2025届高考数学二轮复习综合能力训练文含解析

综合实力训练综合实力训练第70页

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1<x≤4},则A∩(∁RB)=()A.(-1,2) B.(-2,-1) C.(-2,-1] D.(-2,2)答案:C解析:A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵B={x|-1<x≤4},∴∁RB={x|x>4或x≤-1},则A∩(∁RB)={x|-2<x≤-1}.2.已知i为虚数单位,复数z满意(1+3i)z=(1-i)2,则|z|=()A.2 B.22 C.1 D.答案:C解析:因为z=(1-i所以|z|=-3223.若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=A.2 B.32 C.1 D.答案:A解析:由题意,得f(x)=sinωx的周期T=2πω=23π4-π4=π,解得ω4.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a1-a4=0,则S4S2=A.-8 B.8 C.5 D.15答案:C解析:8a1-a4=0⇒q3=8⇒q=2,S4S2=S2+q2S5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入削减B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案:A解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B、C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A.6.直线ax+by-a=0与圆x2+y2+2x-4=0的位置关系是()A.相离 B.相切C.相交 D.与a,b的取值有关答案:C解析:直线即a(x-1)+by=0,过定点P(1,0),而点P在圆(x+1)2+y2=5内.故选C.7.已知△ABC是非等腰三角形,设P(cosA,sinA),Q(cosB,sinB),R(cosC,sinC),则△PQR的形态是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不确定答案:B解析:易知这三个点都在单位圆上,而且都在第一、二象限,由平面几何学问可知,这样的三个点构成的必定是钝角三角形.故选B.8.已知某个几何体的三视图如图所示,依据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是()A.8cm3 B.12cm3 C.24cm3 D.72cm3答案:B解析:三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面的三棱锥,底面是底边长为6cm、高为4cm的等腰三角形,三棱锥的高为3cm,∴这个几何体的体积V=13×12×6×4×3=12(cm3)9.设变量x,y满意约束条件y≤3x-2A.1 B.-1 C.2 D.-2答案:A解析:由约束条件y≤3x联立x-2yyx-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=210.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A.52 B.62 C.103答案:A解析:设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1即y1由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y∴b2a2=14,e∴e=52.故选A11.已知函数f(x)=sin(πx2),-1<x<0,ex-1,x≥0A.1 B.-22 C.1,-22 D.答案:C解析:∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-22若a∈[0,+∞),则ea-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-2212.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案:B解析:如图,连接BD,BE.在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,∴BM,EN是相交直线,解除选项C,D.作EO⊥CD于点O,连接ON.作MF⊥OD于点F,连接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO⊂平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB与△EON均为直角三角形.设正方形ABCD的边长为2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=2则EN=3+1=2,BM=34∴BM≠EN.故选B.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.

答案:y=3x解析:由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.14.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为答案:1解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>∴2a+18b≥22a-当且仅当2a=18b,即a=-3,b=115.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示,则函数f(x)在区间[-π,0]上的单调递增区间为.答案:[-3,0]解析:由题中图象知A=2,T=43[5-(-1)]=所以2πω=8,即ω=又函数f(x)的图象经过点(5,-2),所以2sinπ4×即sin5π4+因为0<φ<π2,所以5π4+φ=3π2,所以函数f(x)=2sinπ4由-π2+2kπ≤π4x+π4≤π2+2k得-3+8k≤x≤1+8k(k∈Z),令k=0,得函数f(x)在区间[-π,0]上的单调递增区间为[-3,0].16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.

答案:15解析:∵{an}是等差数列,∴a=0,Sn=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cosθ=-12∴θ=120°.∴该三角形的面积S=12×3×5×sin120°=15三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,由题意q>0.由已知,有2q2-3d=2,q4-3d=10,消去又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*;数列{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有cn=(2n-1)·2n-1,设{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,Sn=(2n-3)·2n+3,n∈N*.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AB的中点.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)若E是棱BB1的中点,求三棱锥C-AA1E的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比.(1)证明如图,连接AC1交A1C于点O,连接OD.∴O是AC1的中点,又D是AB的中点,∴OD∥BC1.又OD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,∴BC1∥平面A1CD.(2)解设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·h.又V=VC1-ABB1A1+V∵CC1∥BB1,CC1⊄平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1,∴CC1∥平面ABB1A1.∴VC∵S△∴VC∴三棱锥C-AA1E的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为1319.(12分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分状况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成果相同.(1)求x的值,并推断哪组学生成果更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.解(1)x甲=14×(9+9+11+11)=10,x乙=14×(8+9+10又s甲2=14[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-s乙2=14[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)∴s甲∴甲组成果比乙组成果更稳定.(2)记甲组4名同学为A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学全部可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本领件,其中得分之和低于20分的共有6个基本领件,∴得分之和低于20分的概率是P=61620.(12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+p2因为|AF|=3,即2+p2=3,解得p=所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4解得x=2或x=12,从而B1又G(-1,0),所以kGA=22-02-(-1)=所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±22,由抛物线的对称性,不妨设A(2,22).由A(2,22),F(1,0)可得直线AF的方程为y=22(x-1).由y=22(x-1),y2=4解得x=2或x=12,从而B1又G(-1,0),故直线GA的方程为22x-3y+22=0,从而r=|2又直线GB的方程为22x+3y+22=0,所以点F到直线GB的距离d=|22这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.21.(12分)已知函数f(x)=2x-ax+blnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-8=0(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-3x,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由解(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2+ax依题设,f(1)=5,f'(1)=-3,∴a=-3,b=-2.∴f'(x)=2-3x2-2x=2x又x>0,∴x>1+7∴函数f(x)的单调递增区间为1+7(2)g(x)=f(x)-3x=2x-2lnx,g'(x)=2-2设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g'(x0)(x0-2),即2x0-2lnx0-2=2-2x0(∴lnx0+2x0=令h(x)=lnx+2x-2,则h'(x)=1当h'(x)=0时,x=2.∴h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.∵h12=2-ln2>0,h(2)=ln2-1<0,h(e2)=2e∴h(x)的图象与x轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.请考生在第22、23两题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,动点A的坐标为(2-3sinα,3cosα-2),其中α