第三节 极限计算方法

第三节极限的计算方法设limf(x)=A,limg(x)=B,则lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)(=A±B)设limf(x)=A,limg(x)=B,则定理1定理2lim(f(x)g(x))=(limf(x))(limg(x))(=AB)．设limf(x)=A,limg(x)=B,且B≠0，定理3则一.极限的运算法则注：(1)以上的定理中，符号“lim”下方没有标明自变量的变化过程，意思是指以上定理对自变量的任何一种变化过程都成立．对每个定理,“lim”表示自变量的同一个变化过程．(2)以上定理都要求f(x),g(x)的极限存在,商的法则还要求分母的极限不为零．定理1和定理2可以推广到有限个函数的情形.如果limf(x)存在，c为常数，则推论1lim(cf(x))=climf(x)．如果limf(x)存在，n∈N,则推论2lim[f(x)]n

=[limf(x)]n．例1

设Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a１x+a0，.任意x0∈R，证明例2

求表示x的n次、

m次多项式,Pm(x0)≠0,证明例3

设,其中Pn(x)、Pm(x)分别例4

求解

:因为2·2３-22+1=13≠0，由例3,例5

求解

:x→1时，x2-1→0，x2+x-2→0.因此不能用商的极限的运算法则.通常记为“存在,也可能不存在,因此这种极限通常称为不定式，它可以通过约去使分子和分母同时为零的因式来求解．例如以上这种两个非零无穷小的比的极限，”.由于这种形式的极限可能

x→∞时，分子、分母都是无穷大,所以不能直接用商的极限的运算法则.例6

求这种两个无穷大的比的极限也是不定式，解通常记为“”．因为分子、分母关于x的最高次幂是x4,所以这时可用x4同时去除分子、分母，然后取极限,得例7

求解

x→1时，x2-1→0，但x2+x→2(≠0),不能直接用商的极限的运算法则，由于因此由第四节定理4，例8

求解因为所以不能用差的极限的运算法则,这种两个无穷大的差的极限也是不定式,通常记为“∞-∞”．这时可以恒等变形成“”或“”的极限求解．证因为x0≠kπ+例9

x０∈R，x0≠kπ+(k∈Z)，证明：(k∈Z)，由商的极限运算法则，有由前面例题，,13二.两个重要极限14(一)证明因为函数是偶函数,只要证明设此时有不等式sinx<x<tanx.从而由于由极限的性质4(夹逼准则)有所以15公式1在极限计算中有重要应用,它在形式上有以下特点:(1)它是“”型;(代表同样的变量或同样的表达式).(2)公式1的形式可写成16例1

计算解例2

计算解17例3

求解例4

求解18例5

求解令arcsinx=t,则x=sint,且x→0时,t→0.极限定理存在,记为e,即:(二)19{xn}的变化趋势如下表:记12310100100010000…22.2502.3702.5942.7052.7172.718…e是一个无理数,是自然对数的底,e=2.718281828459…,进一步得到以下公式x→∞时t→0

令20极限,(2)公式的一般形式可以写成(1)它们是底的极限为1、指数为无穷大的变量上述公式具有以下特点:(代表同样的变量或同样的表达式).或通常记为“1∞”.21例6

求解此题属“1∞”,例7

计算解此题属“1∞”,22例8

计算解则x→0时u→e

令例9

计算解令ex

-1=u,则x=ln(1+u),且x→0时,u→0,于是23例9

计算解此题属“1∞”,24练习:三.无穷小阶的比较但是无穷小趋于0的速度是不同的.都是无穷小,引例时,当25设是自变量同一变化过程中的无穷小.设(常数),定义1记作α

~β.(3)若c=1,则称β与α是等价无穷小.(2)若c≠0,则称β与α是同阶无穷小;(1)若c=0,则称β是α的高阶无穷小

(也称α是β的低阶无穷小),记作β=o(α);26例如:x2是3x的高阶无穷小,即sinx与3x是同阶无穷小;tanx与x是等价无穷小(tanx~x).时,由前面内容知,当ln(1+x)~x,tanx~x,sinx~x,arcsinx~x,e

x-

1~x,27定义2若x→0时,无穷小α与xk(k是常数)是同阶的,则称α为x的k阶无穷小.例1

证明x→0时,(1+x)n-1~nx(n∈N).5sin3

x是x的3阶无穷小.如:证明因为所以x→0时,(1+x)n

-1～nx.28等价无穷小在型的极限计算中的应用:定理设α~α',β~β';则证明因为由以上定理,在求型的极限时,分母或它们的乘积因子换成形式简单的等价无穷小.可将其分子,29例2

求解因为x→0时,ex-1~x,ln(1+x2)~x2,所以sin2x~2x,1-cosx~30例3

计算解先作变量代换,令当时,于是31例4

用等价无穷小的代换,求解因为t