2024-2025学年浙江省杭州七中高二（上）期末数学试卷（文科）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州七中高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足(1+i)z=−1(其中i为虚数单位)，则|z|=(

)A.12 B.22 C.12.若数列{an}是等差数列，且a4=2，aA.22 B.32 C.20 D.103.直线3x+3y+1=0的斜率是A.33 B.3 C.−4.如图，在△ABC中，AN=12AC，P是BN的中点，若AP=mA.12

B.1

C.32

D.5.已知A，B是平面内两点，且|AB|=6，判断当P点满足下列哪个条件时其轨迹不存在(

)A.|PA|+|PB|=2024 B.|PA|−|PB|=2024

C.|PA|×|PB|=2024 D.|PA|+|PB|=20236.若直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y−2=0平行，则m的值为(

)A.2 B.−3 C.2或−3 D.−2或−37.设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，QA.2−1 B.5−12 8.已知F1，F2是双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的两个焦点，P是双曲线C左支上的一点，且PF1⊥PF2，PFA.22 B.23 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示，则以下说法正确的是(

)A.甲、乙两人打靶的平均环数相等 B.甲的环数的中位数比乙的大

C.甲的环数的众数比乙的大 D.甲打靶的成绩比乙的更稳定10.设直线l：y=kx+1(k∈R)与圆C：x2+y2A.l与C可能相离 B.l不可能将C的周长平分

C.当k=1时，l被C截得的弦长为322 D.l被11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是(

)A.若O为线段PQ中点，则|PF|=2 B.若|PF|=4，则|OP|=25

C.存在直线l，使得PF⊥QF D.△PFQ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线x2−y13.设Sn为数列{an}的前n项和，若an14.已知点P在直线x−y=0上，点A(1,3)，B(3,4)，则当△ABP的周长取得最小值时，点P的坐标为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)与y轴相切．

(Ⅰ)直接写出圆心C的坐标及r的值；

(Ⅱ)直线l：3x−4y−1=0与圆16.(本小题15分)

为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值；

(2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标？

(3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在(14,16]内的概率．17.(本小题15分)

如图，四边形CDEF为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF，AB//CD，AD⊥DC，AB=AD=DE=12DC=1．

(1)求证：BD⊥平面BCF；

(2)求直线BC与平面18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F，点A(a,0)，且|AF|=1．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过右焦点F，且斜率为1的直线与椭圆C交于R，S两点，求|RS|．

(3)过点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆C于点M，N，直线MA，NA19.(本小题17分)

已知数列A：a1，a2，…，an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质P：对任意i，j(1≤i≤j≤n)，aj+ai与aj−ai两数中至少有一个是该数列中的一项，Sn为数列A的前n项和．

(1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质P；

(2)证明：参考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.C

9.ABD

10.BD

11.AD

12.y=±2x

13.−77

14.(3,3)

15.解：(Ⅰ)圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)与y轴相切，

则圆心C的坐标为(2,0)，半径r=2；

(Ⅱ)圆心C到直线16.解：(1)根据题意可得(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)×2=1，解得a=0.1；

(2)根据题意可得平均数的估计值为：

1×0.04+3×0.06+5×0.1+7×0.1+9×0.3+11×0.2+13×0.1+15×0.08+17×0.02=9.12>9，

∵前几组的频率依次为0.04，0.06，0.1，0.1，0.3，

∴中位数的估计值为：8+0.5−0.04−0.06−0.1−0.10.15=9+13>9，

∴以样本估计总体可估计该市区高中生阅读量达标；

(3)∵在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的频率之比为0.1：0.08：0.02=5：4：1，

∴采用分层抽样的方法抽取了10人中，在(12,14]，(14,16]，(16,18]中分别抽取的人数为5，4，1，

∴从这10人中随机抽取两人一共有C102=45种抽法，

又所抽选的两人周平均阅读时间均在(14,16]17.(1)证明：法(i)：因为AB/​/CD，AD⊥DC,AB=AD=12DC=1，

所以BD=BC=2，又CD=2，

因为CD2=BD2+BC2，所以BD⊥BC，

因为四边形CDEF为矩形，所以CF⊥CD，

因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，CF⊂平面CDEF，

所以CF⊥平面ABCD，

因为BD⊂平面ABCD，所以CF⊥BD，

因为BC∩CF=C，BC，CF⊂平面BCF，

所以BD⊥平面BCF；

法(ii)：因为平面ABCD⊥平面CDEF，且平面ABCD∩平面CDEF=CD，

且DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，

所以DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

所以DE⊥AD，

由DA，DC，DE两两垂直，则以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，E(0,0,1)，C(0,2,0)，F(0,2,1)，

DB=(1,1,0),BC=(−1,1,0),CF=(0,0,1)，

由DB⋅BC=0,DB⋅CF=0，可得BD⊥BC，BD⊥CF，

因为BC∩CF=C，BC，CF⊂平面BCF，

所以BD⊥平面BCF；

(2)解：结合上问可知：BE=(−1,−1,1),EF=(0,2,0)，

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BE=0，n⋅EF=0，

即−x−y+z=02y=0，令x=1，则y=0，z=1，

即n=(1,0,1)18.解：(1)因为椭圆的离心率为12，|AF|=1，

所以ca=12a−c=1a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，c=1，

则椭圆C的方程为x24+y23=1；

(2)设直线RS的方程为y=x−1，R(x1,y1)，S(x2,y2)，

联立y=x−13x2+4y2=12，消去y并整理得7x2−8x−8=0，

由韦达定理得x1+x2=87，x1x2=−87，

所以|RS|=1+k2|x1−x2|=1+12⋅(x1+x2)2−4x1x2

=2⋅(87)2−4×(−87)=247；

(3)当直线l的斜率不存在时，

可得19.解：(1)由于1+3=4∉A，3−1=2∉A，所以数列0，1，3不具有性质P；

1+0，1−0；3+0，3−0；4+0，4−0；3+1，3−1；4+1，4−1；4+3，4−3，

六组数中，每一组至少有一个数属于{0,1,3,4}，所以数列