《函数的增减性》课件

函数的增减性探索函数变化规律，掌握判断函数增减性的方法，为后续学习函数性质奠定基础。学习目标1理解函数增减性的定义掌握判断函数增减性的方法。2认识单调递增和单调递减函数的性质了解利用导数判断函数的增减性。3掌握利用导数判断极值点理解函数增减性与极值点的关系。函数的基本概念回顾定义域函数定义域是指所有允许输入的自变量的集合。值域函数值域是指所有可能的函数值的集合。函数关系式函数关系式描述了自变量和因变量之间的关系。函数的增减性定义单调递增函数如果对于区间I上的任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上是单调递增函数。单调递减函数如果对于区间I上的任意两个自变量x1和x2，当x1<x2时，总有f(x1)>f(x2)，则称函数y=f(x)在区间I上是单调递减函数。函数的单调性单调递增当自变量增大时，函数值也随之增大。单调递减当自变量增大时，函数值随之减小。判断函数增减性的方法1定义法直接根据定义判断2图像法通过函数图像判断3导数法利用导数的符号判断单调递增和单调递减函数的性质单调递增若函数f(x)在区间I上单调递增，则当x1单调递减若函数f(x)在区间I上单调递减，则当x1f(x2)利用导数判断函数的增减性导数的符号导数的符号与函数的增减性密切相关。单调性当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减。极值导数为零或导数不存在的点，称为函数的驻点或临界点，它们是函数的极值点候选者。利用一阶导数判断单调性1导数为正函数单调递增2导数为负函数单调递减3导数为零函数可能存在极值点一阶导数的符号可以帮助我们快速判断函数在某个区间的单调性。当导数为正时，函数在该区间单调递增；当导数为负时，函数在该区间单调递减。若导数为零，则需要进一步分析以判断函数是否在该点存在极值点。利用二阶导数判断单调性1凹函数当函数的二阶导数在某个区间上恒大于零时，该函数在这个区间上为凹函数，即图形向上弯曲。2凸函数当函数的二阶导数在某个区间上恒小于零时，该函数在这个区间上为凸函数，即图形向下弯曲。3拐点当函数的二阶导数在某个点处等于零或不存在，且该点的左右两侧的二阶导数符号不同时，则该点称为函数的拐点。利用导数判断极值点1极值点函数在定义域内，当自变量在某一点附近取值时，函数值比该点处的函数值都大（或小），则称该点为函数的极大值点（或极小值点）2一阶导数如果函数在某一点的导数为零或不存在，则该点可能是函数的极值点3二阶导数如果函数在某一点的二阶导数大于零（或小于零），则该点为函数的极小值点（或极大值点）单调区间上的极值问题1单调区间函数的增减性决定了其在特定区间内的单调性。2极值点在单调区间内，函数可能存在极值点，即最大值或最小值。3极值问题利用函数的单调性，可以求解特定区间内的极值。函数增减性与极值点的关系极值点函数的极值点是指函数取到极大值或极小值的点。增减性函数的增减性是指函数在某个区间上是单调递增还是单调递减。关系函数在极值点附近会发生增减性的变化，从递增变为递减，或从递减变为递增。例题演示1求函数f(x)=x^3-3x^2+3x的单调区间和极值点。首先，求函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2。当x≠1时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增。当x=1时，f'(x)=0，所以函数f(x)在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=1。例题演示2已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x，求f(x)的单调区间和极值。首先，求f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2令f'(x)=0，解得x=1当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增所以，f(x)的单调递增区间为(-∞,1)∪(1,+∞)因为f(x)在x=1处取得极值，所以f(x)的极值为f(1)=1例题演示3设函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1求函数f(x)的单调区间和极值解：f'(x)=3x^2-6x+3令f'(x)=0，解得x=1当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增所以f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递增函数f(x)在x=1处取得极值极值为f(1)=0思考题1函数y=f(x)在定义域内单调递增,则函数y=f(x+1)的单调性如何?为什么?思考题2如何利用导数判断函数的增减性？在给定区间上，如果函数的一阶导数恒大于零，则函数在该区间上单调递增。如果函数的一阶导数恒小于零，则函数在该区间上单调递减。通过判断函数导数的符号，可以确定函数的增减性。思考题3假设函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，那么f(x)在区间(a,b)上的图像是什么样的？思考题4已知函数$f(x)$在区间$(a,b)$上单调递增，且$f(a)<0$,$f(b)>0$，试证明：函数$f(x)$在区间$(a,b)$上至少有一个零点。思考题5如何利用函数的增减性解决实际问题？函数增减性的应用股票价格通过函数的增减性，可以分析股票价格的趋势，找到最佳的买入和卖出时机。产品销量利用函数的增减性可以预测产品销量，帮助企业制定生产计划和营销策略。应用案例1函数增减性在实际生活中有着广泛的应用，例如在经济学中，我们可以用函数的增减性来分析商品的价格变化趋势。如果商品的价格随着需求量的增加而下降，那么该商品的价格函数就是单调递减的。应用案例2汽车速度利用函数的增减性，我们可以分析汽车的速度变化趋势，并根据速度变化来判断汽车的加速和减速情况。股票价格通过函数的增减性可以分析股票价格的波动情况，从而做出更明智的投资决策。应用案例3在经济学中，函数的增减性可以用来分析商品的需求量和价格之间的关系。例如，如果一个商品的需求量随着价格的下降而增加，那么该商品的需求函数就是一个单调递增函数。反之，如果一个商品的需求量随着价格的上升而减少，那么该商品的需求函数就是一个单调递减函数。利用函数的增减性，我们可以预测商品价格的变化对需求量的影响，从而制定有效的营销策略。重点总结函数增减性判断函数的增减性是研究函数性质的基础单调性单调性是函数的重要性质之一，它描述了函数在定义域内变化趋势导数导数是判断函数增减性的重要工具，可以帮助我们快速找到函数的单调区间思考与练习1练习1函数f(x)=2x^2+1在区间[-1,1]上的单调性如何？2练习2求函数f(x)=x^3-3x^2+3x+1的单调区间和极值点。3练习3已知函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[1,2]上单调递增，求a,b,c的取值范围。4练习4已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，求a,b,c的值。学习反馈回顾本节课内容，你还有什么问题吗？哪些