2025高考数学二轮复习-回顾4-立体几何与空间向量-专项训练【含答案】VIP

回顾4立体几何与空间向量1．空间几何体的侧面积、表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S侧＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圆锥S侧＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圆台S侧＝πl(r1＋r2)S表＝πl(r1＋r2)＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)V＝eq\f(1,3)πh(req\o\al(2,1)＋r1r2＋req\o\al(2,2))直棱柱S侧＝Ch(C为底面周长)S表＝S侧＋S上＋S下(棱锥的S上＝0)V＝S底h正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′(C为底面周长，h′为斜高)V＝eq\f(1,3)S底h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.平行、垂直关系的转化(1)平行问题的转化关系(2)垂直问题的转化关系(3)两个结论对于直线a，b和平面α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α.3．利用空间向量证明平行或垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则有(1)线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku(k∈R)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝λv(λ∈R)⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.4．利用空间向量求空间角(1)设直线l1，l2的夹角为θ，则有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．(2)设直线l与平面α的夹角为θ，则有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)设平面α，β的夹角为θ，则有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．5．点到平面的距离的求法(1)定义法：可以利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段．(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算．(3)向量法：设A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的法向量，则A到平面α的距离是eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).1．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方．2．长方体外接球长方体的体对角线长d与共点的三条棱长a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.3．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(3),2)a(a为正方体的棱长)．(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(a,2)(a为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(2),2)a(a为正方体的棱长)．4．正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体可以看作是正方体的一部分．(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq\f(\r(6),4)a(a为正四面体的棱长)．(3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝eq\f(\r(6),12)a(a为正四面体的棱长)．5.球与旋转体的组合通常作轴截面解题．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.1．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是()A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥α，a∥βD．a∥α，a⊥β答案D解析选项A中，α⊥γ，β⊥γ，α和β可能平行，也可能相交，所以A错误；选项B中，α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，不一定得到α⊥β，所以B错误；选项C中，a∥α，a∥β，α和β可能平行，也可能相交，所以C错误；选项D中，由a∥α知α内必有直线l∥a，因为a⊥β，所以l⊥β，又因为l⊂α，所以α⊥β，所以D正确．2.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3答案A解析设球的半径为Rcm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，所以球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3)．3．已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)答案B解析如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，三棱锥B′－ACD′符合题目条件，且三棱锥B′－ACD′的四个侧面全为等边三角形，设正方体的棱长为1，则三棱锥B′－ACD′的棱长为eq\r(2)，所以正方体ABCD－A′B′C′D′的表面积为6，S△ACD′＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2)，即三棱锥B′－ACD′的表面积S＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，则三棱锥B′－ACD′的表面积与正方体ABCD－A′B′C′D′的表面积之比为2eq\r(3)∶6＝1∶eq\r(3).4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A的正切值为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)答案C解析如图，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，设AC，BD交于点O，连接A1O，∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1O，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．在Rt△A1OA中，tan∠A1OA＝eq\f(A1A,AO)＝eq\r(2).即二面角A1－BD－A的正切值等于eq\r(2).5．(多选)如图，设E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足2EF＝DC＝eq\f(1,2)BC，则下列结论正确的是()A．B1D1⊥平面B1EFB．三棱锥D1－B1EF的体积为定值C．A1A∥平面B1EFD．平面A1D1DA⊥平面B1EF答案BD解析B1D1与D1C1显然不垂直，而EF∥C1D1，因此B1D1与EF不垂直，从而B1D1与平面B1EF不垂直，A错误；，在三棱锥B1－D1EF中，平面D1EF即平面CDD1C1，B1到平面CDD1C1的距离为B1C1，是定值，在△D1EF中，EF的长不变，D1到EF的距离不变，则△D1EF的面积为定值，因此三棱锥的体积是定值，B正确；平面B1EF就是平面B1A1DC，而A1A与平面B1A1DC相交，C错误；CD⊥平面A1D1DA，CD⊂平面B1A1DC，所以平面A1D1DA⊥平面B1A1DC，即平面A1D1DA⊥平面B1EF，D正确．6．(多选)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是()A．BO⊥ACB．BO∥平面ACD1C．点B到平面ACD1的距离为eq\f(\r(3),3)D．直线BO与直线AD1所成的角为eq\f(π,3)答案ABC解析对于A，如图，连接B1D1，A1C1，则B1D1，A1C1交于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，故A1C1⊥BB1，而A1C1⊥B1D1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1，故A1C1⊥平面BB1D1，故AC⊥平面BB1D1，而BO⊂平面BB1D1，故AC⊥BO，故A正确；对于B，连接BD，交AC于E，连接D1E，则BE∥OD1，BE＝OD1，故四边形BOD1E是平行四边形，故BO∥D1E，又D1E⊂平面ACD1，BO⊄平面ACD1，则BO∥平面ACD1，故B正确；对于C，设点B到平面ACD1的距离为d，因为，所以eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×sin60°×d，解得d＝eq\f(\r(3),3)，故C正确；对于D，连接BC1，则AD1∥BC1，∠OBC1即为直线BO与直线AD1所成的角或其补角，在△BOC1中，OC1＝eq\f(\r(2),2)，BO＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，BC1＝eq\r(2)，所以cos∠OBC1＝eq\f(BO2＋BC\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1),2BO·BC1)＝eq\f(\f(3,2)＋2－\f(1,2),2×\f(\r(6),2)×\r(2))＝eq\f(\r(3),2)，则∠OBC1＝eq\f(π,6)，所以直线BO与直线AD1所成的角为eq\f(π,6)，故D错误．7．三棱锥P－ABC中，底面为等边三角形，侧棱长相等，∠APB＝90°，点P到底面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的体积为________．答案36π解析因为三棱锥P－ABC中，底面为等边三角形，侧棱长相等，所以三个侧面为全等的等腰三角形，又∠APB＝90°，即三个侧面为全等的等腰直角三角形，所以PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC，所以可将三棱锥P－ABC补形为正方体，如图，则该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，设PA＝PB＝PC＝a，则AB＝AC＝BC＝eq\r(2)a，又点P到底面ABC的距离为2，所以由eq\f(1,3)S△ABC×2＝eq\f(1,3)S△PBC×PA，即eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)a)2×2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a×a×a，解得a＝2eq\r(3)，所以正方体的外接球直径2R＝eq\r(3)a＝6，即R＝3，所以该三棱锥外接球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×33＝36π.8.如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱CC1上一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC1,\s\up6(→))，M为平面BC1D内一动点，则MC＋MP的最小值为________．答案2eq\r(2)解析如图，连接A1C，与平面BC1D交于点E，易知A1C⊥平面BC1D，作点C关于平面BC1D的对称点N，易知A1N＝NE＝EC＝eq\f(1,3)A1C＝eq\r(3)，连接NP，A1C1，由eq\f(CP,CC1)＝eq\f(CN,CA1)＝eq\f(2,3)，得NP∥A1C1，且NP＝eq\f(2,3)A1C1＝2eq\r(2)，∴MC＋MP＝MN＋MP≥NP＝2eq\r(2)，∴连接MN，当M为NP与平面BC1D的交点时取等号，则MC＋MP的最小值为2eq\r(2).9．(2023·长沙模拟)如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，B为下底面圆周上异于A，C的点．(1)在平面BCC1内，过C1作一条直线与平面A1AB平行，并说明理由；(2)若四棱锥B－A1ACC1的体积为2eq\r(3)，求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值．解(1)取BC的中点P，作直线C1P即为所求．取AB的中点H，连接A1H，PH，则有PH∥AC，PH＝eq\f(1,2)AC，如图，在等腰梯形A1ACC1中，AC＝2A1C1，所以HP∥A1C1，HP＝A1C1，则四边形A1C1PH为平行四边形，所以C1P∥A1H，又A1H⊂平面A1AB，C1P⊄平面A1AB，所以C1P∥平面A1AB.(2)过点B作BO′⊥AC于O′，在等腰梯形A1ACC1中，AC＝2AA1＝2A1C1＝4，所以该梯形的高h＝eq\r(3)，所以等腰梯形A1ACC1的面积S＝3eq\r(3)，所以四棱锥B－A1ACC1的体积V＝eq\f(1,3)S×BO′＝2eq\r(3)，解得BO′＝2，所以点O′与O2重合，以O2为原点，eq\o(O2B,\s\up6(→))，eq\o(O2C,\s\up6(→))，eq\o(O2O1,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,2,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，A1(0，－1，eq\r(3))，C1(0,1，eq\r(3))，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(0，－1，eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，设平面A1AB的法向量为a＝(x1，y1，z1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))·a＝0，,\o(AB,\s\up6(→))·a＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋\r(3)z1＝0，,2x1＋2y1＝0，))取z1＝1，则a＝(eq\r(3)，－eq\r(3)，1)．设平面C1CB的法向量为b＝(x2，y2，z2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CC1,\s\up6(→))·b＝0，,\o(BC,\s\up6(→))·b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＋\r(3)z2＝0，,－2x2＋2y2＝0，))取z2＝1，则b＝(eq\r(3)，eq\r(3)，1)．设平面A1AB与平面C1CB的夹角为α，则cosα＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|3－3＋1|,\r(3＋3＋1)×\r(3＋3＋1))＝eq\f(1,7).故平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值为eq\f(1,7).10．(2023·烟台模拟)如图，在由三棱锥E－ADF和四棱锥F－ABCD拼接成的多面体ABCDEF中，AE⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，且四边形ABCD是边长为2eq\r(3)的正方形，△BCF是正三角形．(1)求证：AE∥平面BCF；(2)若多面体ABCDEF的体积为16，求BF与平面DEF所成角的正弦值．(1)证明如图，取BC的中点O，连接FO，由△BCF是正三角形，得OF⊥BC，OF⊂平面BCF，而平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，则OF⊥平面ABCD，因为AE⊥平面ABCD，则AE∥OF，AE⊄平面BCF，所以AE∥平面BCF.(2)解由AE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，得AE⊥AB，而AD⊥AB，AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，则AB⊥平面ADE，又AD∥BC，BC⊂平面BCF，AD⊄平面BCF，因此AD∥平面BCF，而AE∥平面BCF，于是平面ADE∥平面BCF，则点F到平