福建省南平市邵武第三中学高二数学文联考试卷含解析

福建省南平市邵武第三中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cosx的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为∵解得或∴“cosx的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为由几何概型概率公式得cosx的值介于0到之间的概率为P=故选A．2.AB为圆O的直径，C为圆O上异于A、B的一点，点P为线段OC的中点，则=（

）A.2

B.4

C.5

D.10参考答案：D略3.已知两点,给出下列曲线方程：

①;

②;

③;

④.在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是A．①③

B．②④

C．①②③

D．②③④参考答案：D略4.函数的定义域为

（A）(0，8] （B）(2，8]

（C）(－2，8] （D）[8，＋∞)参考答案：C略5.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图（图3）所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该测试成绩不少于60分的学生人数为（

）A．588B．480C．450D．120

参考答案：B略6.若直线y=x+b与曲线有两个交点，则实数b的取值范围是（）A．（2，2） B．[2，2） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2）参考答案：B考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：曲线y=表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，结合图形，即可求出实数b的取值范围．解答：解：曲线y=表示以原点为圆心，2为半径的圆，在x轴上边的部分，如图所示，当直线与半圆相切时，b=2，∴直线y=x+b与曲线y=有两个交点，实数b的取值范围是[2，2）．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，属于中档题．7.已知三条不同直线，两个不同平面，有下列命题：①，，∥，∥，则∥②，，，，则③，，，，则④∥，，则∥其中正确的命题是（

）A．①③B．②④C．③D．①②④参考答案：C略8.给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（

）A．

B．

C．2

D．参考答案：B9.阅读图2所示的流程图，输出的结果为A、24

B、12

C、4

D、6

参考答案：D10.一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出一个球还是白球的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列的前和为，当公比时，数列的通项公式是

.参考答案：12.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（

）

（A）（B）（C）(D)参考答案：D略13.如图，A、B、C、D有四个区域，用红黄蓝三种色涂上，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有

种不同的涂法？参考答案：18略14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．参考答案：9【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．【点评】本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键，考查计算能力．15.设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为

．参考答案：﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质．【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1?x2?…?x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），不妨设y=0，，则x1?x2?x3…?xn=×…×=，从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1?x2…x2014）=．故答案为：﹣1．16.化简：

.参考答案：-117.几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是

，表面积是

．参考答案：试题分析：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积和体积．解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的体积V=S△ABC?PO=×2×1×=，几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．故答案为：，+1+．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．参考答案：【考点】解三角形；三角形中的几何计算．【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面积等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，联立方程组，解得a=2，b=2；（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，联立方程组，解得：，，又sinC=，则△ABC的面积．19.已知，求证：参考答案：证明：要证＞，只需证＞∵＞0∴两边均大于0

∴只需证＞，即证，即证即证显然成立

∴原不等式成立略20.已知函数f（x）=ax﹣lnx；g（x）=．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：若a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立；（3）若h（x）=x2[1+g（x）]，当a＞1时，对于?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，使f（x1）=h（x0），求a的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）推导出，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx，，由此利用构造法和导数性质能证明a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．（3）由，a＞1时，求出f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax﹣lnx，∴x＞0，，∵x＞0，∴当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，若x＞，则f′（x）＞0，∴f（x）在（，+∞）上是增函数，若0＜x＜，则f′（x）＜0，∴f（x）在（0，）上是减函数．综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．证明：（2）当a=e时，f（x）=ex﹣lnx，∴，∴x∈[1，e]时，f′（x）＞0恒成立．f（x）=ex﹣lnx在[1，e]上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=e，令H（x）=e﹣g（x）=e﹣，则H′（x）=，x∈[1，e]时，H′（x）≤0，∴H（x）在[1，e]上单调递减，H（x）max=H（1）=e，∴f（x）≥H（x），即f（x）≥e﹣g（x）．故a=e（e是自然常数），当x∈[1，e]时，f（x）≥e﹣g（x）恒成立．解：（3）∵，a＞1时，由x∈[1，e]，得f′（x）＞0，∴f（x）=ax﹣lnx在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=a，f（x）max=f（e）=ae﹣1，即f（x）的值域是[a，ae﹣1]，由h（x）=x2+1﹣lnx，得，∴x∈[1，e]时，h′（x）＞0，h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=2，h（x）max=h（e）=e2，即h（x）的值域是[2，e2]，?x1∈[1，e]，?x0∈[1，e]，有f（x1）=h（x0），∴f（x）的值域是h（x）的值域的子集，∴，∴．∴a的取值范围是[2，e+]．21.已知函数.（1）求f(x)的最小正周期；（2）当时，求f(x)的单调递增区间.参考答案：（1）π；（2）.【分析】（1）利用三角恒等变换，把函数化成的形式，再求周期；（2）先求在定义域内的单调递增区间，再把单调区间与区间取交集。【详解】（1）因，所以的最小正周期.

（2）函数的单调递增区间为，则，即，因为时，所以的单调递增区间为.【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质，在求单调区间时，不能把定义域忽视，导致求出的单调区间在定义域之外。22.（本题满分16分）已知椭圆过点，右顶点为点B．（1）若直线与椭圆C相交于点M，N两点（M，N不是左、右顶点），且，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（2）E，F是椭圆C的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，试判断直线EF的斜率是否为定值？如果是，求出定值；反之，请说明理由．参考答案：（1）设点M，N坐标分别为，点B坐标为(2,0)，因为，则，又，代入整理得，（*）

..................3分由得，当时，方程两根为，则有，代入（*）得，

所以或，

.................6分当时，直线方程为，恒过点，不符合题意，舍去；当时，直线方程为，恒过点，该点在椭圆内，则恒成立，所以，直线过定点.

.................8分（2）设点坐标分别为，直线、EF的斜率显然存在，所以，设直线EF的方程为，同（1）由得，（#）当时，方程两根为，则有，①因为直线的斜率与的斜率互为相反数，则，又，代入整理得，②

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