福建省南平市水源中学高三数学理下学期期末试题含解析

福建省南平市水源中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=asin3x+bx3+4,其中a，b∈R，f'(x)为f(x)的导函数，则f(2014)+f(-2014)+f'(2015)-f'(-2015)=A.0 B. 2014 C. 8 D. 2015参考答案：C为奇函数，所以，即．又为偶函数，所以，故．2.已知，，且，则(

)A．

B．

C．或

D．参考答案：设，∴，∴或，所以选C.3.下列函数，其中既是偶函数又在区间上单调递减的函数为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B4.如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为"好点"．下列四个点中，"好点"有（

）个 A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：B5.在梯形中，，已知，，若，则（A）

（B） （C）

（D）参考答案：A如图，作AE∥DC，交BC于E，则ADEC为平行四边形，＝，又＝，所以，，故－3。6.已知集合A=则A．（1，2） B．[0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}参考答案：D集合A=，所以{1，2}。7.已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且b?α，那么“a∥α”是“a∥b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的判定定理以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由a∥α推不出a∥b，由a∥b也推不出a∥α，如a在α内，故a∥α”是“a∥b”既不充分也不必要条件，故选：D．8.数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（

）A．5.5 B．5 C．6 D．6.5参考答案：B根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为（立方丈）．9.若函数f（x）=,若f（a）>f（―a）,则实数a的取值范围是

（

）

A．（1，0）∪（0，1）

B．（∞，1）∪（1，+∞）

C．（1，0）∪（1，+∞）

D．（∞，1）∪（0，1）参考答案：C10.设向量，满足，，则=（）A．2 B．4 C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】利用题中的条件可得=2，=0，化简可得=1，=4，再根据=，运算求得结果．【解答】解：由可得=3，即=2．再由可得=0，故有=1，=4．∴===2，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面四边形中，已知，，点分别在边上，且，，若向量与的夹角为，则的值为

.参考答案：7略12.若复数（i为虚数单位），则|z|=______.参考答案：略13.在（x﹣3）7的展开式中，x5的系数是

（结果用数值表示）．参考答案：189【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，使得x的次数为5，然后求出x5项的系数．【解答】解：因为（x﹣3）7的展开式的通项公式为：Tr+1=C7rx7﹣r（﹣3）r，当r=2时，T3=C72x5（﹣3）2=189x5．所以（x﹣3）7的展开式中，x5项的系数为：189．故答案为：189．14.已知函数的定义域为Ｍ，的定义域为Ｎ，则＝．参考答案：15. 若正实数x,y满足x+y=2，且.恒成立，则M的最大值为____参考答案：略16.已知的展开式中的系数为，则常数的值为______.参考答案：略17.平行四边形ABCD中，已知AB=4，AD=3，∠BAD=60°，点E，F分别满足=2，=，则?=．参考答案：﹣6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用平行四边形法则，将分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积．【解答】解：如图所示，由平行四边形可得：．∵，∴，，∴==3×4×cos120°+﹣+×3×4×cos60°=﹣6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，平面平面，四边形为矩形，．为的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：连结，因，是的中点，故．

又因平面平面，故平面，

…………2分于是．

又，所以平面，

所以， …………4分又因，故平面，所以． …………6分（Ⅱ）解法一：由（I），得．不妨设，．

…………7分因为直线与平面所成的角，故，所以，为等边三角形．

…………9分设，则，分别为，的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则，，所以为二面角的平面角．

…………12分在中，，，

…………13分故，即二面角的余弦值为．

…………14分

解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，，则，，，，

…………8分从而，.

设平面的法向量为，由，得，可取．

…………10分同理，可取平面的一个法向量为

．

………12分于是，

……13分易见二面角的平面角与互补，所以二面角的余弦值为．

…………14分

略19.(本题满分l2分)某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这l6人的数学成绩编成茎叶图，如图所示．

(I)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示)，若甲班抽出来的同学平均成绩为l22分，试推算这个污损的数据是多少?

(Ⅱ)现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率．参考答案：20.已知椭圆C：(a＞b＞0)过点P(－1，－1)，c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．参考答案：

两种情况分类讨论：当时，再利用，可转化为，进一步确定出两点的坐

（3）设，则

因为，所以，得．21.（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）用五点作图法列表，作出函数在上的图象简图．（Ⅱ）若，，求的值．参考答案：【知识点】二倍角公式；函数的图像及性质.C4C5C6C7答案（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）====

（Ⅱ）【思路点拨】（Ⅰ）先利用三角公式对原函数化简，然后列表再化出图像；（Ⅱ）先由原函数求出，再利用二倍角公式结合两角差的正弦公式即可。22.如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中A、B、C、D在同一平面内．现测得CD长为100米，∠ADN=105°，∠BDM=30°，∠ACN=45°，∠BCM=60°．（1）求△BCD的面积；（2）求船AB的长．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）根据题意求得∠CBD，进而求得BC，BD，进而根据三角形面积公式求得答案．（2）利用正弦定理求得AD，进而利