2025年湘师大新版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数的单调递减区间是（）A.B.(--1),(3,+)C.(1,3)D.(1,+)2、【题文】与集合表示同一集合的是A.B.C.D.3、【题文】如图，正棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.4、集合A={0，2，a}，B={a2}，若A∪B=A，则a的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为（）A.x﹣y+1=0B.x﹣y﹣3=0C.2x﹣y=0D.2x﹣y﹣3=06、已知直线l：y=+1，则直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、设f（x）=cosx∈z，则f（25）+f（26）+f（27）++f（46）=____．8、【题文】已知两直线3x＋2y－3=0与6x＋my＋1=0互相平行，则它们之间的距离等于____9、【题文】已知又知非是非的必要非充分条件，则的取值范围是____．10、【题文】已知全集集合则集合=__________．11、螺母是由____和____两个简单几何体构成的．12、根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为____

____13、函数y=3sin（2x+）的最小正周期为____．14、设正项等比数列{an}的公比为q，且则公比q=______．15、一个圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面展开图是扇角为______（填扇角的度数）的扇形．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)23、（1）求值sin

（2）已知的值．

24、【题文】如图，在长方体中,点是棱上的一个动点.

(1)证明:

(2)当为的中点时，求点到面的距离；

(3)线段的长为何值时，二面角的大小为25、用秦九韶算法求函数f（x）=x5+x3+x2+x+1，当x=3时的函数值．评卷人得分五、综合题(共1题，共8分)26、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】试题分析：因为又对称轴为单调递减区间(1,3).考点：二次函数单调性、无理函数定义域.【解析】【答案】C2、D【分析】【解析】

试题分析：由题意可知，该集合表示的是的解，所以与它表示同一集合的是

考点：本小题主要考查集合的表示.

点评：对于集合，要弄清楚集合中的元素是什么，是数还是点，本小题中的集合还可以写成【解析】【答案】D3、D【分析】【解析】如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线与所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为选D。【解析】【答案】D4、C【分析】【解答】解：由A∪B=A；可得B⊆A；

∴a2=2或a2=a；

①由a2=a；解得a=0或1；

由集合元素的互异性可知：a≠0；

故a=1；

②由a2=2，解得a=±

故a的值有3个；

故选：C．

【分析】先由A∪B=A，得到B⊆A，进而再通过分类讨论即可得出a的值．5、A【分析】【解答】解：过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为：即x﹣y+1=0．

故选：A．

【分析】直接利用截距式方程求解在方程即可．6、C【分析】解：由题意，k==tanα；

∵0°≤α＜180°；

∴α=60°；

故选C．

由题意，k==tanα；即可求出直线的倾斜角．

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

由于函数f（x）=cosx∈z的周期等于4；

∵f（25）+f（26）+f（27）+f（28）=0-1+0+1=0；

∴f（25）+f（26）+f（27）++f（46）=0+f（45）+f（46）=0-1=-1．

故答案为：-1．

【解析】【答案】先求出函数f（x）=cosx∈z的周期等于4，计算函数在一个周期内的函数值的和，即可得到要求的式子的值．

8、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于两直线3x＋2y－3=0与6x＋my＋1=0互相平行，则可知3m-12=0,m=4，那么可知方程变形为6x＋4y－6=0与6x＋my＋1=0之间的距离为d=故答案为

考点：直线平行。

点评：主要是考查了两直线的平行的运用，属于基础题。【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：根据题意；由于。

因为非是非的必要非充分条件，则说明了Q是P的必要非充分条件，则说明集合Q包含集合P，则可知利用数轴法得到故答案为

考点：充分条件。

点评：解决的关键是根据命题之间的关系来得到求解，属于基础题。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、____圆柱【分析】【解答】解：根据螺母的结构特征知；是由正六棱柱里面挖去的一个圆柱构成的；

故答案为：正六棱柱；圆柱．

【分析】根据螺母的形状和正六棱柱、圆柱的结构特征进行判断．12、48【分析】【解答】解：分析程序中各变量；各语句的作用；

再根据流程图所示的顺序；得：

该程序的作用是累乘a=1×2×（2+2）×（2+2+2）；并输出满足条件（i≤6）时a值．

∴a=1×2×4×6=48；

∴输出的a值为48．

故答案为：48．

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，求出该程序执行的结果是什么即可．13、π【分析】【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π

故答案为：π

【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．14、略

【分析】解：由题意知

得

∴6q2-q-1=0

∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾；舍去）．

故答案为：

根据所给的条件；把前3项的和变为三项和的形式，两边同乘以分母，移项合并同类项，约分，得到关于公比的一元二次方程，解方程，其中一个解不合题意舍去．

本题考查等比数列的简单运算，本章要求学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题．【解析】15、略

【分析】设圆锥母线长为R，底面圆半径为r；扇角为α，扇形弧长为c

截面为正三角形，所以R=2r

又2πr=c；c=αR

联立解得α=π

故扇角为180°

圆锥的母线长对应扇形的半径；圆锥底面圆周长对应扇形的弧长．列出方程组求解．

考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长公式，各量之间的对应关系．属于基础题．【解析】180°三、证明题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．18、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、解答题(共3题，共15分)23、略

【分析】

原式==1--=

（2）【解析】

由故sinα=±

∴====±-

即的值为-或-

【解析】【答案】（1）本题是一个利用诱导公式进行恒等变形化简；可先由公式化简，再代入特殊角的三角函数值计算出结果；

（2）本题是利用同角三角函数基本关系求值的题；由题意，可先求出角的余弦，再代入求值．

（1）24、略

【分析】【解析】

试题分析：解决立体几何中的垂直；距离及空间角；有几何法与空间向量法，其中几何法，需要学生具备较强的空间想象能力及扎实的立体几何理论知识；向量法，则要求学生能根据题意准确建立空间直角坐标系，写出有效点、有效向量的坐标必须准确无误，然后将立体几何中的问题的求解转化为坐标的运算问题，这也需要学生具备较好的代数运算能力.

几何法：（1）要证只须证明平面然后根据线面垂直的判定定理进行寻找条件即可；（2）运用的关系进行计算即可求出点到面的距离；（3）先作于连接然后充分利用长方体的性质证明为二面角的平面角，最后根据所给的棱长与角度进行计算即可得到线段的长.

向量法：(1)建立空间坐标，分别求出的坐标，利用数量积等于零即可；(2)当为的中点时，求点到平面的距离，只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；