2025届高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8讲函数与方程创新教学案含解析新人教版

PAGE1-第8讲函数与方程[考纲解读]1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，能够推断一元二次方程根的存在性与根的个数．(重点、难点)2．依据详细函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲始终是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的推断及由零点存在性定理推断零点是否存在．预料2024年高考将以零点个数的推断或依据零点的个数求参数的取值范围为主要命题方向，以客观题或解答题中一问的形式呈现.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使eq\o(□,\s\up1(01))f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若eq\o(□,\s\up1(01))f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若eq\o(□,\s\up1(02))f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)推断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点eq\o(□,\s\up1(01))2eq\o(□,\s\up1(02))1无零点个数eq\o(□,\s\up1(03))2eq\o(□,\s\up1(04))101．概念辨析(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连绵不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若f(x)在区间[a，b]上连绵不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．小题热身(1)已知函数f(x)的图象是连绵不断的，且有如下对应值表：x12345F(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案B解析由已知得f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)必有零点的区间为(2,3)．(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案A解析能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满意此条件．故选A.(3)函数f(x)＝xeq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案B解析函数f(x)＝xeq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x零点的个数是方程xeq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝0的解的个数，即方程xeq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的解的个数，也就是函数y＝xeq\f(1,2)与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.故函数f(x)＝xeq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x零点的个数为1.(4)若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________．答案(0,4)解析因为f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，所以方程x2＋kx＋k＝0无实根，所以Δ＝k2－4k<0，解得0<k<4.题型一求函数的零点或推断其所在的区间1．(2024·广州模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0C.eq\f(1,2) D．0答案D解析当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝eq\f(1,2)，因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析由已知得，f(x)是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，又因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.由零点存在性定理得函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．3．(2024·青岛二中模拟)已知函数f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x，且实数a>b>c>0满意f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，则下列不等式中不行能成立的是()A．x0<a B．x0>aC．x0<b D．x0<c答案D解析由f(x)＝2x－logeq\f(1,2)x，可知函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a>b>c>0满意f(a)f(b)·f(c)<0，所以f(a)，f(b)，f(c)可能都小于0或有1个小于0,2个大于0，如图，则A，B，C可能成立，D不行能成立．故选D.函数零点所在区间的推断方法及适合题型方法解读适合题型解方程法可先解对应方程，然后看所求的根是否落在给定区间上当对应方程f(x)＝0易解时．如举例说明1续表方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行推断能够简单推断区间端点值所对应函数值的正负．如举例说明2图象法画出函数图象，通过视察图象与x轴在给定区间上是否有交点来推断简单画出函数的图象．如举例说明31．在下列区间中，函数f(x)＝e－x＋4x－3的零点所在的区间可能为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))答案D解析因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝eeq\f(1,4)＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))－3＝eeq\f(1,4)－4<0，f(0)＝1－3＝－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝e－eq\f(1,2)＋4×eq\f(1,2)－3＝e－eq\f(1,2)－1<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))＝e－eq\f(3,4)＋4×eq\f(3,4)－3＝e－eq\f(3,4)>0.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))<0，所以函数f(x)的零点所在的区间可能为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))).2．设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如右：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lgx，x>0，,x2＋x，x≤0))的零点是________．答案－1,0，eq\f(1,10)解析当x>0时，由1＋lgx＝0，解得x＝eq\f(1,10)；当x≤0时，由x2＋x＝0，解得x＝0或－1.所以函数f(x)的零点是－1,0，eq\f(1,10).题型二函数零点个数的判定1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析由已知得y＝f(x)＋3x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,1＋\f(1,x)＋3x，x>0.))令x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.令1＋eq\f(1,x)＋3x＝0(x>0)可得3x2＋x＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x2＋x＋1＝0无实根．所以y＝f(x)＋3x的零点个数是2.2．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数为________．答案5解析令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2)，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝eq\f(1,2)时，分别有3个和2个交点，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.推断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．如举例说明1.(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行推断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．画出两个函数的图象，图象交点的个数，就是函数零点的个数．如举例说明2.1．(2024·河南南阳月考)函数f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点答案B解析先探讨f(x)在区间[0,1]内的零点．因为f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))＋sinx，eq\r(x)>0，sinx>0，所以f′(x)>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝eq\r(x)－cosx>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.2．偶函数f(x)满意f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上的根的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上有3个根．题型三函数零点的应用角度1依据函数的零点(或方程的根)的个数求参数1．(2024·衡水模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－ex，x≤0，,lnx，x>0))(e为自然对数的底数)，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A．a>－1 B．－1<a<1C．0<a≤1 D．a<1答案C解析画出函数f(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则函数f(x)与直线y＝－a有两个不同交点，由图可知－1≤－a<0，所以0<a≤1.角度2依据函数零点所在的区间求参数2．(2024·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案D解析由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).依据函数零点的状况求参数的三种常用方法(1)干脆法：干脆依据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．如举例说明1.(3)分别参数法：先将参数分别，再转化成求函数值域问题加以解决．如举例说明2.1．若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))解析∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x，可变形为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析f(x)的大致图象如图所示，若存在b∈R，使得方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m2<m，又因为m>0，所以m组基础关1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2 B．0，eq\f(1,2)C．0，－eq\f(1,2) D．2，－eq\f(1,2)答案C解析因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以2a＋b＝0，b＝－2a，所以g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，由g(x)＝0得x＝0或－eq\f(1,2)，故g(x)的零点是0，－eq\f(1,2).2．(2024·佳木斯摸底)已知函数y＝f(x)的图象是连绵不断的曲线，且有如下的对应值表：123456124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个答案B解析由表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，依据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少有一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．3．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))答案D解析设f(x)＝x3－2x－1，一根在区间(1,2)上，依据二分法的规则，取区间中点eq\f(3,2)，因为f(1)＝－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(27,8)－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在的区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，故选D.4．若函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)答案C解析因为函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.5．函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案C解析作出函数y＝|x－2|与g(x)＝lnx的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点．故选C.6．(2024·江西三校联考)设函数y＝log2x－1与y＝22－x的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案C解析设f(x)＝(log2x－1)－22－x，则f(2)＝1－1－20＝－1<0，f(3)＝(log23－1)－eq\f(1,2)＝log23－log22eq\r(2)>0.所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点．所以x0∈(2,3)．7．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A．(－1,1) B．[1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案C解析当a＝0时，函数f(x)的零点是－1，－1∉{x|0<x<1}，不符合题意；当a≠0时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,f0f1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋8a>0，,－2a－2<0，))解得a>1；当Δ＝0，即a＝－eq\f(1,8)时，函数f(x)的零点是－2，－2∉{x|0<x<1}，不符合题意．故选C.8．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xlnx，x>0，,x2－x－2，x≤0，))则其零点为________．答案1，－1解析当x>0时，由f(x)＝0，即xlnx＝0得lnx＝0，解得x＝1；当x≤0时，由f(x)＝0，即x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.因为x≤0，所以x＝－1.综上，函数的零点为1，－1.9．若函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是________．答案(0,1]解析当x∈(－∞，1]时，2x∈(0,2]．由函数f(x)＝2x－a2－a在(－∞，1]上存在零点，可得0<a2＋a≤2，又由a为正实数，得a∈(0,1]．10．(2024·衡水模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．组实力关1．函数f(x)＝xcos(x2－2x－3)在区间[－1,4]上的零点个数为()A．5 B．4C．3 D．2答案B解析由题意可知x＝0或cos(x2－2x－3)＝0，又x∈[－1,4]，所以x2－2x－3＝(x－1)2－4∈[－4,5]，当cos(x2－2x－3)＝0时，x2－2x－3＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，在相应的范围内，k只有－1,0,1三个值可取，所以总共有4个零点，故选B.2．(2024·石家庄模拟)设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则()A．x1x2<0 B．x1x2＝0C．x1x2>1