2025届高考数学一轮知能训练第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定与性质含解析

PAGE7-第4讲直线、平面平行的判定与性质1．(2024年安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不行能垂直于同一平面2．如图X8­4­1所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面图X8­4­1图X8­4­23．如图X8­4­2所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．44．(2024年北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024年河南试验中学模拟)如图X8­4­3，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，eq\f(PF,FC)＝()图X8­4­3A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)6．如图X8­4­4，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABC内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为()图X8­4­4A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．27．(2024年山西太原模拟)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于体对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.8．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.假如命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题．可以在横线处填入的条件是________(把全部正确的序号填上)．9．(多选)如图X8­4­5，在棱长均相等的四棱锥P­ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的有()图X8­4­5A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB10．(多选)如图X8­4­6，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1＝3，则()图X8­4­6A．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),5)B．异面直线A1B与B1D1所成角的余弦值为eq\f(3,5)C．A1B∥平面B1D1CD．点B1到平面A1BD1的距离为eq\f(12,5)11．如图X8­4­7，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.图X8­4­712．如图X8­4­8，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1)求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B­DEF的体积．图X8­4­813．如图X8­4­9，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A­PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．图X8­4­9

第4讲直线、平面平行的判定与性质1．D解析：若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；若α，β不平行，但平面α内会存在平行于β的直线，如平面α中平行于α，β交线的直线；D.其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确．故选D.2．A解析：由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.3．C解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，∴OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.∵M∈PB，∴OM与平面PBA，平面PBC相交．4．B解析：若m∥β，则平面α，β可能相交也可能平行，不能推出α∥β；反过来，若α∥β，m⊂α，则有m∥β.故“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．5．D解析：如图D209，连接AC交BE于G，连接FG，∵PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，∴PA∥FG，∴eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E为AD的中点，∴eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).图D209图D2106．C解析：如图D210，延展平面EFG，可得截面EFGHQR，其中H、Q、R分别是所在棱的中点，直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，由中位线定理可得AC∥EF，EF在平面EFGHQR内，AC在平面EFGHQR外，∴AC∥平面EFGHQR，∵D1P与AC在平面D1AC内相交，∴平面D1AC∥平面EFGHQR，∴P在AC上时，直线D1P与平面EFG不存在公共点，∵BO与AC垂直，∴P与O重合时BP最小，此时，三角形PBB1的面积最小，最小值为eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).故选C.7.eq\f(\r(6),4)解析：如图D211所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点．∴S△ACE＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．图D2118．①③解析：由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，∴平行，③正确．故应填入的条件为①或③.9．ABD10．ACD解析：∵A1B∥D1C，∴∠B1D1C即为异面直线A1B与B1D1所成角，又∵B1D1＝4eq\r(2)，D1C＝5，B1C＝5，∴cos∠B1D1C＝eq\f(B1D\o\al(2,1)＋D1C2－B1C2,2B1D1×D1C)＝eq\f(2\r(2),5)，故A正确，B错误；∵A1B∥D1C，A1B⊄平面B1D1C，D1C⊂平面B1D1C，∴A1B∥平面B1D1C，故C正确；∵V＝V，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1B1×A1D1×B1B＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1B×A1D1×h，解得h＝eq\f(12,5)，故D正确．故选ACD.11．证明：(1)如图D212，连接SB，图D212∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)如图D212，连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG.FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.12．(1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF.又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF.图D213(2)解：如图D213，过点B作BH⊥AD于点H.∵DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴DE⊥BH.∵AD⊂平面ADEF，DE⊂平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF.∴BH是三棱锥B－DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝eq\r(3).∵DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥AD.由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF.∴三棱锥B－DEF的体积V＝eq\f(1,3)×S△DEF×BH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6).13．解：(1)如图D214，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD.又∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∴AD是三棱锥A­PDE的高．∵E为PC的中点，且PD＝DC＝4，∴S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,