2025年统编版2024高一数学上册月考试卷VIP

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年统编版2024高一数学上册月考试卷361考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A.108B.63C.75D.832、设a=b=c=2是（）

A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.a＜c＜b

D.b＜a＜c

3、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（）A.B.C.D.4、函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞，﹣5]上是减函数，则a的范围是（）A.a≥0B.a≤0C.a≥10D.a≤105、函数的单调增区间为（）A.B.C.D.6、函数f（x）=在[2，+∞）上为增函数，且f（0）=0，则f（x）的最小值是（）A.f（2）B.f（0）C.f（-2）D.f（4）评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、向量的坐标分别是(1,2)、(3,-4),则在上的射影=____▲.8、函数的值域是______．9、【题文】奇函数在处有极值，则的值为____．10、【题文】设集合则____．11、【题文】若集合则=_________12、设f：A→B是A到B的一个映射，其中A=B={（x，y）|x，y∈R}，f：（x，y）→（x-y，x+y），则B中元素（1，3）在A中的对应元素是__________13、若幂函数f（x）=（m2-m-1）xm-1在区间（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)14、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．15、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、解答题(共1题，共10分)21、【题文】已知函数f(x),当x,y∈R时；恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求证：f(x)是奇函数；

（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.评卷人得分五、综合题(共3题，共24分)22、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．23、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．24、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】【解析】试题分析：成等比数列，也成等比数列，即解得．故选B考点：本题考查了等比数列前n项和的性质【解析】【答案】B2、C【分析】

∵=0，=32=9，＜1；

∴a＜c＜b．

故选C．

【解析】【答案】利用指数幂的运算性质即可得出．

3、A【分析】解答：满足约束条件：平面区域如图示：由图可知，直线恒经过点A（0，），当直线再经过BC的中点D（）时，平面区域被直线分为面积相等的两部分；

当x=y=时，代入直线的方程得：

k=

故选A．

分析：先根据约束条件：画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求面积即可．4、D【分析】【解答】解：函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6的图象是。

开口方向朝上；以x=5﹣a为对称轴的抛物线。

若函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞；﹣5]上是减函数。

则5﹣a≥﹣5

解得a≤10

故选D．

【分析】根据已知中函数的解析式y=x2+2（a﹣5）x﹣6，我们可以分析出函数图象的形状，及函数的性质，结合函数y=x2+2（a﹣5）x﹣6在（﹣∞，﹣5]上是减函数，根据二次函数的性质，我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出满足条件的a的范围．5、D【分析】【解答】令则

【分析】本题考查函数的单调性，由是解题的关键.6、A【分析】解：由于当x＞-2时；函数f（x）满足f（4-x）=f（x），则函数的图象关于直线x=2对称；

又由函数在[2；+∞）上为增函数，则函数f（x）在（-2，2）上为减函数；

故当x＞-2时；f（x）≥f（2）；

又由当x≤-2时，函数f（x）=2-x为减函数；

则当x≤-2时，函数f（x）≥f（-2）=2-2＞0=f（0）＞f（2）；

故f（x）的最小值是f（2）；

故选：A．

依据函数的性质得到若f（4-x）=f（x），则函数的图象关于直线x=2对称，进而得到当x＞-2时，f（x）的单调性，再由当x≤-2时，函数f（x）=2-x为减函数；进而得到函数的最小值．

本题考查的知识点是函数的单调性及函数的最值，属于基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】【解析】

因为向量的坐标分别是(1,2)、(3,-4),则在上的射影【解析】【答案】-18、略

【分析】试题分析：正切函数在是单调递增的，所以在处取得最小值，在处取得最大值.考点：正切函数图像及性质.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为为奇函数，所以因为在处有极值，所以即所以

考点：函数奇偶性，函数极值.【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

试题分析：由补集的定义有由并集的定义有

考点：集合的运算.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】解：当x-y=1；x+y=3时，x=2，y=1；

故B中元素（1；3）在A中的对应元素为（2，1）；

故答案为（2；1）

直接由映射的概念列关于x；y的二元一次方程组求解x，y的值，则答案可求．

本题考查了映射的概念，考查了方程组的解法，是基础的概念题．【解析】（2，1）13、略

【分析】解：由幂函数f（x）=（m2-m-1）xm-1，可得m2-m-1=1；解得m=2或-1．

又幂函数y=xm-1在区间（0；+∞）上是增函数，∴m=2．

故答案为：2．

利用幂函数的定义；单调性即可得出．

本题考查了幂函数的定义、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】2三、证明题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．15、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、解答题(共1题，共10分)21、略

【分析】【解析】（1）证明∵函数定义域为R；其定义域关于原点对称.

∵f（x+y）-f（x）+f（y）；令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,

∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0；得f(-x)=-f(x),

∴f(x)为奇函数.

（2）解方法一设x,y∈R+；∵f（x+y）=f（x）+f（y）；

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+；f（x）＜0,

∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0；+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0；

∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值；f(6)为最小值.

∵f(1)=-∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,

f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x)在区间［-2；6］上的最大值为1，最小值为-3.

方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.

则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.

∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-

∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1；f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.

∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.【解析】【答案】（1）证明渐近线（2）f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.五、综合题(共3题，共24分)22、略

【分析】【分析】（1）由直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，列方程组求k、m的值，再把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式求a、b；c的值；

（2）存在．根据O、A、B三点坐标求△OAB的面积，再由S△OCD=2S△OAB=12，求D点纵坐标，代入抛物线解析式求D点纵坐标．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=kx+4过A（1；m），B（4，8）两点；

∴，解得；∴y=x+4；

把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，；

∴y=-x2+6x；

（2）存在．设D点纵坐标为h（h＞0）；

由O（0，0），A（1，5），B（4，8），可知S△OAB=6；

∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12；解得h=4；

由-x2+6x=4，得x=3±；

∴D（3+，4）或（3-，4）．23、略

【分析】【分析】（1）过C作CE⊥AB于E；根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A；B、C三点的坐标；

（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解析】【解答】解