2025届高考数学一轮知能训练专题六立体几何第2课时含解析

PAGE5-第2课时1．在三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A­BCD的外接球的体积为()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π2．(2024年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)3．已知如图Z6­16所示的三棱锥D­ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面相互垂直，AB＝3，AC＝eq\r(3)，BC＝CD＝BD＝2eq\r(3)，则球O的体积为()图Z6­16A.eq\f(4π,3)B.eq\f(4\r(3)π,3)C.eq\f(32π,3)D．36π4．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC⊥平面ACD时，四面体ABCD的外接球的体积是()A.eq\f(125,12)πB.eq\f(125,9)πC.eq\f(125,6)πD.eq\f(125,3)π5．(2013年新课标Ⅰ)如图Z6­17，有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，假如不计容器厚度，则球的体积为()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3图Z6­17图Z6­186．如图Z6­18，在四棱锥P­ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为正方形且边长为2，平面PAB⊥平面ABCD，四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是()A.eq\f(28\r(21)π,27)B.eq\f(7π,3)C．28πD.eq\f(28π,3)7．已知点P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B在AC上的投影为D，则三棱锥P­ABD体积的最大值是()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(3\r(3),8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),4)8．已知在三棱锥P­ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，PA＝eq\r(10)，PC＝eq\r(2)，则三棱锥P­ABC外接球的体积为()A．28πB．36πC．48πD．72π9．(2024年广东广州中学毕业班综合测试)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A．8πB．12πC．20πD．24π10．已知三棱锥P­ABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC满意AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P究竟面ABC的距离为()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)11．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图Z6­19，若四棱锥P­ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则eq\f(R,r)＝________.图Z6­1912．已知正三棱锥P­ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是________．13．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥面ABCD,PA＝PD＝AD＝3，AB＝4，则四棱锥ABCD的外接球的表面积为________．14．A，B，C，D四点在半径为eq\f(5\r(2),2)的球面上，且AC＝BD＝5，AD＝BC＝eq\r(41)，AB＝CD，则三棱锥D­ABC的体积是________．15．在三棱锥P­ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥AC，则该三棱锥外接球的表面积为________．

第2课时1．A解析：由已知三棱锥A­BCD的外接球是长为eq\r(3)，宽为eq\r(2)，高为1的长方体的外接球，由长方体对角线长为eq\r(6)，得外接球半径为eq\f(\r(6),2)，故所求球体体积为eq\r(6)π.2．B解析：如图D249，画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心．球半径R＝OA＝1，球心究竟面圆的距离为OM＝eq\f(1,2).∴底面圆半径r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).图D2493．C解析：△ABC外接圆半径为eq\r(3)，△DBC的高为2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，球O的半径为eq\r(\r(3)2＋12)＝2，则球O的体积为eq\f(32π,3).4．C解析：AC为球的直径，四面体ABCD的外接球的体积是eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq\f(125,6)π.5．A解析：如图D250，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42.∴R＝5.∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3)．图D2506．D解析：将四棱锥补成以△PAB为底面的正三棱柱，又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＋12＝r2＝eq\f(7,3)，∴S＝4πr2＝eq\f(28π,3).7．B解析：如图D251，∵∠ABC＝90°，∴AC为截面圆直径．图D251设球心为O，连接PO，易知PO交AC，记交点为E，结合PC＝CO＝2知PE＝1，故CE＝eq\r(3)，则AC＝2eq\r(3).设AB＝a，则BC＝eq\r(12－a2)，由AB2＝AD·AC知AD＝eq\f(a2,2\r(3))，BD＝eq\f(a\r(12－a2),2\r(3))，∴S△ABD＝eq\f(1,24)a3eq\r(12－a2)＝eq\f(1,24)eq\r(12a6－a8).令f(a)＝12a6－a8，则f′(a)＝72a5－8a7＝8a5(9－a2)．由f′(a)＝0得a＝3，且f(a)在(0,3)上单调递增，在(3,2eq\r(3))上单调递减，故当a＝3时，f(a)取得最大值．∴三棱锥P­ABD体积的最大值为eq\f(1,3)×1×eq\f(1,24)×33×eq\r(12－32)＝eq\f(3\r(3),8).8．B解析：∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，BC＝4eq\r(2)，PA＝eq\r(10)，PC＝eq\r(2)，cos∠PCA＝eq\f(2＋16－10,2×\r(2)×4)＝eq\f(\r(2),2)，2r＝eq\f(\r(10),\f(\r(2),2))＝2eq\r(5)，外接球的半径R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)＝eq\r(9)＝3，S＝4π×32＝36π.9．C解析：方法一，将三棱锥P­ABC放入长方体中，如图D252(a)，三棱锥P­ABC的外接球就是长方体的外接球．∵PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，∴BC＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).设外接球的半径为R，依题意可得(2R)2＝22＋22＋(2eq\r(3))2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π.故选C.(a)(b)图D252方法二，利用鳖臑的特点求解，如图D252(b)，∵四个面都是直角三角形，∴PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，∴球O的表面积为4πR2＝20π.故选C.10．B解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图D253，在△ABC中，AB＝2eq\r(2)，∠ACB＝90°，∴△ABC所在小圆圆O1是以AB为直径的圆，∴O1A＝eq\r(2)，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，∴OA＝2，∴OO1＝eq\r(OA2－O1A2)＝eq\r(2)，且OO1⊥底面ABC，∴点P到平面ABC的距离为2OO1＝2eq\r(2).图D25311.eq\f(\r(41),2)解析：∵四棱锥P­ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，∴(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41，∴R＝eq\f(\r(41),2)，∵侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，∴内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，∴内切球半径为r＝1，故eq\f(R,r)＝eq\f(\r(41),2).12．3eq\r(3)＋3eq\r(15)解析：如图D254，OP＝OA＝2，OD＝1，PA＝PB＝PC＝2eq\r(2)，AB＝2eq\r(3)，则该正三棱锥的表面积是3eq\r(3)＋3eq\r(15).图D25413．28π解析：先找到矩形ABCD的外心O1，球心在O1的正上方．然后找到等边△PAD的外心O2，即等边△PAD的重心，球心在O2的正上方，由此可得到球心O的位置如图255所示．O2E＝eq\f(1,3)PE＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，O1B＝eq\f(5,2)，故球的半径R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＝7，故球的表面积为4πR2＝28π.图D25514．20解析：由题意，将三棱锥D­ABC放入长方体中(如图D256)，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，从而得出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25，,