2025年统编版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版高二数学上册月考试卷15考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、抛物线y2=x上到直线x-2y+4=0的距离最小的点是（）

A.

B.

C.（1；1）

D.（4；2）

2、在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为()A.0B.C.1D.无法确定3、【题文】在三个内角所对的边分别为若内角依次成等差数列，且不等式的解集为则（）A.B.C.D.4、在数列{an}中，an=1-+-++-则ak+1=（）A.ak+B.ak+-C.ak+D.ak+-5、已知椭圆C1x2m2+y2=1(m>1)

与双曲线C2x2n2鈭�y2=1(n>0)

的焦点重合，e1e2

分别为C1C2

的离心率，则(

)

A.m>n

且e1e2>1

B.m>n

且e1e2<1

C.m<n

且e1e2>1

D.m<n

且e1e2<1

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、给出下列命题：

①若则

②若A（x1，y1），B（x2，y2），则

③已知是三个非零向量，若则

④已知λ1＞0，λ2＞0，是一组基底，a=λ1e1+λ2e2，则a与e1不共线，a与e2也不共线；

⑤与共线⇔．

其中正确命题的序号是____．7、三次函数y=ax3+x在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是____．8、下列函数中，最小值为2的是____

①②③④．9、不共面的四点可以确定平面的个数是____．10、【题文】将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分。如果第一部分编号为0001，0002，，0020，从中随机抽取一个号码为0010，则第41个号码为____。11、【题文】从标有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张纸片中任取2张,那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为____。12、已知关于x的不等式x2+bx+a＞0的解集为（﹣∞，1）∪（5，+∞），则实数a+b=____13、已知x1y取值如下表，从所得的点图分析，y与线性相关，且y=1.1x+a，则a=______

。x0134y1236评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、计算题(共4题，共28分)21、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．22、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式23、解不等式组．24、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分五、综合题(共3题，共18分)25、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．26、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．27、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】

设点P（y2，y）是抛物线y2=x上的任意一点；

则点P到直线到直线x-2y+4=0的距离d===当且仅当y=1，及取点P（1，1）时，取等号．

故选C．

【解析】【答案】利用点到直线的距离公式和二次函数的单调性即可得出．

2、A【分析】本试题主要是考查了向量的数量积的求解运算。因为·＋·＋·=·＋·＋·=＋·＋·=+=选A.解决该试题的关键是将所求的向量运用一组基底来表示，结合数量积得到结论。【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】

试题分析：由于不等式的解集为又角依次成等差数列，于是

考点：一元二次不等式的解法，等差数列的性质，三角形的面积.【解析】【答案】B4、D【分析】解：∵an=1-+-++-

∴a1=1-

a2=1-+-

；

an=1-+-++-

ak=1-+-++-

所以，ak+1=ak+-．

故选：D．

由已知中an=1-+-++-我们依次给出a1，a2，，an，ak的表达式，分析变化规律，即可得到ak+1的表达式．

本题考查的知识点是数列的要领及表示方法，根据已知条件，列出数列的前n项，分析项与项之间的关系是解答本题的关键．【解析】【答案】D5、A【分析】解：隆脽

椭圆C1x2m2+y2=1(m>1)

与双曲线C2x2n2鈭�y2=1(n>0)

的焦点重合；

隆脿

满足c2=m2鈭�1=n2+1

即m2鈭�n2=2>0隆脿m2>n2

则m>n

排除CD

则c2=m2鈭�1<m2c2=n2+1>n2

则c<m.c>n

e1=cme2=cn

则e1?e2=cm?cn=c2mn

则(e1?e2)2=(cm)2?(cn)2=c2m2鈰�c2n2=(m2鈭�1)(n2+1)m2n2=m2n2+(m2鈭�n2)鈭�1m2n2=1+m2鈭�n2鈭�1m2n2=1+2鈭�1m2n2=1+1m2n2>1

隆脿e1e2>1

故选：A

．

根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c2=m2鈭�1=n2+1

即m2鈭�n2=2

进行判断，能得m>n

求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．

本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键.

考查学生的转化能力．【解析】A

二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

对于①∴∴故①正确；

②∵故②错；

对于③∵∴∴∴故③正确；

⑤当与反向时，故⑤错．

故答案为：①③④

【解析】【答案】对5个命题分别判断；利用向量模的平方等于向量的平方判断出①的正误；利用向量的坐标公式判断出②的正误。

利用向量的运算律判断出③的正误；通过向量的数量积判断出⑤的正误．

7、略

【分析】

∵f′（x）=3ax2+1

又三次函数y=ax3+x在（-∞；+∞）内单调递增。

∴f′（x）=3ax2+1≥0在（-∞；+∞）恒成立。

∴a＞0

故答案为：a＞0．

【解析】【答案】求出函数f（x）的导函数；令导函数大于等于0在（-∞，+∞）上恒成立，令二次项的系数大于0即可．

8、略

【分析】

对于由于和不相等；故y＞2，故排除①．

对于=当x≥0时，ymin=2；故排除②．

对于当x趋于0时，函数y的值趋于0，故最小值不是2．

对于≥2（当且仅当x=0时取“=”）；故④正确．

故答案为④．

【解析】【答案】利用不等式的性质与基本不等式可逐个判断；注意检验基本不等式成立的条件．

9、略

【分析】

不共面的四点是指任意三个点都不在同一条直线上；

这样从四点任取三个点都可以确定一个平面；

∴一共可以确定C43=4个平面；

故答案为：4

【解析】【答案】不共面的四点是指任意三个点都不在同一条直线上；这样从四点任取三个点都可以确定一个平面，本题变化成一个组合问题，即从4个元素中取3个的方法数．

10、略

【分析】【解析】

试题分析：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成段；再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20，∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795

考点：本题主要考查了系统抽样的运用。

点评：掌握系统抽样的规律是解决此类问题的关键【解析】【答案】081011、略

【分析】【解析】【解析】【答案】12、﹣1【分析】【解答】解：关于x的不等式x2+bx+a＞0的解集为（﹣∞；1）∪（5，+∞）；

∴关于x的方程x2+bx+a=0的两个实数根为1和5；

由根与系数的关系；得；

解得a=5，b=﹣6；

∴a+b=5﹣6=﹣1．

故答案为：﹣1．

【分析】根据不等式与对应的方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出a、b的值，计算即可．13、略

【分析】解：由题意，=2，=3

∵y与x线性相关；且y=1.1x+a；

∴3=1.1×2+a；

∴a=0.8．

故答案为0.8．

计算平均数；可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a的值．

本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键．【解析】0.8三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、计算题(共4题，共28分)21、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．22、略

【分析】【解析】

（1）由绝对值不等式，有那么对于只需即则4分（2）当时：即则当时：即则当时：即则10分那么不等式的解集为12分【解析】【答案】（1）（2）23、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．24、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．五、综合题(共3题，共18分)25、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）