福建省南平市书坊中学高三数学文联考试卷含解析

福建省南平市书坊中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．[0，1） B．（﹣1，1] C．[﹣1，1） D．（﹣1，0]参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，求出M与N的交集即可．【解答】解：由N中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即N=[0，1]，∵M=（﹣1，1），∴M∩N=[0，1）．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设集合，,,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，，所以,所以，选B.3.设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则( )A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 参考答案：B4.设，函数的定义域为，则=（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.已知等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，则圆锥曲线+=1的离心率为（）A． B． C．或 D．参考答案：C【考点】曲线与方程．【分析】由等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，得m=±12，由此能求出圆锥曲线+=1的离心率．【解答】解：∵等比数列{an}中，an+1=36，an+3=m，an+5=4，∴m2=36×4，∴m=±12．m=﹣12，该圆锥曲线的方程为：=1，为焦点在y轴上的双曲线，其中a2=3，b2=12，∴c2=a2+b2=15，离心率e=．m=﹣2，该圆锥曲线的方程为：=1，为焦点在x轴上的椭圆，其中a2=12，b2=3，∴c2=a2﹣b2=9，离心率e=．故选C．6.若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是（

）A．0个

B．2个

C．4个

D．6个参考答案：C7.（5分）已知函数f（x）=2ax3﹣3ax2+1，g（x）=﹣x+，若任意给定的x0∈[0，2]，总存在两个不同的xi（i=1，2）∈[0，2]，使得f（xi）=g（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．[﹣1，1]参考答案：A【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可以把问题转化为求函数f（x）和函数g（x）的最值，并有题意转化为两个函数的值域的关系问题即可得到结论．解：f′（x）=6ax2﹣6ax=6ax（x﹣1）．①当a=0时，显然不可能；②当a＞0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

x0（0，1）1（1，2）2f′（x）0﹣0+f（x）1递减极小值1﹣a

1+4a又因为当a＞0时，g（x）=﹣x+在[0，2]上是减函数，对任意x∈[0，2]，g（x）∈[﹣，]，不合题意；③当a＜0时，函数f（x）的变化情况如下表所示

x0（0，1）1（1，2）2f′（x）0+0﹣f（x）1递增极大值1﹣a递减1+4af（x）在[0，2]的最大值为1﹣a；又因为当a＜0时，g（x）=﹣x+在[0，2]上是增函数，所以对任意x∈[0，2]，g（x）∈[，﹣]，由题意必有g（x）max＜f（x）max，可得﹣＜1﹣a，解得a＜﹣1．综上a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．故选：A【点评】：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，确定函数的最大值是关键．综合性较强，有一定的难度．8.已知函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2012)＋f(2013)的值为A．－2

B．－1

C．0

D．1参考答案：D略9.已知集合，若，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.集合A={x，B=，则=(

) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{-1，0，1}参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数的实部与虚部互为相反数，则等于

。参考答案：12.若、满足，则目标函数的最大值为

参考答案：3三个交点为、、，所以最大值为313.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是

．

参考答案：9的变化如下表：159975则输出时．14.已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则实数k的值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．【解答】解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：15.已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为

．参考答案：

16.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖

块.

参考答案：17.不等式的解集为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得函数f（x）的定义域，求导函数，对a讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立，令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）…（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）…（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“?x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，…求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0∴φ（x）的最小值为，由得，故当时，f（x）≤x恒成立，…当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，…综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．…19.（本小题满分14分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1?Sn，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn?log3an，求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．参考答案：（Ⅰ）an=3n–1，bn=2n–1；（Ⅱ）Tn=(n–2)2n+2；（Ⅲ）见解析

【知识点】数列的求和D4解析：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为an=3n–1．

…………2分∵2bn–b1=S1?Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．

…………3分∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为bn=2n–1．

…………5分（Ⅱ）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，

…………6分Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1

……①2Tn=

0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n……②①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n=–2–(n–2)2n∴Tn=(n–2)2n+2．

…………10分（Ⅲ）===≤++…+＜++…+==(1–)＜．

…………14分【思路点拨】（Ⅰ）判断an}是等比数列，求出通项公式，判断{bn}是等比数列，求出通项公式为bn;（Ⅱ）化简cn的表达式，利用错位相减法求解Tn即可;（Ⅲ）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可．20.（本题满分13分）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记,求数列的前项和．参考答案：（本题满分13分）解：（1）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差>0，∴a3=5，a5=9，公差∴

又当=1时，有

当∴数列{}是首项，公比等比数列，∴

…………7分（2），设数列的前项和为，（1）(2)

……9分得，化简得：……………13分略21.已知函数.(1)设，求函数的极值；(2)若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.

参考答案：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得

………………2分

令

列表讨论的变化情况：（-1，3）3+0—0+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是

………………6分（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而

上的最小值是最大值是由于是有

………………8分由

……………10分所以

若a>1,则不恒成立.所以使