三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是 ()A．－1 B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D．12．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)3．已知函数y＝sineq\f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是()A．6 B．7 C．8 D．4．已知在函数f(x)＝eq\r(3)sineq\f(πx,R)图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为 ()A．1 B．2 C．3 D．5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是 `(D)6．给出下列命题：①函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,2)))是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝eq\f(3,2)；③若α、β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x＝eq\f(π,8)是函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,4)))的一条对称轴方程；⑤函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))成中心对称图形．其中正确的序号为 ()A．①③ B．②④ C．①④ D．④⑤7．将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ()A．y＝2cos2x B．y＝2sin2xC．y＝1＋sin(2x＋eq\f(π,4)) D．y＝cos2x8．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移eq\f(π,4)个单位，所得到的图象解析式是 ()A．f(x)＝sinx B．f(x)＝cosxC．f(x)＝sin4x D．f(x)＝cos4x9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为eq\f(π,2)，直线x＝eq\f(π,3)是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ()A．y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2 D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋210．若将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图象重合，则ω的最小值为 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)11．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t=秒时，电流强度是 ()A．－5安 B．5安 C．5eq\r(3)安 D．10安12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 ()A．向左平移eq\f(π,8)个单位长度B．向右平移eq\f(π,8)个单位长度C．向左平移eq\f(π,4)个单位长度D．向右平移eq\f(π,4)个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2,3)x))的单调递增区间为______________．14．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝________.15．关于函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))；③y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,6)对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．三、解答题(共40分)17．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ))(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．18．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω>0)的最小正周期是eq\f(π,2).(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．19．设函数f(x)＝cosωx(eq\r(3)sinωx＋cosωx)，其中0<ω<2.(1)若f(x)的周期为π，求当－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3)时f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝eq\f(π,3)，求ω的值．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示：(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．21．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的一段图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝eq\r(6)与函数y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，x∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，－\f(2,3)))时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f(x)＝sinxcosx的最小值是 (B)A．－1 B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D．12．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)，0))中心对称，那么|φ|的最小值为(A)A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)3．已知函数y＝sineq\f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是(C)A．6 B．7 C．8 D．4．已知在函数f(x)＝eq\r(3)sineq\f(πx,R)图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为 (D)A．1 B．2 C．3 D．5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是 `(D)6．给出下列命题：①函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,2)))是奇函数；②存在实数α，使得sinα＋cosα＝eq\f(3,2)；③若α、β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x＝eq\f(π,8)是函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,4)))的一条对称轴方程；⑤函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))成中心对称图形．其中正确的序号为 (C)A．①③ B．②④ C．①④ D．④⑤7．将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 (A)A．y＝2cos2x B．y＝2sin2xC．y＝1＋sin(2x＋eq\f(π,4)) D．y＝cos2x8．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移eq\f(π,4)个单位，所得到的图象解析式是 (A)A．f(x)＝sinx B．f(x)＝cosxC．f(x)＝sin4x D．f(x)＝cos4x9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为eq\f(π,2)，直线x＝eq\f(π,3)是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 (D)A．y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋2C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))＋2 D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋210．若将函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后，与函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图象重合，则ω的最小值为 (D)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)11．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如右图所示，则当t=秒时，电流强度是 (A)A．－5安 B．5安 C．5eq\r(3)安 D．10安12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,4))(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象 (A)A．向左平移eq\f(π,8)个单位长度B．向右平移eq\f(π,8)个单位长度C．向左平移eq\f(π,4)个单位长度D．向右平移eq\f(π,4)个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(2,3)x))的单调递增区间为______________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,8)π＋3kπ，\f(21π,8)＋3kπ))(k∈Z)14．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝________.15．关于函数f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))；③y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))对称；④y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq\f(π,6)对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)②③16．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．eq\r(2)三、解答题(共40分)17．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋φ))(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．解(1)令2×eq\f(π,8)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴φ＝kπ＋eq\f(π,4)，又－π<φ<0，则－eq\f(5,4)<k<－eq\f(1,4)，∴k＝－1，则φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)得：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(3π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，可解得eq\f(π,8)＋kπ≤x≤eq\f(5π,8)＋kπ，k∈Z，因此y＝f(x)的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)＋kπ，\f(5π,8)＋kπ))，k∈Z.18．已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1(x∈R，ω>0)的最小正周期是eq\f(π,2).(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．解(1)f(x)＝2eq\f(1＋cos2ωx,2)＋sin2ωx＋1＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2ωxcos\f(π,4)＋cos2ωxsin\f(π,4)))＋2＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋2.由题设，函数f(x)的最小正周期是eq\f(π,2)，可得eq\f(2π,2ω)＝eq\f(π,2)，所以ω＝2.(2)由(1)知，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))＋2.当4x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，即x＝eq\f(π,16)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋eq\r(2)，此时x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(π,16)＋\f(kπ,2)，k∈Z)).19．设函数f(x)＝cosωx(eq\r(3)sinωx＋cosωx)，其中0<ω<2.(1)若f(x)的周期为π，求当－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3)时f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝eq\f(π,3)，求ω的值．解f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).(1)因为T＝π，所以ω＝1.∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，当－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3)时，2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，所以f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))).(2)因为f(x)的图象的一条对称轴为x＝eq\f(π,3)，所以2ωeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，ω＝eq\f(3,2)k＋eq\f(1,2)(k∈Z)，又0<ω<2，所以－eq\f(1,3)<k<1，又k∈Z，所以k＝0，ω＝eq\f(1,2).20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示：(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解(1)由图象可知，函数的最大值M=3，最小值m=-1，则A=，又，∴，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1，将x=，y=3代入上式，得∴，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=，∴f(x)=2sin+1.(2)由2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，∴f(x)=2sin+1的对称轴方程为kπ，k∈Z.21．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的一段图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移eq\f(π,4)个单位，得到y＝g(x)的图象，求直线y＝eq\r(6)与函数y＝f(x)＋g(x)的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解(1)由题图知A＝2，T＝π，于是ω＝eq\f(2π,T)＝2，将y＝2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得y＝2sin(2x＋φ)的图象．于是φ＝2×eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(2)依题意得g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故y＝f(x)＋g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12))).由2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))＝eq\r(6)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))＝eq\f(\r(3),2).∵0<x<π，∴－eq\f(π,12)<2x－eq\f(π,