2024-2025学年广东省江门市高二上学期调研测试（一）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省江门市高二上学期调研测试（一）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本，如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为(

)A.18 B.16 C.15 D.92.直线l:6x+A.π6 B.π3 C.2π33.已知a=(2,1,2)，b=(−4,2,x)，且a⊥b，则A.213 B.65 C.114.已知圆C1:x2+y2=4，圆CA.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断5.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DA.255 B.23056.某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将16盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶.若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为(

)A.18 B.29120 C.3167.已知点F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A.3 B.2 C.5 8.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，且MA在CN方向上的投影向量为μCN，则μ的值为(

)A.23 B.13 C.25二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一家水果店的店长为了解本店大泽脐橙的日销售情况，记录了过去10天大泽脐橙的日销售量(单位：kg)结果如下：93

106

117

101

80

85

104

90

90

116下列说法正确的是(

)A.该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的中位数为93

B.该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的平均数大于98

C.该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的极差为37

D.该水果店过去10天大泽脐橙的日销售量的第70百分位数为10410.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为原点，点P(x0,A.抛物线C的准线方程是x=−1

B.若|PF|=4，则y0=3

C.过点M(1,1)的直线与抛物线交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则|AB|=15

D.点Q是直线y=−x−311.已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ(0<θ<π,θ≠π2)，若空间向量a满足a=xi+yj+zk(x,y,z∈R)，则有序实数组(x,y,z)称为向量aA.若a=(2,d,1)2π3，b=(2,3,0)2π3，a⊥b，则d=34

B.若a=(0,2,4)3π4，则|a|=26

C.若OA=(−1,1,3)θ，OB=(1,1,3)θ，OC=(1,1,−1)θ，OP=(3,1,1)θ，则不论三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数据9，15，13，11，12的方差是

．13.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(2,6,4)关于x轴的对称点为B，点C(1,1−2m,2)关于yOz平面的对称点为D，若OB//OD，则m=

．14.江门市某学校举行数学建模比赛，某比赛小组认为鸡蛋的横截面可以看成由椭圆与圆的部分图象组合而成，在平面直角坐标系中，利用半圆C1:x2+y2=1(x≥0)和半椭圆C2:x22+y2=1(x≤0)围成了一个封闭的图形模拟鸡蛋的横截面(图1)，点F为半椭圆C2的焦点，过原点O的直线l交C1于点A，交C2于点B，则|AB|的最大值为

;点P是C2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知直线l经过两条直线2x+y+5=0和x−2y−5=0的交点，且垂直于直线x−3y+1=0，圆C经过三点(−2,0)，(2,0)，(1,1)．(1)求直线l与圆C的方程;(2)求直线l被圆C所截得的弦长．16.(本小题12分)U盘，全称USB闪存驱动器，它是一种使用USB接口的无需物理驱动器的微型高容量移动存储产品，通过USB接口与电脑连接实现即插即用.有一个盒子里装有形状一样，颜色不一样的U盘，其中银色U盘4个，黑色U盘3个，从中任取2个U盘．(1)求取出的2个U盘都是黑色U盘的概率;(2)如果是4个银色U盘，n个黑色U盘(n∈N∗)，已知取出的2个U盘都是银色的概率为25，那么17.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，AA1=2(1)证明：C1F⊥(2)求直线BC与平面A1B18.(本小题12分)已知点F(−2,0)是双曲线C:x2a(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)直线l:y=x−m与双曲线C相交于A，B两点，若|AB|=32，求△ABF(3)直线l′: y=kx+m(k≠±3)与双曲线C有唯一公共点Q，过点Q与直线l′垂直的直线分别交x轴、y轴于点M(x,0)，N(0,y)，当Q运动时，求点19.(本小题12分)

已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为2，离心率为32，过点E(−1,0)的直线l交椭圆C1(1)求椭圆C1的标准方程(2)证明：直线AD与BD的斜率之积为定值;(3)以椭圆C1的长轴为旋转轴，将椭圆C1旋转90∘，得到椭圆C2(如图2所示，椭圆C1在平面xOy内，椭圆C2在平面xOz内)，椭圆C2上是否存在定点P，使得平面PBD⊥平面PAD恒成立参考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.B

6.B

7.D

8.A

9.BC

10.BCD

11.ACD

12.4

13.−1

14.215.解：(1)由题意，联立2x+y+5=0x−2y−5=0解得x=−1y=−3，即交点坐标为(−1,−3)，

直线l与直线x−3y+1=0相互垂直，则直线l的斜率k=−3，

则直线l的方程为y+3=−3(x+1)，化简得3x+y+6=0，

所以直线l的方程为3x+y+6=0，

设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

可得方程组

所以圆C的方程为x2+y2+2y−4=0．

(2)由圆C的方程x2+y2+2y−4=0，即x2+y+12=5，

可知圆心C的坐标为(0,−1)，半径为5，

圆心C到直线3x+y+6=0的距离d=|3×0−1+6|3216.解：(1)用1，2，3，4表示4个银色U盘，用a，b，c表示3个黑色U盘，

则该试验的样本空间可表示为Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(1,c)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，(2,c)，(3,4)，(3,a)，(3,b)，(3,c)，(4,a)，(4,b)，(4,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)}共21个样本点，

设事件A=“两次取出的都是黑色U盘”，

则A={(a,b)，(a,c)，(b,c)}，共有3个样本点，故P(A)=321=17．

(2)设事件B=“两次取出的都是银色U盘”，

则B={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共有6个样本点，

故P(B)=n(B)n(Ω1)=6n(Ω1)=25，∴n(Ω1)=15，

由(1)可知当n=3时，样本点个数为21，n越大，样本点个数越多，

故n<3，又因为n∈N∗，故n取1，2．

若n=1，则用1，2，3，4表示4个银色∪盘，用a表示1个黑色U盘，

则Ω1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(3,4)，(3,a)，(4,a)}，不满足题意，

若n=2，则用1，2，3，4表示4个银色U盘，用a，b表示2个黑色U盘，

则Ω1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，17.解(1):以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.故F(0,2,2)，A1(0,0,22)，C(2,0,0)，N(1,1,22)，C1(2,0,22)

故C1F=(−2,2,−2)，CN=(−1,1,22)，A1N=(1,1,0)，

∴C1F⋅CN=0，C1F⋅A1N=0，

∴C1F⊥CN，C1F⊥A1N，

又因为A1N∩CN=N，

A1N,CN⊂平面A1CN

故C1F⊥平面A1CN;18.解：(1)由双曲线的定义可知2a=(−2−2)2+32−(−2+2)2+32=2，

所以a=1，b=3，即双曲线C的渐近线方程为y=±3x；

(2)由(1)可知双曲线的标准方程为x2−y23=1，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由题意，联立方程组得y=x−mx2−y23=1，消去y得2x2+2mx−m2−3=0 ①，

x1+x2=−m，x1x2=−m2+32，

由|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=2(3m2+6)=32

，

解得m2=1，即m=±1，

当m=1时，代入 ①式得x2+x−2=0，解得x=1或−2，即A(1,0)，B(−2,3)，

则△ABF19.解：(1)2b=2，所以b=1，

由ca=32，b2=a2−c2=1得c=3，a=2，

所以椭圆C1的标准方程为x24+y2=1;

(2)若直线l的斜率不存在，即l的方程为x=