2014年数学高考题分类解析考点37 立体几何中的向量方法

高考试题分类解析.7.（2014·福建高考理科·Ｔ17）17.（本小题满分12分）在平行四边形中，，.将沿折起，使得平面平面，如图.求证：；若为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【解题指南】⑴由面面垂直性质定理先推得线面垂直,再进而推得线面垂直．⑵建立坐标系，由线面角公式求解即可．【解析】(1)∵平面ABD⊥平面BCD，且两平面的交线为BD，平面ABD，AB⊥BD，………2分∴AB⊥平面BCD，又平面BCD，∴AB⊥CD；…………4分(2)过点B在平面BCD内作，如图，由(1)知AB⊥平面BCD，平面BCD，平面BCD，∴，…………6分以B为坐标原点原点，以QUOTEQUOTEQUOTE分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意，得，.……………8分则，………………9分设平面MBC的法向量，则，即，取，得平面MBC的一个法向量，………10分设直线AD与平面MBC所成角为，则，……12分即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.…………………13分8.（2014·山东高考理科·Ｔ17）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法，可利用线线平行，也可利用面面平行，来证明线面平行；.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角，也可以利用向量法来求解.【解析】（Ⅰ）连接为四棱柱，又为的中点，,,为平行四边形又（Ⅱ）方法一：作,连接则即为所求二面角在中，在中，,.方法二：作于点以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，设平面的法向量为显然平面的法向量为显然二面角为锐角，所以平面和平面所成角的余弦值为9.(2014·陕西高考理科·T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD⊥面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),DA→=(0,0,1),BC→=(-2,2,0),BA→=(-2设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因为EF∥AD,FG∥BC,所以n·DA→=0,n·得z取n=(1,1,0),所以sinθ=|cos<BA→,n>|=BA→·10.（2014·湖北高考理科·Ｔ19）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.当时，证明：直线平面;是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解题指南】（Ⅰ）建立坐标系，求出，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．【解析】以为原点，射线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系,由已知得（Ⅰ）证明：当时，因为，所以，即而，且，故直线平面。（Ⅱ）设平面的一个法向量为，则由可得，于是可取同理可得平面的一个法向量为若存在，使得平面与面所成的二面角为直二面角，则，即解得故存在，使平面与面所成的二面角为直二面角。11.（2014·重庆高考文科·Ｔ20）如题(20)图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面,为上一点,且(1)证明:平面;(2)若求四棱锥的体积.【解题提示】(1)在平面内可以找到与垂直从而得出结论.(2)直接利用体积公式求解即可.【解析】（1）如答(20)图,因为菱形,为菱形中心,连接则因故又因且在中,所以故又底面,所以.从