成的钢材高为m．【知识点3数字问题】1．抓住问题中数的变化规律，列一元一次方程解决数的规律问题．2．数位上的数改变后形成新的十进制数，在表示新数时，要注意进率的变化．【题型3数字问题】【例3】（荣昌区校级开学）一个五位数，个位数为5，这个五位数加上6120后所得的新的五位数的万位、千位、百位、十位、个位的数恰巧分别为原来五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，则原来的五位数为（）A．48755 B．47585 C．37645 D．36475【变式3-1】（长兴县模拟）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】（沙坪坝区校级期末）一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是．【变式3-3】（柘城县期末）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数．【知识点4行程问题】1．行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动．2．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程＝两运动物体的路程和．3．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．4．顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同．【题型4相遇问题】【例4】（北碚区校级期末）甲乙两人分别从相隔56km的A、B两地同时出发，甲骑自行车的速度为每小时20千米，乙步行的速度为每小时8千米．（1）甲、乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，求经过几小时两人相遇？（2）甲、乙两人从A地出发，同向而行，当甲到达B地时立刻掉头返回A地，求经过几小时两人相遇？【变式4-1】（万州区校级月考）甲乙两车分别从A、B两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达A地后未作停留，继续保持原速向远离B地的方向行驶，而甲车在相遇后又行驶了2小时到达B地后休整了1小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，则A，C两地相距千米．【变式4-2】（普陀区期中）已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3：4，如果小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？【变式4-3】（姜堰区月考）已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为个单位长度；乙到达A点时共运动了秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【题型5追及问题】【例5】（新邵县期末）列方程解应用题：如图，现有AB、BC两段乡村公路，AB长为1200米，BC长为2000米，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C处行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？【变式5-1】（雨花区校级模拟）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150 C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×15【变式5-2】（延庆区期末）列方程解应用题：晚饭后，小明的爸爸像往常一样去散步．半小时后，妈妈发现爸爸没有带手机，就让小明骑自行车去给爸爸送手机．如果爸爸的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，小明用多少时间可以追上爸爸？（要求：先写出审题过程，再设未知数列方程）【变式5-3】（清涧县期末）一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华．（1）求小华和爸爸的跑步速度；（2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？【题型6流水问题与上下坡问题】【例6】（越秀区校级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时（1）甲船顺水的速度是千米/时；乙船逆水的速度是千米/时；（2）3小时后两船相距多远？（3）若a＝10，3小时后甲船能比乙船多航行70千米吗？请说明理由．【变式6-1】（随县期末）汽车上坡时每小时走28km，下坡时每小时走35km，去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还少14km，原路返回比去时多用了12分钟．求去时上、下坡路程各多少千米？【变式6-2】（万州区校级月考）渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流速度是每小时3里；一阵风把他帽子吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽子相距2.5里；于是他立即原地调头追赶帽子，原地调转船头用了10分钟．（1）求顺水速度，逆水速度是多少？（2）从帽子丢失到发觉经过了多少时间？（3）从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？【变式6-3】（海珠区期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千米/小时，甲、乙两人同时出发．（1）求甲从A到B地所需要的时间．（2）求两人出发后经过多少时间相遇？（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？

一元一次方程的应用（一）-重难点题型（解析版）【知识点1一元一次方程的应用】列一元一次方程解应用题的关键是找到符合题意的相等关系．常见的相等关系有以下几种：1．部分量之和＝总量．2．表示同一个量的两个不同的式子．3．找出题目中表示相等关系的关键词，如“相等”，“等于”，“比”，“是”，“占”等等，从而列出相等关系．【题型1和、差、倍、分问题】【例1】（新华区模拟）长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是（）A．5x﹣6（x﹣836）＝1284 B．6x﹣5（x+836）＝1284 C．6（x+836）﹣5x＝1284 D．6（x﹣836）﹣5x＝1284【解题思路】根据长江比黄河长836km，设长江长度为xkm，即可得到黄河的长度为（x﹣834）km，再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答过程】解：由题意可得，6（x﹣836）﹣5x＝1284，故选：D．【变式1-1】（铜梁区校级期末）小明今年6岁，他的爸爸今年34岁，x年后爸爸的年龄是小明的年龄的3倍，根据题意，列出方程为（）A．3（6+x）＝34 B．3（6+x）＝34+x C．3×6＝34+x D．6+x＝3（34+x）【解题思路】根据x年后爸爸的年龄是小明的年龄的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答过程】解：依题意得：34+x＝3（6+x）．故选：B．【变式1-2】（内乡县一模）（增删算法统宗）记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？“其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍．问他每天各读多少个字？已知《孟子）一书共有34685个字，设他第二天读x个字，则下面所列方程正确的是（）A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685 C．12x+x+2x＝34685 D．x+12x【解题思路】设他第二天读x个字，根据题意可得第一天读了12x个字，第三天读了2x【解答过程】解：他第二天读x个字，根据题意可得：12x+x+2x故选：C．【变式1-3】（昌图县期末）甲、乙两个旅行团同时去某地旅游，已知乙团人数比甲团人数多4人，两团人数之和是两团人数之差的16倍．（1）问甲、乙两个旅行团的人数各是多少？（2）若某景点成人票价为每张80元，儿童票价为每张40元，并且乙团中儿童人数恰好比甲团中儿童人数的2倍少2人，两旅行团在此景点所花门票费用相同．求甲、乙两团中儿童人数各是多少？【解题思路】（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人为（x+4）人，由于两团人数之和是两团人数之差的16倍，即：两数之和为：4×16＝64，以两数之和为等量关系列出方程求解；（2）设甲团儿童人数为y人，则可知乙团儿童人数为（2y﹣2）人，根据等量关系：甲乙所花门票相等可以列出方程，求解即可．【解答过程】解：（1）设甲旅行团的人数为x人，那么乙旅行团的人数为（x+4）人．根据题意，得x+x+4＝4×16，解这个方程，得x＝30，x+4＝34．答：甲、乙两个旅行团的人数分别是30人，34人；（2）设甲团儿童人数为y人，则可知乙团儿童人数为（2y﹣2）人，所以甲团成人有（30﹣y）人，乙团成人有[34﹣（2y﹣2）]人．根据题意，得40y+80（30﹣y）＝40（2y﹣2）+80[34﹣（2y﹣2）]，解这个方程，得y＝10，则2y﹣2＝2×10﹣2＝18．答：甲、乙两团儿童人数分别是10人和18人．【知识点2等积变形问题】“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：（1）形状变而体积不变；（2）原材料体积＝成品体积．【题型2等积变形问题】【例2】（孟津县期中）如图，A、B两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱A中没有水，水箱B盛满水，现以6dm3/min的流量从水箱B中抽水注入水箱A中，当水箱A与水箱B中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差（抽水水管的体积忽略不计）2dm．【解题思路】设水箱A中的水位高度为xdm，由水箱A与水箱B中的水的体积相等，列出方程可求解．【解答过程】解：设水箱A中的水位高度为xdm，由题意可得：2×3×x=1∴x＝5，∴两水箱中水位的高度差＝5﹣3＝2（dm），故答案为：2dm．【变式2-1】（射阳县期末）如图是边长为60cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是（）A．6000cm3 B．8000cm3 C．10000cm3 D．12000cm3【解题思路】将长方体的高设为xcm，则宽可表示为2xcm，由长方体展开图为正方形，可得出边的关系列方程求得x，进一步求出长方体的长宽，即可求得体积．【解答过程】解：设长方体的高为xcm，则宽为2xcm，根据题意得：x+2x+x+2x＝60，解得x＝10，所以，长方体盒子的宽为20cm，长为60﹣20＝40cm．体积：40×10×20＝8000（cm3）．故选：B．【变式2-2】（定远县月考）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80cm2、100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，则甲的容积是（）A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3【解题思路】设甲的容积为x，得出甲的高度为x80cm，乙的高度为x100cm，根据甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8【解答过程】解：设甲的容积为x，根据题意得：x80解得：x＝3200，答：甲的容积为3200cm3．故选：C．【变式2-3】（历城区期末）有一块棱长为0.6m的正方体钢坯，想将它锻成横截面是0.008m2的长方体钢材，则锻成的钢材高为27m．【解题思路】有一块棱长为0.6m的正方体钢坯，想将它锻成横截面是0.008m2的长方体钢材，则锻成的钢材高为【解答过程】解：设锻成的长方体钢材高为xm，根据题意，得：0.008x＝0.63，解得x＝27，即锻成的长方体钢材高为27m，故答案为：27．【知识点3数字问题】1．抓住问题中数的变化规律，列一元一次方程解决数的规律问题．2．数位上的数改变后形成新的十进制数，在表示新数时，要注意进率的变化．【题型3数字问题】【例3】（荣昌区校级开学）一个五位数，个位数为5，这个五位数加上6120后所得的新的五位数的万位、千位、百位、十位、个位的数恰巧分别为原来五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，则原来的五位数为（）A．48755 B．47585 C．37645 D．36475【解题思路】设这个数的万位、千位、百位、十位分别为a、b、c、d．都小于等于9．那么这个数可写为abcd5，根据题意列出方程并解答．【解答过程】解：设这个数的万位、千位、百位、十位分别为a、b、c、d．都小于等于9．那么这个数可写为10000a+1000b+100c+10d+5+6120＝50000+1000a+100b+10c+d．∴1000a+100b+10c+d＝4875，∴a＝4，b＝8，c＝7，d＝5，∴这个数为4875．故选：A．【变式3-1】（长兴县模拟）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397．如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】根据题意可得方程10（a﹣2）+（﹣a+8）＝3a，解方程即可求解．【解答过程】解：由题意可得，如图，则有10（a﹣2）+（﹣a+8）＝3a，解得：a＝2．故选：A．【变式3-2】（沙坪坝区校级期末）一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是26．【解题思路】设十位数字为x，个位数字为x+4，根据数字问题的数量关系建立方程组求出其解即可．【解答过程】解：设十位数为x，个位数字为x+4，根据题意得：10x+x+4＝3（x+x+4）+2，解得：x＝2，则这个两位数是26；故答案为：26．【变式3-3】（柘城县期末）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数．【解题思路】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7﹣x，根据题意列出方程，求出这个两位数．【解答过程】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7﹣x，由题意列方程得，10x+7﹣x+45＝10（7﹣x）+x，解得x＝1，∴7﹣x＝7﹣1＝6，∴这个两位数为16．【知识点4行程问题】1．行程问题有相遇问题，追及问题，顺流（风）、逆流（风）问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动．2．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程＝两运动物体的路程和．3．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．4．顺流（风）、逆流（风）和上坡、下坡问题应注意运动方向和速度不同．【题型4相遇问题】【例4】（北碚区校级期末）甲乙两人分别从相隔56km的A、B两地同时出发，甲骑自行车的速度为每小时20千米，乙步行的速度为每小时8千米．（1）甲、乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，求经过几小时两人相遇？（2）甲、乙两人从A地出发，同向而行，当甲到达B地时立刻掉头返回A地，求经过几小时两人相遇？【解题思路】（1）两人同时相向而行时，相遇总路程等于两人的路程和，即可求解；（2）设经过y小时两人相遇，两人的路程和等于总路程的二倍，即可求解．【解答过程】解：（1）；设经过x小时两人相遇，由题意得20x+8x＝56，解得x＝2，答：经过2小时两人相遇（2）设经过y小时两人相遇，由题意得20y+8y＝56×2，解得y＝4，答：经过4小时两人相遇．【变式4-1】（万州区校级月考）甲乙两车分别从A、B两地同时相向匀速行驶，甲车每小时比乙车快20千米，行驶3小时两车相遇，乙车到达A地后未作停留，继续保持原速向远离B地的方向行驶，而甲车在相遇后又行驶了2小时到达B地后休整了1小时，然后调头并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两车同时到达C地，则A，C两地相距420千米．【解题思路】设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x+20）千米，由题意得3x＝2（x+20），解得x＝40，则x+20＝60，求出A，B两地的距离为300千米，设两车相遇后经过y小时到达C地，由题意得60（y﹣3）＝40（y+3），解得y＝15，求出B，C两地的距离为720千米，即可得出答案．【解答过程】解：设乙车每小时行驶x千米，则甲车每小时行驶（x+20）千米，由题意得：3x＝2（x+20），解得：x＝40，则x+20＝60，即乙车每小时行驶40千米，则甲车每小时行驶60千米，∴A，B两地的距离为：3×60+3×40＝300（千米），设两车相遇后经过y小时到达C地，由题意得：60（y﹣3）＝40（y+3），解得：y＝15，∴B，C两地的距离为：60（15﹣3）＝720（千米），∴A，C两地的距离为：720﹣300＝420（千米），故答案为420．【变式4-2】（普陀区期中）已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3：4，如果小丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？【解题思路】设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒，利用路程＝速度×时间，结合经过28秒后两人首次相遇，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入3x和4x中即可求出结论．【解答过程】解：设小丽的速度为3x米/秒，则小杰的速度为4x米/秒，依题意得：（3x+4x）×28+8＝400，解得：x＝2，∴3x＝6（米/秒），4x＝8（米/秒）．答：小丽的速度为6米/秒，小杰的速度为8米/秒．【变式4-3】（姜堰区月考）已知数轴上有A，B两点，分别代表﹣40，20，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同时出发，甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．（1）A，B两点间的距离为60个单位长度；乙到达A点时共运动了15秒．（2）甲，乙在数轴上的哪个点相遇？（3）多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？（4）若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变，则甲到达B点前，甲，乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点所对应的数；若不能，请说明理由．【解题思路】（1）根据A，B两点之间的距离AB＝|﹣40﹣20|，根据题意即可求解；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论；（4）设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇，根据题意得方程解方程即可．【解答过程】解：（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒；故答案为：60，15；（2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得x+4x＝60，解得x＝12，﹣40+x＝﹣28．答：甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）两种情况，相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y＝60﹣10，解得y＝10；相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得，y+4y﹣60＝10，解得：y＝14，答：10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）乙到达A点需要15秒，甲位于﹣40+15＝﹣25，乙追上甲需要25÷（1+4）＝5秒，此时相遇点的数是﹣25+5＝﹣20，故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣2【题型5追及问题】【例5】（新邵县期末）列方程解应用题：如图，现有AB、BC两段乡村公路，AB长为1200米，BC长为2000米，一个人骑摩托车从A处以20m/s的速度匀速沿公路AB、BC向C处行驶；另一人骑自行车从B处以5m/s的速度从B向C处行驶，并且两人同时出发．（1）求经过多少秒摩托车追上自行车？（2）求两人均在行驶途中时，经过多少秒两人在行进路线上相距150米？【解题思路】（1）设经过x秒摩托车追上自行车，根据“摩托行驶路程＝1200+骑自行车行驶路程”列出方程并解答；（2）需要分两种情况解答：①摩托车还差150米追上自行车；②摩托车超过自行车150米，根据他们行驶路程间的数量关系列出方程并解答．【解答过程】解：（1）设经过x秒摩托车追上自行车，根据题意得，20x＝5x+1200，解得x＝80．答：经过80秒摩托车追上自行车；（2）（1200+2000）÷20＝160（秒）．设经过y秒两人相距150米，第一种情况：摩托车还差150米追上自行车时，根据题意得，20y﹣1200＝5y﹣150，解得y＝70，符合题意．第二种情况：摩托车超过自行车150米时，根据题意得，20y＝150+5y+1200，解得y＝90，符合题意．答：经过70秒或90秒两人在行进路线上相距150米．【变式5-1】（雨花区校级模拟）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150 C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240x+150x＝12×15【解题思路】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．【解答过程】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：240x＝150x+12×150，故选：A．【变式5-2】（延庆区期末）列方程解应用题：晚饭后，小明的爸爸像往常一样去散步．半小时后，妈妈发现爸爸没有带手机，就让小明骑自行车去给爸爸送手机．如果爸爸的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，小明用多少时间可以追上爸爸？（要求：先写出审题过程，再设未知数列方程）【解题思路】设小明用x小时可以追上爸爸，根据路程＝速度×时间结合小明追上爸爸时两人的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可．【解答过程】解：设小明用x小时可以追上爸爸，依题意得：4×0.5+4x＝12x．解得：x＝0.25．答：小明用0.25小时可以追上爸爸．【变式5-3】（清涧县期末）一天早晨，小华和爸爸在1000米的环形跑道上跑步，他们8点整时在同一地点沿着同一方向同时出发，小华跑了半圈时，看到爸爸刚好跑完一圈，8点零8分时爸爸第一次追上小华．（1）求小华和爸爸的跑步速度；（2）爸爸第一次追上小华后，在第二次相遇前，再经过多少分，小华和爸爸相距150米？【解题思路】（1）设小华的跑步速度为x米/分，则爸爸的跑步速度为2x米/分，根据8点零8分时爸爸第一次追上小华列方程，解方程结可求解；（2）设再经过y分，小华和爸爸相距150米，根据小华和爸爸相距150米分两种情况列方程，解方程即可求解．【解答过程】解：（1）设小华的跑步速度为x米/分，则爸爸的跑步速度为2x米/分，由题意得（2x﹣x）×8＝1000，解得x＝125，∴2x＝125×2＝250（米/分），答：小华的跑步速度为125米/分，爸爸的跑步速度为250米/分；（2）设再经过y分，小华和爸爸相距150米，由题意得250y﹣125y＝150，或250y﹣125y＝1000﹣150，解得y=65或答：再经过65或34【题型6流水问题与上下坡问题】【例6】（越秀区校级期中）两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是30千米/时，水流速度是a千米/时（1）甲船顺水的速度是（30+a）千米/时；乙船逆水的速度是（30﹣a）千米/时；（2）3小时后两船相距多远？（3）若a＝10，3小时后甲船能比乙船多航行70千米吗？请说明理由．【解题思路】（1）甲船顺水的速度＝水速+船速，乙船逆水的速度＝船速﹣水速；（2）反向出发，两船相距路程为：甲路程+乙路程＝顺水速度×3+逆水速度×3＝（30+a）×3+（30﹣a）×3；（3）顺水航行的速度＝静水速度+水流速度，逆水航行速度＝静水速度﹣水流速度，路程＝速度×时间，根据此等量关系可列式求解．【解答过程】解：（1）甲船顺水的速度是（30+a）千米/时；乙船逆水的速度是（30﹣a）千米/时；故答案是：（30+a）；（30﹣a）；（2）依题意得：（30+a）×3+（30﹣a）×3＝180（千米）；答：3小时后两船相距180千米；（3）依题意得：（30+10）×3﹣（30﹣10）×3＝60（千米）；因为60＜70，所以若a＝10，3小时后甲船不能比乙船多航行70千米．【变式6-1】（随县期末）汽车上坡时每小时走28km，下坡时每小时走35km，去时，下坡路的路程比上坡路的路程的2倍还少14km，原路返回比去时多用了12分钟．求去时上、下坡路程各多少千米？【解题思路】由已知设去时上坡路为x千米，则下坡路为（2x﹣14）千米，